陕西省安康市2022-2023学年高二下学期期末考试数学（理科）试卷

陕西省安康市2022-2023学年高二下学期期末数学试卷（理科）(解析版) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数的虚部为（　　） A．﹣2 B．2 C．2i D． 2．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．（﹣∞，2] B．[0，+∞） C．[﹣1，2] D．[0，2] 3．（5分）已知a＝ln10，，c＝2，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 4．（5分）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（　　） A．cm B．24cm C．32cm D．cm 5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（　　） A．6 B．12 C．20 D．30 6．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+1）（ω＞0）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则ω的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 7．（5分）某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图所示．该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，则下列说法错误的是（　　） A．该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30，60）内的学生人数占70% B．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60，80]内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多 C．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在[50，60）内 D．相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加 8．（5分）记a，b，c，d为1，2，3，4的任意一种排列，则使得（a+b）（c+d）为偶数的排列种数为（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 9．（5分）已知数列{an}满足a1+a2+⋯+a8＝1，且（n＝1，2，⋯，7），则a1＝（　　） A． B． C． D． 10．（5分）已知某正三棱台的顶点都在半径为5的球面上，若该正三棱台的上、下底边长分别是和，则该正三棱台的高为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（5分）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在线段B1D1上，点E是AB的中点，则直线EP与平面AB1D1所成角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知向量，满足，，则＝　 　． 14．（5分）函数f（x）＝（﹣4x+1）ex+1在区间[0，1]上的最大值为 　 　． 15．（5分）在△ABC中，点D在边BC上（不含端点），∠ABC＝120°，BD＝2，AB＝BC，的最小值为 　 　． 16．（5分）已知F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，|PF1|＝2|PF2|，则C的离心率为 　 　． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1． （1）求角B的大小； （2）若a＝5，b＝7，求sinC． 18．（12分）近日来，ChatGPT的“火”在教育界引发了热议，尤其是在未来课堂上的实践与应用，引起广泛的关注．某学校计划尝试“ChatGPT进课堂”，随机抽取400名家长，对“ChatGPT”的了解情况进行了问卷调查，得到如下2×2列联表．已知了解的人数为280，不了解的人数为120． 男家长 女家长 合计 了解 160 不了解 80 合计 （1）请补充完整上面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系； （2）用样本估计总体，将频率视为概率，在该校的家长中随机抽取10人，记对“ChatGPT”了解的男家长人数为X，求X的期望． 附：，其中n＝a+b+c+d． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+1． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝nan（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠C＝90°，E为AB的中点，PE＝BD，AB＝2BC＝2CD＝4，且△PAD为正三角形． （1）证明：PA⊥BD． （2）求二面角A﹣PE﹣D的正弦值． 21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）与焦点的距离为2． （1）求p和m； （2）若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标． 22．（12分）已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）与函数g（x）＝aex的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．（参考数据：ln2≈0.7） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）复数的虚部为（　　） A．﹣2 B．2 C．2i D． 【分析】根据复数的运算法则求z的代数形式，再由虚部的定义确定结论． 【解答】解：因为， 所以复数z的虚部为2． 故选：B． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 2．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．（﹣∞，2] B．[0，+∞） C．[﹣1，2] D．[0，2] 【分析】化简集合B，根据集合的运算法则求∁U（A∪B）． 【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）， 所以B＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），又A＝{x|x＜0}， 所以A∪B＝（﹣∞，0）∪（2，+∞）， 故∁U（A∪B）＝[0，2]． 故选：D． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题． 3．（5分）已知a＝ln10，，c＝2，则（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a 【分析】判断出a＞2，且b＜2，从而可得答案． 【解答】解：因为a＝ln10＞lne2＝2， c＝2， ， 所以a＞c＞b． 故选：B． 【点评】本题主要考查了三个数比较大小，考查了对数的运算性质，属于基础题． 4．（5分）如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面．若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（　　） A．cm B．24cm C．32cm D．cm 【分析】求出a＝4，设出M（r，b），代入双曲线方程，求出，得到直径． 【解答】解：因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm，所以a＝4． 设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则M（r，b）， 所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为． 故选：D． 【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题． 5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S＝（　　） A．6 B．12 C．20 D．30 【分析】根据程序框图逐步执行可得输出结果． 【解答】解：根据程序框图，可得其执行结果如下： S＝0，n＝0，n＝2，S＝2，执行循环体； n＝4，S＝6，执行循环体； n＝6，S＝12，跳出循环体． 输出S＝12． 故选：B． 【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题． 6．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+1）（ω＞0）的图象向右平移1个单位长度后，得到的图象关于原点对称，则ω的最小值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【分析】先求得f（x）的图象平移后的解析式，再列出关于ω的方程，进而求得ω的最小值． 【解答】解：f（x）的图象向右平移1个单位长度后， 可得函数g（x）＝sin[ω（x﹣1）+1]＝sin（ωx﹣ω+1）的图象． 则﹣ω+1＝kπ，k∈Z，即ω＝1﹣kπ，k∈Z． 又ω＞0， 故ω的最小值为1． 故选：B． 【点评】本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 7．（5分）某校为了了解学生的身体素质，对2022届初三年级所有学生仰卧起坐一分钟的个数情况进行了数据统计，结果如图所示．该校2023届初三学生人数较2022届初三学生人数上升了10%，则下列说法错误的是（　　） A．该校2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30，60）内的学生人数占70% B．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60，80]内的学生人数比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数同个数段的学生人数的2倍还多 C．该校2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数和2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数均在[50，60）内 D．相比2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数，2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占比增加 【分析】根据扇形统计图和条形图对四个选项逐个判断可得答案． 【解答】解：2022届初三年级学生仰卧起坐一分钟的个数在[30，60）内的学生人数占比为 20%+25%+25%＝70%，A正确． 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在[40，50）内， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数的中位数在[50，60）内，C错误． 由于2023届初三学生人数较2022届上升了10%， 假设2022届初三学生人数为a（a＞0）， 则仰卧起坐一分钟的个数在[60，80]内的学生人数为0.2a， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟的个数在[60，80]内的学生人数为： a×（1+10%）×41%＝0.451a，0.451a＞0.2a×2＝0.4a，B正确． 2022届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占25%+15%+5%＝45%， 2023届初三学生仰卧起坐一分钟个数不小于50的人数占41%+34%+7%＝82%，D正确． 故选：C． 【点评】本题考查频数分布直方图求频数、频率，考查频率公式，属于基础题． 8．（5分）记a，b，c，d为1，2，3，4的任意一种排列，则使得（a+b）（c+d）为偶数的排列种数为（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【分析】根据分步乘法计数原理，分前两位一奇一偶，后两位一奇一偶安排，利用先取后排的原则作答即可得到使得（a+b）（c+d）为奇数的排列个数，再根据总体剔除法计算即可． 【解答】解：根据题意可知，任意排列共种， 由已知得前两位a和b一奇一偶，有＝8种排法， 后两位c和d一奇一偶，有种排法， 根据分步计数原理，使得（a+b）（c+d）为奇数的排列个数为8×2＝16种， 故使得（a+b）（c+d）为偶数的排列种数为24﹣16＝8． 故选：A． 【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题． 9．（5分）已知数列{an}满足a1+a2+⋯+a8＝1，且（n＝1，2，⋯，7），则a1＝（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用题给条件求得（n＝1，2，⋯，7，8），列出关于a1的方程，求解即可得出答案． 【解答】解：∵（n＝1，2，⋯，7）， ∴ ＝（n＝1，2，⋯，7，8）， ∴a1+ ＝，解得． 故选：A． 【点评】本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题． 10．（5分）已知某正三棱台的顶点都在半径为5的球面上，若该正三棱台的上、下底边长分别是和，则该正三棱台的高为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】运用等边三角形的性质可求得上下底面两个截面圆的半径，结合勾股定理可求得结果． 【解答】解：如图所示， 设正三棱台的上底面所在平面截球所得圆为⊙O1，下底面所在平面截球所得圆为⊙O， 所以， ， 又因为球的半径为5， 所以下底面在过球心的截面上， 所以，即该正三棱台的高为． 故选：D． 【点评】本题考查了棱台的外接球问题以及球的截面性质，属于中档题． 11．（5分）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，用排除法分析：利用f（x）＞0，排除A；利用导数研究当x＞0时f（x）的单调性，两次求导，结合零点存在性定理，可得f（x）极小值＞3，排除CD，从而可得答案． 【解答】解：根据题意，用排除法分析： 函数，而ex＞0，＞0，则，排除A； 当x＞0时，．令函数，x＞0， ，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增， 即f′（x）在（0，+∞）上单调递增.，， 因为e3＞2.73＞16，所以，，即． 所以存在，使得， 即，当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0． 函数f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． f（x）极小值＝f（x0）＝． 因为，所以， ，排除CD． 故选：B． 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数单调性、极值的分析，属于基础题． 12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点P在线段B1D1上，点E是AB的中点，则直线EP与平面AB1D1所成角的正弦值的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由直线与平面所成角的定义，找到sinθ的表达式，再由等体积法表示出点E到平面AB1D1的距离h，则，只需找到EP的最小值即可． 【解答】解：设点E到平面AB1D1的距离为h，直线EP与平面AB1D1所成的角为θ，则． 不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2， 则， ＝． 因为，所以．连接BD，过点P作PP′⊥BD，垂足为P′． 易得，当EP′⊥BD时，EP′最小，当EP′＝DE时，EP′最大，则， EP＝． 故． 故选：D． 【点评】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）已知向量，满足，，则＝　　． 【分析】运用平面向量模及数量积公式计算即可． 【解答】解：， 则，， 因为， 所以，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于基础题． 14．（5分）函数f（x）＝（﹣4x+1）ex+1在区间[0，1]上的最大值为 　e　． 【分析】求函数f（x）导函数，分析函数的单调性，确定函数的最值． 【解答】解：因为f（x）＝（﹣4x+1）ex+1， 所以f′（x）＝﹣4ex+1+（﹣4x+1）ex+1＝（﹣4x﹣3）ex+1， 当x∈[0，1]时，f′（x）＜0，f（x）在[0，1]上单调递减， 所以当x＝0时，函数f（x）取最大值，最大值为f（0）＝e． 故答案为：e． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于基础题． 15．（5分）在△ABC中，点D在边BC上（不含端点），∠ABC＝120°，BD＝2，AB＝BC，的最小值为 　　． 【分析】法一：作出辅助线，求出BE＝1，，设AB＝BC＝x，可得，利用基本不等式，即可得出答案； 法二：利用余弦定理得到AD2＝x2+2x+4，利用基本不等式，即可得出答案． 【解答】解：方法一：过点D作DE⊥AB交AB延长线于点E，如图所示： 设AB＝BC＝x， ∵BD＝2，∠ABC＝120°， ∴∠EBC＝60°，BE＝BDcos60°＝1，， 故AE＝AB+BE＝x+1，CD＝BC﹣BD＝x﹣2， 故， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的最小值为； 方法二：设AB＝BC＝x， 则CD＝BC﹣BD＝x﹣2， 由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcos∠ABC＝x2+2x+4， 故， 当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 16．（5分）已知F1，F2为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，|PF1|＝2|PF2|，则C的离心率为 　　． 【分析】先利用题给条件列出关于a，c的齐次方程，解之即可求得椭圆C的离心率． 【解答】解：因为|PF1|+|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|， 所以，． 由|PQ|＝|F1F2|及椭圆的对称性可知，四边形PF1QF2为矩形， 所以，则， 化简得5a2﹣9c2＝0，则椭圆C的离心率． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了椭圆的离心率的计算问题，属于中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1． （1）求角B的大小； （2）若a＝5，b＝7，求sinC． 【分析】（1）根据题意可得a2+ac+c2＝b2，再由余弦定理可得cosB，进而求得B； （2）由余弦定理可得c的值，再由正弦定理即可得解． 【解答】解：（1）因为sin2A+sinAsinC+sin2C+cos2B＝1， 所以sin2A+sinAsinC+sin2C＝sin2B， 由正弦定理可知，a2+ac+c2＝b2， 所以， 因为B为△ABC的内角， 所以． （2）因为a＝5，b＝7， 则由余弦定理知b2＝a2+c2﹣2accosB，即， 化简得c2+5c﹣24＝0， 解得c＝3或c＝﹣8（舍去）． 由正弦定理知， 则． 【点评】本题考查解三角形，考查运算求解能力，属于基础题． 18．（12分）近日来，ChatGPT的“火”在教育界引发了热议，尤其是在未来课堂上的实践与应用，引起广泛的关注．某学校计划尝试“ChatGPT进课堂”，随机抽取400名家长，对“ChatGPT”的了解情况进行了问卷调查，得到如下2×2列联表．已知了解的人数为280，不了解的人数为120． 男家长 女家长 合计 了解 160 不了解 80 合计 （1）请补充完整上面的2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系； （2）用样本估计总体，将频率视为概率，在该校的家长中随机抽取10人，记对“ChatGPT”了解的男家长人数为X，求X的期望． 附：，其中n＝a+b+c+d． P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】（1）利用题设条件即可补充完整2×2列联表，求得K2的值并与10.828进行大小比较即可得到是否有99.9%的把握认为该校家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系； （2）利用二项分布期望公式即可求得X的期望． 【解答】解：（1） 男家长 女家长 合计 了解 160 120 280 不了解 40 80 120 合计 200 200 400 ， 故有99.9%的把握认为家长对“ChatGPT”的了解情况与性别有关系． （2）用样本估计总体，将频率视为概率可得，在该校的家长中随机抽取1人， 其为对“ChatGPT”了解的男家长的概率为， 则，则． 【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题． 19．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn+1． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝nan（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn． 【分析】（1）先设等比数列{an}的公比为q（q≠0），再根据题干已知条件列出关于首项a1与公比q的方程组，解出a1与q的值，即可计算出等比数列{an}的通项公式； （2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和Tn． 【解答】解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q（q≠0）， 由an+1＝2Sn+1，可得， 即， 解得， ∴an＝1•3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*． （2）由（1）可得，bn＝nan＝n•3n﹣1， 则Tn＝b1+b2+…+bn＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1， 3Tn＝1•31+2•32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n， 两式相减， 可得﹣2Tn＝1+31+32+…+3n﹣1﹣n•3n， ＝﹣n•3n， ＝（﹣n）•3n﹣， ∴Tn＝•3n+． 【点评】本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求和问题．考查了方程思想，转化与化归思想，等比数列的通项公式与求和公式的运用，错位相减法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题． 20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，∠C＝90°，E为AB的中点，PE＝BD，AB＝2BC＝2CD＝4，且△PAD为正三角形． （1）证明：PA⊥BD． （2）求二面角A﹣PE﹣D的正弦值． 【分析】（1）利用勾股定理证明BD⊥AD，PF⊥BD，从而知BD⊥平面PAD，再由线面垂直的性质定理，得证； （2）以D为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得平面DPE和平面APE的法向量，再运用向量夹角坐标公式，计算即可． 【解答】（1）证明：取AD的中点F，连接PF，EF，如图所示， 因为AB＝2BC＝2CD＝4，所以，所以BD2+AD2＝AB2，即BD⊥AD， 又△PAD为正三角形，且AD＝2，所以， 因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF＝BD＝，EF∥BD， 又，所以PF2+EF2＝PE2，即PF⊥EF， 所以PF⊥BD， 因为AD∩PF＝F，AD、PF⊂面PAD，所以BD⊥平面PAD， 又PA⊂平面PAD，所以PA⊥BD． （2）解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），，，， 所以，，，， 设平面DPE的法向量为，则，即， 令，则y1＝﹣，z1＝﹣1，所以， 设平面APE的法向量为，则，即， 令z2＝1，则x2＝y2＝，所以， 所以， 所以， 故二面角A﹣PE﹣D的正弦值为． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题． 21．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）与焦点的距离为2． （1）求p和m； （2）若在抛物线C上存在点A，B，使得MA⊥MB，设AB的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标． 【分析】（1）根据抛物线的性质，求出p＝2，然后将M（1，m）代入抛物线的方程即可求出m； （2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将MA⊥MB转为k1k2＝﹣1，从而得到y1y2＝﹣2（y1+y2）﹣20，两者结合即可求出y1+y2，即可求出点D的坐标． 【解答】解：（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得p＝2． 故抛物线C：y2＝4x． 因为M在抛物线C上，所以m2＝4．又因为m＞0，所以m＝2． （2）设，，D（x0，y0），直线MA的斜率为k1，直线MB的斜率为k2， 易知k1，k2一定存在，则，， 由MA⊥MB，得k1k2＝﹣1，即，化简得（y1+2）（y2+2）＝﹣16，即y1y2＝﹣2（y1+y2）﹣20， 因为D到抛物线C的准线的距离，所以， 则x1+x2＝13，即，， ，即， 解得y1+y2＝﹣6或y1+y2＝2，则或， 故点D的坐标为或． 【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题． 22．（12分）已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）与函数g（x）＝aex的图象有三个不同的交点，求a的取值范围．（参考数据：ln2≈0.7） 【分析】（1）求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可得出答案． （2）将两函数图象的交点个数问题转化为函数零点的个数问题，再用导数求解． 【解答】解：（1）因为f（x）＝x+， 所以f′（x）＝1﹣＝， 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在R上单调递增， 当a＞0时，令f′（x）＝0得x＝lna， 所以在（lna，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增， 在（﹣∞，lna）上f′（x）＜0，f（x）单调递减， 综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增， 当a＞0时，f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（﹣∞，lna）上单调递减． （2）因为函数f（x）与函数g（x）＝aex的图象有三个不同的交点， 所以关于x的方程x+﹣aex＝0有三个不同的根， 令h（x）＝x+﹣aex，则h（x）有三个不同的零点， h′（x）＝1﹣﹣aex＝， 当a≤0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 所以h（x）至多有一个零点，不合题意， 令t＝ex（t＞0）， 则u（t）＝（t＞0）， 当a≥时，Δ＝1﹣4a2≤0，即﹣at2+t﹣a≤0， 所以h′（x）≤0，h（x）单调递减， 所以h（x）至多有一个零点，不合题意， 当0＜a＜时，令u（t）＝0，得t1＝，t2＝，且t1t2＝1， 当t1＜t＜t2，即lnt1＜x＜lnt2时，u（t）＞0，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 因为h（x）是连续函数，且h（0）＝0，lnt1＜0＜lnt2， 所以h（lnt1）＜0＜h（lnt2）， 所以h（x）在（lnt1，lnt2）上只有一个零点， 当t＞t2或0＜t＜t2，即x＞lnt2或x＜lnt1时，u（t）＜0，h′（x）＜0， 所以h（x）在（﹣∞，lnt1），（lnt2，+∞）上单调递减， 令m（a）＝h（ln）＝ln﹣+a3＝﹣2lna﹣+a3（0＜a＜）， 则m′（a）＝﹣++3a3＝+3a2＞0， 所以m（a）在（0，）上单调递增， 因为m（a）＜m（）＝ln4﹣2+≈2×0.7﹣＜0， 所以h（ln）＜0， 因为t2＝＜＜， 所以lnt2＜ln， 因为函数h（x）是连续的函数， 所以h（x）在（lnt2，ln）上只有一个零点， 设h（x）在（lnt2，+∞）上的零点为x0，且x0＝lnt0， 因为h（x）＝x+﹣aex，h（﹣x）＝﹣x+﹣ae﹣x＝﹣h（x）， 所以h（x）为奇函数， 所以h（﹣lnt0）＝h（ln）＝0， 因为函数h（x）是连续函数， 所以h（x）在（﹣∞，lnt1）上只有一个零点ln， 综上所述，a的取值范围为（0，）． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$