精品解析：辽宁省沈阳市新民市实验中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

2023年辽宁省沈阳市新民实验中学九年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 3. 下列立体图形中，主视图是圆的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果不等式组有解，那么的取值范围是（  ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式 B. 掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为 C. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件 D. 甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.4，s乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定 6. 关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A. B. 且k≠0 C. D. 且k≠0 7. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若二次根式（b为常数且）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图．在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，若，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 抛物线 的顶点为， 与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②当时， 随增大而减小； ③；④若方程 没有实数根，则； ⑤，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000 秒，用科学记数法表示31536000=_________． 12. 如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是____________（结果保留）． 13. 一个不透明布袋里，装有若干个只有颜色不同的红球和黄球，其中红球有5个．某同学从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过这样多次反复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则可估计袋中球的总个数是________． 14. 某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，设原计划每天生产零件个，根据题意，列方程为______． 15. 如图是按以下步骤作图：（1）在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若，则CD的长为________． 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在，上运动，以每秒个单位的速度从点出发，设运动时间为，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为______ ． 三、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 18. 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E． （1）求证：； （2）若，则ME的长是_________． 19. 九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率． 20. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 21. 小兵在学习完统计知识后，对自己班上的同学上学方式进行调查统计，他通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图如图所示．请你根据图中提供的信息解答下列问题: （1）该班共有学生______名，图中______． （2）请计算该班“步行”上学人数，并将表示“步行”部分的条形统计图补充完整． （3）在扇形统计图中，表示“骑车”部分的扇形所对应的圆心角是多少度？ （4）若全年级共有800名学生，估计全年级步行上学的学生有多少名？ 22. 如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过原点O和点C． （1）求直线和直线的表达式； （2）点D是射线OA上一动点，点O关于点D的对称点为点E，过D点作轴，交直线OC于点G，以DE，DG为邻边作矩形DEFG． ①当点F落直线AC上时，直接写出OD长； ②当为等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 24. 已知：在中，，，点F是线段BC上一点，D、E是射线AF上两点，且，． （1）如图1， ①填空：________；（填“>”或“=”或“<”） ②判定三条线段AD，BD，CE的数量关系，并说明理由； （2）若，则直接写出的值． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）求点B，点C坐标； （2）如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值； （3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年辽宁省沈阳市新民实验中学九年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 4的相反数是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，即“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：4的相反数是， 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解即可． 【详解】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点关于原点对称的点的坐标是 故选：A． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好关于原点对称点的坐标规律． 3. 下列立体图形中，主视图是圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别得出棱柱，圆柱，圆锥，球体的主视图，得出结论． 【详解】解：棱柱的主视图是矩形（中间只有一条线段），不符合题意； 圆柱的主视图是矩形，不符合题意； 圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意； 球体的主视图是圆，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 如果不等式组有解，那么的取值范围是（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式组有解，利用取解集方法，即可确定出m的范围． 【详解】解：∵解不等式组， 解得：， ∵不等式组有解， ∴； 故选择：C． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集，以及求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式的解集． 5. 下列说法正确的是（　　） A. 为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式 B. 掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为 C. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件 D. 甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是s甲2＝0.4，s乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对A进行判断；利用画树状图求概率可对B进行判断；根据必然事件和随机事件的定义对C进行判断；根据方差的意义对D进行判断． 【详解】解：A.为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，所以A选项错误； B.利用树状图得到共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，所以两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为，所以B选项错误； C.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，所以C选项错误； D.因为s甲2＝0.4，s乙2＝0.6，所以甲的方差小于乙的方差，所以甲的射击成绩较稳定，所以D选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查了调查的方式、概率的意义、随机事件的意义以及方差的意义，难点在于理解概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小． 6. 关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　） A. B. 且k≠0 C. D. 且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义和根的判别式得出k≠0且△=(-3)2-4k×1＞0，求出即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k≠0且△=(-3)2-4k×1＞0， 解得：k＜且k≠0， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 7. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，根据旋转可得，，再求出，即可得到的度数． 【详解】∵将绕点逆时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 若二次根式（b为常数且）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有题意的条件和分式有意义的条件，即可进行解答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：且， ∵， ∴原不等式组的解集为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解不等式组，以及二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不能为0，求不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到． 9. 如图．在中，，，点在上，点在上，将沿直线翻折，点的对称点落在上，若，则的长是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠得到，再利用勾股定理求出，即可得到. 【详解】∵，， ∴AD=4-1=3， 由折叠得， ∵， ∴, ∴=BC-=, 故选：D. 【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键. 10. 抛物线 的顶点为， 与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论： ①； ②当时， 随增大而减小； ③；④若方程 没有实数根，则； ⑤，其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线与轴的另一个交点为在和之间， 时，，故③正确， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000 秒，用科学记数法表示31536000=_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．当确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a的值以及n的值． 12. 如图，正方形的边长是，将对角线绕点A顺时针旋转的度数，点C旋转后的对应点为E，则的长是____________（结果保留）． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正方形的性质求解再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵正方形ABCD， ∴ ∴的长 故答案为： 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键． 13. 一个不透明的布袋里，装有若干个只有颜色不同的红球和黄球，其中红球有5个．某同学从袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回，通过这样多次反复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.25左右，则可估计袋中球的总个数是________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据红球的个数及其对应频率求出球的总个数，继而可得答案． 【详解】解：根据题意得：袋中球的总个数是个． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，理解大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 14. 某工厂计划生产个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的倍，因此提前天完成任务，设原计划每天生产零件个，根据题意，列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据提前天完成任务，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产零件个，则实际每天生产零件为个，根据题意，得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键． 15. 如图是按以下步骤作图：（1）在中，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M，N；（2）作直线MN交AB于点D；（3）连接CD，若，则CD的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据作图可以判断MN垂直平分BC，然后根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，再证明DA＝DC，即可得到CD＝AB＝4． 【详解】解：由作图方法可得MN垂直平分BC， DB＝DC， ， ， ∠B+∠A＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠ACD＝∠A， ∴DA＝DC， ∴CD＝AB＝×8＝4． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了识别线段的垂直平分线的作图，常见的基本作图有作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知线段的垂直平分线、作已知角的角平分线、过一点作已知直线的垂线．识别出MN为线段BC的垂直平分线，然后根据垂直平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点为线段的中点，动点从点出发，沿的方向在，上运动，以每秒个单位的速度从点出发，设运动时间为，将矩形沿折叠，点的对应点为，当点恰好落在矩形的对角线上时（不与矩形顶点重合），则的值为______ ． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况，当点恰好落在矩形的对角线上时，连接，由翻折及点为中点可得，再利用平行线分线段成比例计求解；当点恰好落在矩形的对角线上时，证明，推出，据此即可求解． 【详解】解：当点恰好落在矩形的对角线上时，连接，如图 由翻折可得， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点恰好落在矩形的对角线上时，作于点， 由折叠的性质知， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数，折叠的性质，掌握直角三角形斜边上的中线长度等于斜边长的一半是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 【答案】1 【解析】 【分析】根据求特殊角三角函数，算术平方根，绝对值和负整数指数幂的方法进行求解即可得到答案． 【详解】解：， ． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数，算术平方根，绝对值和负整数指数幂，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 18. 如图，在菱形ABCD中，点M，N分别是边BC，DC上的点，．连接AM，AN，延长AN交线段BC延长线于点E． （1）求证：； （2）若，则ME的长是_________． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明再证明再利用ASA可得结论； （2）先利用菱形的性质证明 再利用全等三角形的性质求解证明利用相似三角形的性质求解 从而可得答案. 【小问1详解】 证明： 菱形ABCD， 而， . 【小问2详解】 菱形ABCD， , 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练的运用菱形的性质确定全等三角形与相似三角形是解本题的关键. 19. 九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率． 【答案】． 【解析】 【分析】】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号相同时的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： 则共有9种等可能的结果，两次摸出的小球标号相同时的情况有3种， 所以中奖的概率＝＝． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本． （1）甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？ （2）如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的2倍多8本，且用于购买甲、乙两种图书的总经费不超过1060元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？ 【答案】（1）乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元；（2）该图书馆最多可以购买28本乙图书． 【解析】 【分析】根据两种图书的倍数关系，设乙图书每本的价格为x元，则甲图书每本的价格为2.5x元，再根据同样多的钱购买图书数量相差24本，列方程，求出方程的解即可，分式方程一定要验根. 设购买甲图书m本，则购买乙图书(2m＋8)本，再根据总经费不超过1060元，列不等式，求出不等式的解集，进而求得最多可买乙图书的本数. 【详解】解：（1）设乙图书每本价格为元，则甲图书每本价格是元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验得：是原方程的根， 则， 答：乙图书每本价格为20元，则甲图书每本价格是50元； （2）设购买甲图书本数为，则购买乙图书的本数为：， 故， 解得：， 故， 答：该图书馆最多可以购买28本乙图书． 【点睛】本题考查分式方程的运用，一元一次不等式组的运用，理解题意，抓住题目蕴含的数量关系解决问题. 21. 小兵在学习完统计知识后，对自己班上的同学上学方式进行调查统计，他通过收集数据后绘制的两幅不完整的统计图如图所示．请你根据图中提供的信息解答下列问题: （1）该班共有学生______名，图中______． （2）请计算该班“步行”上学的人数，并将表示“步行”部分的条形统计图补充完整． （3）在扇形统计图中，表示“骑车”部分的扇形所对应的圆心角是多少度？ （4）若全年级共有800名学生，估计全年级步行上学的学生有多少名？ 【答案】（1）40，30 （2）见解析 （3）108° （4）160名 【解析】 【分析】（1）由乘车人数除以占的百分比求出学生总数，进而确定出骑车学生的百分比，得到a的值； （2）求出步行学生人数，补全条形统计图即可； （3）由骑车学生百分比乘以360即可得到结果； （4）求出步行学生占的百分比，乘以800即可得到结果． 【小问1详解】 根据题意得：20÷50%=40，12÷40×100%=30%， 则该班学生共有40人，a=30； 故答案为：40，30； 【小问2详解】 步行学生人数为：40-（20+12）=8（人），补全条形统计图，如图所示： 【小问3详解】 根据题意得：360°×30%=108°， 则“骑车”部分的扇形所对应的圆心角是108°； 【小问4详解】 根据题意得：800×（1-50%-30%）=800×20%=160（名）， 则全年级步行上学的学生有160名． 【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清统计图中的数据是解本题的关键． 22. 如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）﹣π． 【解析】 【分析】（1）连接OD，先由平行四边形的性质得OA=DC，OC=AD，再证△OAD、△OCD都是等边三角形，得∠AOD=∠COD=60°，然后证△OBF≌△ODF（SAS），得∠OBF=∠ODF=90°，即可得出结论； （2）先求出∠FEB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得OE=2，DE=OD=，然后求出S△EOD=，S扇形AOD=，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接OD，如图所示： ∵四边形AOCD为平行四边形， ∴OA＝DC，OC＝AD， ∵OA＝OC＝OD， ∴OA＝OD＝AD，DC＝OC＝OD， ∴△OAD、△OCD都是等边三角形， ∴∠AOD＝∠COD＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝60°， 在△OBF和△ODF中， ， ∴△OBF≌△ODF（SAS）， ∴∠OBF＝∠ODF， ∵∠OBF＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴EF⊥OD ∵点D在⊙O上， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：在Rt△ODE中，∵∠AOD＝60°， ∴∠FEB＝30°， ∵OD＝1， ∴OE＝2，DE＝OD＝， ∴S△EOD＝OD×DE＝×1×＝ ，S扇形AOD＝＝π， ∴图中阴影部分的面积＝S△EOD﹣S扇形AOD＝﹣π． 【点睛】本题考查了切线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、扇形面积公式、三角形面积等知识；熟练掌握切线的判定和平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过原点O和点C． （1）求直线和直线的表达式； （2）点D是射线OA上一动点，点O关于点D的对称点为点E，过D点作轴，交直线OC于点G，以DE，DG为邻边作矩形DEFG． ①当点F落在直线AC上时，直接写出OD长； ②当为等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）， （2）或或 【解析】 【分析】（1）将点点和点代入，求得，点代入求得，从而可求出表达式． （2）①设点的坐标表示出点的坐标，代入，进而求得结果，②当时根据对称性可求得点的坐标，当和，列出方程求出的值，从而得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，将点和点代入中得， ，解得， ， 将点代入得， ，解得， ． 【小问2详解】 ①设点，则，， 当时，， 点和的纵坐标相等， ， ， ， ②，， 当时，， ， ， 当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数图像及性质，等腰三角形的分类和判定，勾股定理等知识，根据题意设出点坐标，根据勾股定理列出方程求出坐标是解题的关键． 24. 已知：在中，，，点F是线段BC上一点，D、E是射线AF上两点，且，． （1）如图1， ①填空：________；（填“>”或“=”或“<”） ②判定三条线段AD，BD，CE的数量关系，并说明理由； （2）若，则直接写出的值． 【答案】（1）①=；②CE=AD+BD，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①证明∠BAE+∠CAE=120°，∠ACE+∠CAE=120°，可得结论；②结论：CE=AD+BD．延长AD到T，使得DT=DB，连接BT．证明△ABT≌△CAE，推出AT=CE，可得结论； （2）分两种情形：当BD在BC的上方时，当BD在BC的下方时，即可求解． 【小问1详解】 解： ①∵∠BAC=120°， ∴∠BAE+∠CAE=120°， ∵∠AEC=60°， ∴∠CAE+∠ACE=120°， ∴∠BAE=∠ACE； 故答案为：= ②CE=AD+BD，理由如下： 如图，延长AD到T，使DT=DB，连接BT， ∵∠ADB=120°， ∴∠BDT=60°， ∵DT=DB， ∴△BDT是等边三角形， ∴∠T=∠AEC=60°， 在△ABT和△CAE中， ∵∠T=∠AEC=60°，∠BAT=∠ACE，AB=CA， ∴△ABT≌△CAE（AAS）， ∴AT=CE， ∵AT=AD+DT，BD=DT， ∴CE=AT=AD+BD； 【小问2详解】 解：如图1所示，当BD在BC的上方时，过点B作BH⊥AT于点H． ∵△BDT是等边三角形，BH⊥DT， ∴DH=HT， 设DH=HT=m，则BD=DT=2m， ∴， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠ACB=30°， ∵∠DBC=15°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=15°， ∵∠ADB=120°， ∴∠BAD=180°-120°-15°=45°， ∴， ∴， 由（1）②得：AT=CE， ∴， ∵∠BDF=∠AEC=60°， ∴BD∥EC， ∴△BDF∽△CEF， ∴； 如图2所示，当BD在BC的下方时，过点A作AR⊥BD交BD的延长线于点R． ∵∠ADB=120°， ∴∠ADR=60°， ∴∠DAR=30°， ∴AD=2DR， ∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠ABC=30°， ∵， ∴∠ABD=45°， ∴∠BAR=∠ABD=45°， ∴AR=BR， 设DR=n，则AD=2n， ∴， ∴， 由（1）②得：CE= AD+BD， ∴， ∵∠AEC=∠ADR=60°， ∴EC∥DB， ∴△BDF∽△CEF， ∴， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接． （1）求点B，点C的坐标； （2）如图1，点在线段上（点E不与点B重合），点F在y轴负半轴上，，连接，设的面积为，的面积为，，当S取最大值时，求m的值； （3）如图2，抛物线的顶点为D，连接，点P在第一象限的抛物线上，与相交于点Q，是否存在点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当最大时， （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的解析式，令x=0，可得C的坐标，令y=0，可得A，B的坐标； （2）由 可得 再分别表示 再建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案； （3） 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD，证明 证明 求解 可得 再求解 及为再联立： 从而可得答案． 【小问1详解】 解：∵， 令 则 令 则 解得： ∴ 【小问2详解】 ∵ ∴ 而 ∴ ∴当最大时，则 【小问3详解】 如图，延长DC与x轴交于点N，过A作于H，过作轴于K，连接BD， ， ∵抛物线 ∴顶点 轴， ∴ 设为 解得 ∴为 联立： 解得： 所以 【点睛】本题考查的是二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，函数的交点坐标问题，求解Q的坐标是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$