精品解析：2024年河北省保定市定州市部分学校中考三模数学试题

2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1-6小题各3分；7-16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. 12 D. 1 2. 将56000000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 劳 B. 动 C. 光 D. 荣 4. 如下图是一个由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则p的值为（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 7. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 4 D. 8. 嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 9. 若一元二次方程的两个根是、，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 4 10. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 1.5 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 13. 在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 14. 如图，中，，，．将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l的长为（ ） A. B. C. 5 D. 3 15. 如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接BD，若，，则线段的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 16. 已知拋物线与轴交于，，其顶点在线段上运动（形状保持不变），且，，有下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的最大值为4，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共12分．17-18小题各3分；19小题每空2分，共10分．） 17. 计算结果等于________． 18. 如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 19. 如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C． （1）__________； （2）若C为的中点，则__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 把式子记作P，式子记作Q， （1）当时，______，______； （2）若P，Q的值互为相反数，求x． 21. 如图，小欢从公共汽车站出发，沿北偏东方向走米到达东湖公园处，参观后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆处． （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离； （2）如果小欢以米分的速度从图书馆沿回到公共汽车站，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：， 22. 湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． （2）求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； （3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 23. 在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． （1）如图①，求点的坐标； （2）将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示； ②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）． 24. 在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点． （1）直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象； （2）求王芳同学测试中的最快速度； （3）求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？ 25. 在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标； （3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离． 26. 在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示． （1）求的长度； （2）如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，． ①求的度数； ②求的长度； （3）当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试（三） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1-6小题各3分；7-16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. 12 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解： ． 故选：A． 2. 将56000000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】56000000用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果． 【详解】解：56000000的绝对值大于表示成的形式， ∵，， ∴56000000表示成， 故选B． 【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值． 3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. 劳 B. 动 C. 光 D. 荣 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此解答即可． 【详解】解：A、B、C都不能沿某一条直线对折后的两部分是完全重合，不符合轴对称图形的定义，只有选项D能沿某一条直线对折后的两部分是完全重合， 故选：D． 4. 如下图是一个由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立体图形的三视图，有正视图、左视图和俯视图.左视图是从立体图形的左面向右看到的平面图形；正视图是从立体图形的前面向后看得到的平面图形；俯视图是从立体图形的上面向下看得到的平面图形.画三视图时，有长对正，高平齐，宽相等，据此解答即可． 【详解】解：该立体图形从正面看，看到， 故选：C． 5. 若，则p的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据负整数指数幂公式求解即可 【详解】解：， ． 故选C． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，熟练掌握该公式是解题的关键． 6. 估计的值应在（　　） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据37的取值范围即可求出的取值范围,从而得出结论． 【详解】∵＜＜， ∴6＜＜7， ∴的值应在6和7之间． 故选：B． 【点睛】此题考查的是求算术平方根的取值范围,掌握利用被开方数的取值范围,计算算术平方根的取值范围是解决此题的关键． 7. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的加减运算法则计算即可． 【详解】 故选：A 【点睛】本题考查分式的加减运算法则，熟记运算法则是解题的关键． 8. 嘉淇准备解一元二次方程时，发现常数项被污染，若该方程有实数根，则被污染的数可能是（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，即可得出答案． 【详解】解：设被污染的数为a， 根据题意可得：， 解得：， 则被污染的数可能是3， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，得出． 9. 若一元二次方程的两个根是、，则的值是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程中（，a，b，c皆为常数）中，两根，与系数的关系为，．前提条件是判别式． 10. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再求其公共部分即可． 【详解】解 由①得， x＜−2； 由②得，x≥−3， 所以不等式组的解集为． 故选：C． 【点睛】本题的实质是求不等式的公共解，解答时要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 11. 如图，在中，D、E为边的三等分点，，H为与的交点．若，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0.5 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】由三等分点的定义与平行线分线段成比例定理得出，，，则，是的中位线，然后再证，可得=，解得，则． 【详解】解：∵D、E为边的三等分点，， ∴，，， ∴，是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了三等分点的定义、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 12. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入解析式计算出，，的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，理解题意，求出，，的值是解题关键，本题也可以利用反比例函数的性质求解． 13. 在中，要判断和的大小关系（和均为锐角），同学们提供了许多方案，老师选取其中两位同学的方案（如图1和图2），对于方案Ⅰ、Ⅱ说法正确的是（ ） A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形边角关系、圆的基本性质等知识点，掌握三角形中大角对大边、小角对小边成为解题的关键． 根据三角形边角关系以及圆的性质进行判断即可． 【详解】解析：若点C在外，则， ； 若点C在上，则， ∴； 若点C在内，则， ∴； 故方案Ⅰ可行； 若与边交于点A，则， ∴； 若与边交于不是A的点，则， ； 若与边的延长线有交点，则， ∴； 故方案Ⅱ可行． 综上，Ⅰ、Ⅱ都可行． 故选C． 14. 如图，中，，，．将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l的长为（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求出，设，运用等积法可求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：中，，，． ∴， 设， ∵ ∴， 解得． 中， ∴ 的长为． 故选A． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，将绕顶点C顺时针旋转得到，D是的中点，连接BD，若，，则线段的最大值为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知，在中，利用三角形三边关系可得的最大值． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，，则， ∴， 由旋转可知，， ∵D是的中点， ∴， 在中，利用三角形三边关系可得，（当，，三点共线时取等号） ∴， ∴的最大值为4， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系，旋转的性质等知识，掌握几何最值的求解方法是解题的关键． 16. 已知拋物线与轴交于，，其顶点在线段上运动（形状保持不变），且，，有下列结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的最大值为4，则的最小值为．其中，正确结论的个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口向下可知函数有最大值3，即可判断①；根据抛物线的性质可知当时，随的增大而减小即可判断②；根据的最大值为4，则此时对称轴为直线，则由对称性可得的最小值为，即可判断③． 【详解】解：∵拋物线与轴交于，，且抛物线顶点在线段上运动（形状保持不变），，， ∴抛物线的函数值有最大值3， ∴，故①正确； ∵抛物线顶点在线段上运动（形状保持不变），且，， ∴抛物线对称轴在直线和直线之间， ∴当时，随的增大而减小，故②错误； ∵的最大值为4， ∴此时对称轴为直线， ∴由对称性可知，的最小值为，故③正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟知抛物线的性质是解题的关键． 二、填空题（本题共12分．17-18小题各3分；19小题每空2分，共10分．） 17. 计算结果等于________． 【答案】14 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解:原式 故答案为:14. 【点睛】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 18. 如图，从一个边长为的铁皮正六边形上，剪出一个扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可求出，，进而求出阴影部分扇形的半径和圆心角的度数，利用弧长公式求出的长，再根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径． 【详解】解： 如图，过点作于点， 正六边形的边长为2， ∴，， ， ， ，， 的长为， 设圆锥的底面半径为， 则，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆与正多边形，求弧长，求圆锥的底面半径，掌握正六边形的性质以及正六边形与圆的相关计算，掌握正多边形与圆的相关计算方法是解题的关键． 19. 如图，已知点，，函数的图象经过点A，与交于点C． （1）__________； （2）若C为的中点，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）把代入计算即可； （2）先表示出C点坐标，再代入计算即可． 【详解】（1）把代入得，解得， 故答案为：； （2）∵C为的中点，，， ∴， ∵在上， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，掌握中点坐标公式是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 把式子记作P，式子记作Q， （1）当时，______，______； （2）若P，Q的值互为相反数，求x． 【答案】（1）15； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义及代数式求值． （1）将分别代入和计算即可； （2）根据题意，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，当时， ，； 【小问2详解】 解：根据题意，则， 即 解得：． 21. 如图，小欢从公共汽车站出发，沿北偏东方向走米到达东湖公园处，参观后又从处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东方向的图书馆处． （1）求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离； （2）如果小欢以米分的速度从图书馆沿回到公共汽车站，那么她在分钟内能否到达公共汽车站？注：， 【答案】（1）米 （2）小欢分钟内能到达公共汽车站 【解析】 【分析】过点作于点，根据位于的北偏东方向和米可得的长度； 根据角的余弦和的长可得的长度，再结合小欢的速度可得答案． 【小问1详解】 解：过点作于点， 位于的北偏东方向，米， ，米， 答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是米； 【小问2详解】 解：中， ，米， 米， ， 小欢分钟内能到达公共汽车站． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角合，体现了数学应用于实际生活的思想． 22. 湖南省某校为了增强学生的体质、适应体育中考新要求，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对跳绳进行测试，并绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题． 一分钟跳绳成绩的频数统计表 组别 跳绳次数分段 频数 70 76 34 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人；统计表中的的值是 ；扇形统计图中B组所对的圆心角是 ． （2）求抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别； （3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，请用画树状图或列表法求出恰好分组是一男一女的概率是多少？ 【答案】（1）200；20； （2）C组 （3） 【解析】 【分析】（1）将C组的频数除以扇形所占的百分比即可求出学生总数，再将总数减去A、C、D的频数即可求出n，扇形统计图中B组的频率计算即可； （2）由（1）可知学生总数为200人，按顺序排列后，中位数应该是100和101两个数的平均数，A组是20人，B组为70人，C组为76人即可得答案； （3）通过列表得出出现所有等可能情况，从中找出满足条件的情况有8种，即可得出一男一女的概率． 【小问1详解】 解：由统计表知C组的频数为76，由扇形统计图知C组所占的频率为， 本次接受随机抽样调查的学生人数为：（人）， ， 扇形统计图中B组的圆心角度数为：； 即本次接受随机抽样调查的学生人数为200人，统计表中的的值是20，扇形统计图中B组所对的圆心角是． 【小问2详解】 解：∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为200人，A组是20人，B组为70人，，而C组是76人，， ∴中位数应该是第100个数和第101个数的平均数， ∴中位数在C组， 即抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别C组； 【小问3详解】 根据题意列表 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种， 所以，恰好分组是一男一女的概率． 23. 在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． （1）如图①，求点的坐标； （2）将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与轴，交于点，与交于点，试用含的式子表示； ②若平移后重合部分的面积为，则的值是_______（请直接写出结果即可）． 【答案】（1）， （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答； （2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解； ②分当和时两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由，得， 四边形正方形， ． ，； 【小问2详解】 解：①，，， ，． 由平移知，四边形是正方形，得，． 四边形是矩形． ，，． ， ，． ， ． ． 当时， ． ②当时， 由题意得， 解得或（舍去）； 当时，点与点N重合， 此时， ∴， ∴， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，二次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键． 24. 在2012年日市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点的王芳同学所跑的路程 s（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象为折线OBCD．和她同时起跑的李梅同学前600米的速度保持在5米/秒，后来因为体力下降，速度变慢，但还保持匀速奔跑，结果和王芳同学同时到达终点． （1）直接在图中画出李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象； （2）求王芳同学测试中的最快速度； （3）求李梅同学在起跑后多少秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有多少米？ 【答案】（1） 李梅同学所跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象： （2）王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； （3）李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，描点法画函数图象的运用，一次函数的交点坐标点的运用，解答本题时正确理解函数图象表示的意义是关键． （1）求出李梅同学前600米的时间就可以确定李梅600米时的图象位置，再连接、就可以画出图象； （2）根据函数图象求出王芳跑，，三段路程的速度，再比较大小就可以求出王芳的最快速度； （3）运用待定系数法求出的解析式和的解析式，再根据一次函数与二元一次方程的关系就可以求出李梅同学在起跑后追上王芳同学的时间和离终点的距离． 【小问1详解】 解：由题意，得:， ∴李梅运动中的图象经过， ∴在平面直角坐标系中描出这点，再连接，就可以画出李梅同学所跑的路程（米）与所用时间（秒）之间的函数图象； 【小问2详解】 由图象，得 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； 王芳段的速度为：米/秒； ∴， ∴王芳同学测试中的最快速度为6米/秒； 【小问3详解】 设直线的解析式为，由题意，得， 解得：，即， 设直线的解析式为，由题意，得, 解得：，即， 当时，， ∴， 当时，， 距离终点还有：． 答：李梅同学在起跑后秒追上王芳同学，这时她们距离终点还有米． 25. 在平面直角坐标系中（如图），抛物线与轴交于点、，其中点的坐标为，与轴交于点．抛物线的顶点为． （1）求抛物线的表达式，并写出点的坐标； （2）抛物线的对称轴上有一点，且点在第二象限，如果点到轴的距离与它到直线的距离相等，求点的坐标； （3）抛物线上有一点，直线恰好经过的重心，求点到轴的距离． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点，则，在中，，则，即可求解； （3）直线恰好经过的重心，则为边上的中线，由点、的坐标得的中点坐标为，进而求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为，则点； 【小问2详解】 设抛物线的对称轴交轴于点，过点作于点， 设点，则， 在中，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； 【小问3详解】 直线恰好经过的重心，记与交于点E， 则为边上的中线， 由点、的坐标得的中点E坐标为， 设直线的表达式为：， 代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立和得 解得：或， 即点的坐标为，或， 故点到轴的距离为：或． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到重心的定义、解直角三角形、锐角三角函数，一次函数的应用等知识点，数形结合是本题解题的关键． 26. 在等边三角形中，于点D，半圆O的直径开始在边上，且点E与点C重合，．将半圆O绕点C顺时针旋转，当时，半圆O与相切于点P．如图1所示． （1）求的长度； （2）如图2．当，分别与半圆O交于点M，N时，连接，，． ①求的度数； ②求的长度； （3）当时，将半圆O沿边向左平移，设平移距离为x．当与的边一共有两个交点时，直接写出x的取值范围． 【答案】（1）6； （2），； （3）或或． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，等边三角形中，于点D，半圆O与相切于点P，根据角所对的直角边等于斜边的一半可求解； （2）①根据圆周角可求解,②过O作于P，结合①，可求得， 根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，进而求解； （3）由题意可知，始终与的交于一点，即求出与再有E以外的一个交点即可；如图，当F在上时，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得；如图，当半圆O与相切于点P时，连接，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，从而求解；如图，当F在上时，结合已知，根据角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理可得，从而求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 等边三角形中，于点D， ， 半圆O与相切于点P， ，， ， ， 【小问2详解】 ①如图，由题意可知， 点M，N时，与半圆O上， ； ②过O作于P， ，， 【小问3详解】 由题意可知， 始终与的交于一点， 如图，当F在上时， 在中， ，，， ， ， ， 即 解得， ， 如图，当半圆O与相切于点P时，连接， ，， ， ， ， 即， 解得：， ， 如图，当F在上时， 在中， ，，， ， ， ， 解得， ， 综上所述，当与的边一共有两个交点时， 或或 【点睛】本题考查了圆的基本性质，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理；解题的关键是解含角的直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $