精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

石嘴山市第一中学2023-2024学年第二学期高二年级5月月考 数学试题 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 4. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ） A. 1700 B. 1600 C. 1400 D. 600 7. 设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 二、多选题 9. 相关变量x，y散点图如下，若剔除点13后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变小的是（ ） A. 样本的相关系数 B. 残差的平方和 C. 样本数据y的平均值 D. 回归直线中的回归系数 10. 若展开式中各奇数项的二项式系数的和为128．则（ ） A. B. 展开式中各项的系数和为1 C. 展开式中的常数项为1120 D. 展开式中x的系数为 11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ） A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条 B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为 C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选的最短路径有22条 D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 三、填空题 12. 设集合，，若，则实数a取值范围是___________ 13. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望是________. 0 1 2 a 14. 已知随机变量，若对任意的正实数，满足当时，恒成立.则m的取值范围是_______. 四、解答题 15 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，若本次数学成绩在分及以上视为优秀，已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 60 不经常整理 25 合计 100 （1）根据频数分布直方图的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？ （2）用频率估计概率，在全市中学生中随机抽取5名学生，求这5名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数的分布列和数学期望. 附： 17. “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. （1）若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2）求丙在3月2日选择“共享单车”概率； （3）记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望. 18. 2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 （1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位） （3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.70 125.35 6.73 4.57 14.30 其中，设（i=1，2，3，4，5，6）. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 19. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛. 要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响. （1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为. 求他第一项测试“通过”的概率； （2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值. 20. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）当时， （i）判断函数的零点个数； （ii）求证：有两个极值点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石嘴山市第一中学2023-2024学年第二学期高二年级5月月考 数学试题 一、单选题 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合，再利用交集运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 故选：B． 2. 已知命题p：，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，可得答案. 【详解】：，. 故选：D 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C、D，利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 4. 若，则“”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由得，推不出来， 由得或，推不出来，排除A，B； 由可得，解得或， 所以是的既不充分也不必要条件，排除C； 由，反之不成立，D正确， 故选：D. 5. 甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】甲以获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，由此能求出甲以获胜的概率． 【详解】由题意知，甲以获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以获胜的概率是：． 故选：A． 6. 已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布，且，则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（ ） A. 1700 B. 1600 C. 1400 D. 600 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意利用正态分布的对称性求零件合格的概率，进而估算出结果． 【详解】因为服从正态分布，且， 所以该企业生产的该种零件合格的概率， 所以估计该企业生产的2000个零件中合格品的个数为， 故选：C． 7. 设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解. 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得， 所以. 故选：B 8. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 二、多选题 9. 相关变量x，y的散点图如下，若剔除点13后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变小的是（ ） A. 样本的相关系数 B. 残差的平方和 C. 样本数据y的平均值 D. 回归直线中的回归系数 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合变量间的相关关系，结合图象分析判断即可. 【详解】由散点图可知，去掉点后，与的线性相关加强，且为负相关， 所以样本的相关系数变小，残差的平方和变小，样本数据y的平均值变小，故ABC正确； 回归直线中的回归系数变大，故D错误. 故选：ABC. 10. 若展开式中各奇数项的二项式系数的和为128．则（ ） A. B. 展开式中各项的系数和为1 C. 展开式中的常数项为1120 D. 展开式中x的系数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质可判断A；令可得展开式中各项的系数和可判断B；求出展开式的通项可判断CD． 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确； 对于B，令，可得展开式中各项的系数和为1，故B正确； 对于C，展开式通项， 因为，所以，所以展开式中不存在常数项， 故C错误； 对于D，令，解得，所以x的系数为，故D正确． 故选：ABD． 11. 2024年元宵节，张同学与陈同学计划去连江人民广场参加猜灯谜活动.张同学家在如图所示的E处，陈同学家在如图所示的F处，人民广场在如图所示的 G 处.下列说法正确的是（ ） A. 张同学到陈同学家的最短路径条数为6条 B. 在张同学去人民广场选择的最短路径中，到F处和陈同学汇合并一同前往的概率为 C. 张同学在去人民广场途中想先经过花海欣赏灯光秀（花海四周道路均可欣赏），可选最短路径有22条 D. 张同学和陈同学在选择去人民广场的最短路径中，两人相约到人民广场汇合，事件A：张同学经过陈同学家；事件B：从F到人民广场两人的路径没有重叠部分 （路口除外），则. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A：4格中2格向上，2格向右的问题；对于B：先求出张同学去人民广场选择的最短路径中总的基本事件，再求出和陈同学回合后的基本事件数，利用古典概型解答；对于C：间接法，先求出不欣赏灯光秀的情况数，再用总数一减即可；对于D：求出和，再利用条件概率公式求解. 【详解】对于A：最短路径为共走4格，其中向上走2格，向右走2格，条数为，A正确； 对于B：在张同学去人民广场选择的最短路径中， 总的基本事件：共走7格，其中向上走3格，向右走4格，即有种走法， 到F处和陈同学汇合并一同前往，首先到处，有种走法，再到人民广场，共走3格，其中向上走1格，向右走2格，即有种走法，则到F处和陈同学汇合并一同前往的基本事件有种， 则概率为，B正确； 对于C：在张同学去人民广场选择的最短路径共种走法，若途中不经过花海欣赏灯光秀， ①先从走到有种走法，再从走到有2种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法， ②先从走到有种走法，再从走到有种走法，则途中不经过花海欣赏灯光秀有种走法， ③先从走到，再走到有种走法， 综合得途中不经过花海欣赏灯光秀总共有种走法， 则欣赏灯光秀有种走法，C错误； 对于D：，D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：网格中的最短路径问题，可以转化为格中，有格向上，向右的问题来解答. 三、填空题 12. 设集合，，若，则实数a的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的包含关系即可得解. 【详解】因为或， 又，， 所以. 故答案为：. 13. 已知随机变量的分布列如下，随机变量满足，则随机变量的期望是________. 0 1 2 a 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质求出，即可求出，再由期望的性质计算可得. 【详解】依题意，解得， 所以，又， 所以. 故答案为： 14. 已知随机变量，若对任意的正实数，满足当时，恒成立.则m的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式求出，变形给定不等式，构造函数，利用导数结合单调性求解即得. 【详解】由随机变量，得， 当时，， 而为正实数，则，令，于是， 依题意，函数在上单调递减，即，， 因此，，而函数是上的增函数，则，解得， 故答案为： 四、解答题 15. 已知集合，或． （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，结合集合的交集的运算，即可求解； （2）根据题意，转化为，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，集合， 因为集合或，所以或. 【小问2详解】 解：由集合或，可得， 因为，且 “”是“”充分不必要条件， 可得，则，解得，即实数的取值范围是. 16. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，若本次数学成绩在分及以上视为优秀，已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 60 不经常整理 25 合计 100 （1）根据频数分布直方图的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？ （2）用频率估计概率，在全市中学生中随机抽取5名学生，求这5名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数的分布列和数学期望. 附： 【答案】（1）列联表见解析，认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出本次数学成绩在分以下的频率，即可计算出人数，从而完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）求出样本中经常整理错题且数学成绩优秀的概率，则，根据二项分布的概率公式及期望公式计算可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知本次数学成绩在分以下的频率为， 即样本中本次数学成绩在分以下的有人， 则样本中本次数学成绩在分以上的有人， 所以数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生有人， 所以列联表如下所示： 整理错题随图 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理 35 25 60 不经常整理 15 25 40 合计 50 50 100 零假设：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关， 则， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立 即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 【小问2详解】 频率估计概率，在全市中学生中随机抽取1名学生，经常整理错题且数学成绩优秀的概率； 所以，则的可能取值为、、、、、， 则， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （的分布列为）， 所以. 17. “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚.甲、乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种.他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复. （1）若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2）求丙在3月2日选择“共享单车”的概率； （3）记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）； （2）； （3）分布列见解析，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用互斥事件的概率公式及条件概率公式计算得解. （2）由已知，利用对立事件及互斥事件的概率公式计算即得. （3）求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件， 记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件， 则， 又， 所以， 即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为. 【小问2详解】 设丙在3月第n天选择“共享单车”的概率为 由题意得，则. 【小问3详解】 依题意，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望. 18. 2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年.华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性.正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务.”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里.现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图. 月份x 1 2 3 4 5 6 收入y（百万元） 6.6 8.6 16.1 21.6 33.0 41.0 （1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入.（结果保留小数点后两位） （3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望.参考数据： 3.50 21.15 2.85 17.70 125.35 6.73 4.57 14.30 其中，设（i=1，2，3，4，5，6）. 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（，）（i=1，2，3，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）更适宜 （2），65.35百万元 （3）分布列见解析，1 【解析】 【分析】（1）根据散点图确定正确答案. （2）根据非线性回归的知识求得回归方程并求得预测值. （3）利用超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【小问1详解】 根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型； 【小问2详解】 因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以 所以. 所以，即，所以. 令，得， 故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元. 【小问3详解】 前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2， 所以X的分布列为： 0 1 2 P 所以. 19. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间为2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛. 要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响. （1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能的从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为. 求他第一项测试“通过”的概率； （2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）第一项测试“通过”分选择了项目A通过，选择了项目B通过和选择了项目C通过，利用条件概率和互斥事件的概率加法公式计算； （2）由居民乙获一等奖的概率为，可得，把获得二等奖的概率表示为的函数，利用导数研究单调性，求最小值. 【小问1详解】 记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”， “第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”， 由题意知，，， ， 又事件互斥，则， 即， 即居民甲第一项测试“通过”的概率是. 【小问2详解】 由居民乙获一等奖的概率为，可知. 则获得二等奖的概率. 令， ， 当时，；当时，. 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数. 所以， 所以的最小值为. 20. 已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）当时， （i）判断函数的零点个数； （ii）求证：有两个极值点，且． 【答案】（1）-1；（2）①两个；②证明见解析. 【解析】 【分析】求导，当时，利用导函数分析原函数的单调性；（1）当时，利用单调性求最值即可；（2）（i）利用单调性以及零点存在性定理可判断函数的零点个数；（ii），由（i）知有两个零点，设为，且，通过的单调性，分析的单调性，可得为的两个极值点，代入函数可得，用分析法证明，整理令，记，求导，得到即可. 【详解】解：定义域为． 当时，令， 得， 令，得， 故上单调递增，在上单调递减． （1）当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以． （2）（i）在上单调递增，在上单调递减， 至多有两个零点． 在上有一个零点． 由（1）可证， 从而， 又， 在上有一个零点． 综上，函数有两个零点． （ii）的定义域为． 由（i）知有两个零点， 设为，且， 且． 又在上单调递增，在上单调递减． 当，或时， ； 当时，． 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故为的两个极值点． ， 同理． 欲证， 即证． ， ， ， 令， 即证， 即证． 记， 在上单调递增， 故， 命题得证． 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调性和极值的步骤： ①写定义域，对函数求导；②在定义域内，解不等式和；③写出单调区间，并判断极值点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$