广东深圳外国语学校2026-2027学年高二上学期学科练习（五）数学试题

深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．已知，则的垂直平分线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式求出的斜率，可得其中垂线的斜率，利用中点坐标公式可得其中点坐标，利用点斜式可得结果. 【详解】设线段的中点坐标为， 则，中点坐标为， 直线的斜率， 垂直平分线的斜率为3， 则的垂直平分线方程为, 化简得 故选：B. 2．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 3．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将椭圆的方程转化为椭圆的标准方程，进而结合的范围得，再根据离心率公式计算即可得答案. 【详解】椭圆变形为， 因为，所以，所以椭圆的焦点在轴上，， 所以离心率，解得. 故选：D. 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由． 因为，，所以，， 所以，又， 所以，故． 5．直线与圆相切，则 A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12 【答案】D 【分析】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用. 【详解】圆的方程可化为，所以圆心为，半径为1， 因为直线与圆相切， 所以，解得或. 6．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设扇形的圆心角为，利用扇形的面积公式，分别求得扇形和的面积，进而求得图形的面积与扇形的面积的比值，得到答案. 【详解】解：设扇形的圆心角为， 可得扇形的面积为，扇形的面积为， 因为，所以，即， 所以图形的面积与扇形的面积的比值. 故选：D. 7．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义和性质计算即可. 【详解】因方程表示椭圆，则有，，且，即，A错误； 焦点在轴上时，，解得，C正确； 焦点在轴上时，，解得，D错误； 焦点在轴上时，则，焦点在轴上时，，B错误． 8．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，即，所以动点P的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点P的轨迹方程． 【详解】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为. 故选：D 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据三角函数的诱导公式、和差化积、积化和差公式依次判断即可. 【详解】对于A，由三角函数的诱导公式得，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，显然不恒成立，故D错误. 10．已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 【答案】AD 【分析】根据两点的距离公式，算出两圆的圆心距，从而判断出A项的正误；根据两圆相切、相交的性质，列式算出的取值范围，判断出B,C两项的正误；当圆的圆心在两圆的公共弦上时，公共弦长有最大值，从而判断出D项的正误． 【详解】根据题意，可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径． 对于A，因为两圆的圆心距，所以A项正确； 对于B，两圆内切时，圆心距，即，解得． 两圆外切时，圆心距，即，解得． 综上所述，若两圆相切，则或，故B项不正确； 对于C，若圆与圆恰有两条公切线，则两圆相交，， 即，可得，解得且，故C项不正确； 对于D，若圆与圆相交，则当圆的圆心在公共弦上时，公共弦长等于，达到最大值， 因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D项正确． 故选：AD． 11．已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 【答案】BCD 【分析】利用三角形的面积公式可判断A选项；利用椭圆的定义可判断B选项；设，利用三角形的面积公式、余弦定理、同角三角函数的基本关系可得出关于、的方程，解出的值，可判断C选项；利用等面积法可判断D选项. 【详解】对于A选项，在椭圆中，，，， ，则、， 设点，，，故选项A错误； 对于B选项，由椭圆的定义可知， 的周长为，故选项B正确； 对于C选项，设，，可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以，解得，故选项C正确， 对于D选项，设的内切圆半径为， 则， ，故选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【分析】由直线方程求得其在坐标轴上截距，可得椭圆的的值，根据离心率的公式，可得答案. 【详解】当时，由，则；当时，由，则， 由题意可得为椭圆的顶点， 则椭圆的方程为，所以， 可得，所以离心率. 故答案为：. 13．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 14．已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积为________. 【答案】或 【分析】根据题意可知原点到直线的距离1，所以直线是圆的切线，进而可知圆是三角形的外接圆，继而可求三角形面积. 【详解】根据题意原点到直线的距离， ∴直线为圆的切线，如图， 设正三角形边长为，如图时, ∴，解得， 即； 如图时，. 故答案为：或. 四、解答题（本题共5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； （2）由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 16．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程． 【答案】(1)＋＝1 (2)16x＋8y－1＝0或16x＋24y－3＝0 【分析】（1）由离心率公式以及余弦定理得出椭圆C的方程； （2）联立直线l和椭圆的方程，利用韦达定理以及中点坐标公式得出点坐标，再由垂直关系得出线段MN所在的直线方程． 【详解】（1）解：（1）由e＝，得a＝2c，易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2， 由余弦定理，得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A＝|F1F2|2， 即4＋(2a－2)2－2×2×(2a－2)×＝a2，解得a＝2，则c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1； （2）设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝， ∴N.又M，则kMN＝＝－. ∵MN⊥PQ，∴kMN＝－，得k＝或， 则kMN＝－2或kMN＝－，故直线MN的方程为16x＋8y－1＝0或16x＋24y－3＝0. 【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键是将MN⊥PQ转化为kMN＝－，结合韦达定理以及中点坐标公式得出直线MN的方程. 17．如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至．    (1)是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． (2)当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】(1)翻折到时，平面，此时. (2) 【分析】（1）先证明平面得，再根据时，结合勾股定理，进而即可证明平面，此时求得； （2）结合（1），建立空间直角坐标系，设，，再根据向量法求解线面角，并结合三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）因为在中，，垂足为， 所以，翻折至时，， 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 因为，． 所以，， 所以，当翻折到时，，即， 因为，平面， 所以平面， 综上，当翻折到时，平面，此时. （2）如图建立空间直角坐标系， 则，，， 设，则， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，整理得， 所以， 设直线与平面所成角为， 则 ， 因为， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的最小值为.    18．如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）．规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、．规划要求:线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点、到直线的距离分别为和（、为垂足），测得，，（单位:百米）． (1)若道路与桥垂直，求道路的长； (2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由； (3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为（单位：百米）.求当最小时，、两点间的距离． 【答案】(1)（百米） (2)解法一: ①若在处，由（1）可得在圆上，则线段上的点（除，）到点的距离均小于圆的半径，所以选在处不满足规划要求. ②若在处，连结，由（1）知， 从而，所以为锐角. 所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径. 因此，选在处也不满足规划要求. 综上，和均不能选在处. 解法二: ①若在处，取线段上一点，则，所以选在处不满足规划要求. ②若在处，连结，由（1）知，又， 所以线段. 在线段上取点，因为， 所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径. 因此选在处也不满足规划要求. 综上，和均不能选在处. (3)（百米） 【分析】解法一： （1）过作，垂足为，利用几何关系即可求得道路的长； （2）分类讨论和中能否有一个点选在处即可. （3）先讨论点的位置，然后再讨论点的位置即可确定当最小时，、两点间的距离． 解法二： （1）建立空间直角坐标系，分别确定点和点的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路的长； （2）分类讨论和中能否有一个点选在处即可. （3）先讨论点的位置，然后再讨论点的位置即可确定当最小时，、两点间的距离． 【详解】（1）过作，垂足为. 由已知条件得，四边形为矩形，. 因为， 所以. 所以. 因此道路PB的长为（百米）. （2）略 （3）先讨论点的位置. 当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求； 当时，对线段上任意一点，，即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求. 设为上一点，且，由（1）知，， 此时； 当时，在中，. 由上可知，. 再讨论点的位置. 由（2）知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求. 当时，. 此时，线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径. 综上，当，点位于点右侧，且时，最小， 此时两点间的距离. 因此，最小时，两点间的距离为（百米）. 解法二： （1）如图，过作，垂足为. 以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系. 因为，，所以，直线的方程为， 点A，B的纵坐标分别为，. 因为为圆的直径，，所以圆的方程为. 从而，，直线的斜率为. 因为，所以直线的斜率为， 直线PB的方程为. 所以，. 因此道路的长为15（百米）. （2）略 （3）先讨论点的位置. 当时，线段上存在点到点的距离小于圆的半径，点不符合规划要求； 当时，对线段上任意一点，， 即线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径，点符合规划要求. 设为上一点，且，由（1）知，，此时； 当时，在中，. 由上可知，. 再讨论点的位置. 由（2）知，要使得，点只有位于点的右侧，才能符合规划要求. 当时，设，由， 得，所以，此时线段上所有点到点的距离均不小于圆的半径. 综上，当，时，最小，此时两点间的距离. 因此，最小时，两点间的距离为（百米）. 【点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力. 19．设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）． （1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率； （2）若，求第三次取出为白球的概率； （3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率． （2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率． （3）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率． 【详解】解：（1）时，第二个袋中有2白2红，共4个球，从中连续取出三个球（每个取后不放回）． 第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白， ∴第三次取出为白球的概率． （2）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： （白，白，白），取法数为， （白，红，白），取法数为， （红，白，白），取法数为， （红，红，白），取法数为， 从而第三次取出的是白球的种数为： ， 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率， 而选到第个袋子的概率为，故所求概率为： ． （3）设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： （白，白，白），取法数为， （白，红，白），取法数为， （红，白，白），取法数为， （红，红，白），取法数为， 从而第三次取出的是白球的种数为： ， 则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率， 而选到第个袋子的概率为，故所求概率为： ． 【点睛】关键点睛：本题考查概率的求法，相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式，关键在于运用列举法，准确地运用公式得以解决问题． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2026-2027学年度高二第一学期学科练习 试卷满分：150分，考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号码等信息填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题 5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．已知，则的垂直平分线方程为（　　） A． B． C． D． 2．离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的离心率为，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 4．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．直线与圆相切，则 A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12 6．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（    ）    A． B． C． D． 7．若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（   ） A． B．椭圆的焦距为 C．若椭圆的焦点在轴上，则 D．若椭圆的焦点在轴上，则 8．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列等式恒成立的是（     ） A． B． C． D． 10．已知圆，圆，则（    ） A．两圆的圆心距的最小值为1 B．若圆与圆相切，则 C．若圆与圆恰有两条公切线，则 D．若圆与圆相交，则公共弦长的最大值为2 11．已知是椭圆上一点，、为其左、右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（    ） A．点纵坐标为 B．的周长为 C． D．的内切圆半径为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 13．已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 14．已知直线：，若，，能围成正三角形，则该正三角形的面积为________. 四、解答题（本题共5小题，共 77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 16．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A在椭圆C上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点M，且MN⊥PQ，求线段MN所在的直线方程． 17．如图，在中，，垂足为，，．将绕翻折至． (1)是否存在某个翻折位置，使得平面？若存在，求出此时的大小；若不存在，请说明理由． (2)当在内变化时，求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 18．如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）．规划在公路上选两个点、，并修建两段直线型道路、．规划要求:线段、上的所有点到点的距离均不小于圆的半径．已知点、到直线的距离分别为和（、为垂足），测得，，（单位:百米）． (1)若道路与桥垂直，求道路的长； (2)在规划要求下，和中能否有一个点选在处？并说明理由； (3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为（单位：百米）.求当最小时，、两点间的距离． 19．设是给定的正整数（），现有个外表相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球（每个取后不放回）． （1）若，假设已知选中的恰为第2个袋子，求第三次取出为白球的概率； （2）若，求第三次取出为白球的概率； （3）对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $