精品解析：2024年河北省邯郸市馆陶县中考三模数学试题

2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 依据下列各角所标数据，其中没有余角的是（ ）． A. B. C. D. 2. a与b的和的相反数可以用式子表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（ ）． A. ＋ B. C. × D. ÷ 4. 如图，①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，从正面观察这些几何体，其中主视图相同的是（ ）． A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ③和④ 5. 在括号里填入后，能使等式成立的是（ ）． A. （ ）4 B. （ ） C. （ ） D. （ ） 6. 如图，从海岸边的塔楼O观测海面的情况，海船P在O的北偏东方向上，海船Q在O的南偏东方向上，则（ ）． A. B. C. D. 7. 对于分式中四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 8. 在四边形中，，其中部分线段的长已标记在图中，要使四边形为平行四边形，有如下三种添加条件的方案：甲：应添加条件“”；乙：应添加条件“”；丙：应添加条件“”．其中正确的是（ ）． A. 甲和丙 B. 甲和乙 C. 只有乙 D. 甲、乙和丙 9. 计算：，结果用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 10. 若，则a和b的值不可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，使点D落在边上．设，，则正确的是（ ）． A. B. C. D. 无法比较与的大小 12. 嘉淇家去年上半年的各项生活支出情况的扇形统计图如图1，去年下半年增加了生活支出的总费用，相应支出情况的扇形统计图如图2．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）． A. 下半年教育支出的费用没有变化 B. 下半年只有旅游支出的费用增加了 C. 下半年食品支出的费用一定减少 D. 下半年其他支出的费用可能增加了 13. 如图，点P，Q关于直线l对称，点A，B为直线l上不同的两个点（点A在点B的左侧），连接．已知，，点A不在内部，则线段的长不可能为（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 14. 如图，在中，利用尺规作得的平分线与边的垂直平分线交于点P，有如下结论：①若，则点P到点A，B的距离相等；②若，则点P到的距离相等．其中正确的结论（ ）． A. 只有① B. ①②都对 C. 只有② D. ①②都不对 15. 珍珍的爸爸是某单位的一名销售员，他的月工资（基本工资＋计件提成）总额随月销售量x（件）的变化而变化，下表是他应得工资w（元）与x之间的关系： 销售量x（件） 100 110 120 130 … 月工资总额w（元） … 求珍珍爸爸的月收入不低于5000元时应销售件数的取值范围，有如下解题方法： 方法一： 建立w与x的函数关系式： 由，求得x的范围． 方法二： 月工资因计件提成不同而不同， 由，求得x的范围． 下列判断正确的是（ ）． A. 方法一的思路正确，函数表达式也正确 B. 方法一的思路和函数表达式都不正确 C. 方法二的思路正确，所列不等式也正确 D. 方法二的思路和所列不等式都不正确 16. 如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（ ）． A. 只有Ⅰ正确 B. 只有Ⅱ正确 C. Ⅰ、Ⅱ都正确 D. Ⅰ、Ⅱ都不正确 二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题3分，18小题4分，每空2分，19小题3分，每空1分．把答案写在题中横线上） 17. 写出一个符合的整数x的值：__________． 18. 如图，过正五边形的点E作，分别交，的延长线于点N，M． （1）与是否平行？__________（填“是”或“否”）； （2）__________． 19. 如图，正方形中，点，点，点，，且，沿折叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F． （1）__________； （2）当时，m的值为__________； （3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为__________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：； 第三行第3个数：． （1）求x的值； （2）若一个数位于第n行的第2个数． ①用含n的代数式表示这个数：__________； ②若这个数等于，求出该数所在的行数n． 21. 【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是这两个数乘积的4倍； 【验证】__________，__________； 【探究】设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 22. 如图，在一只不透明的箱子中装有个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字，，，，搅匀后，甲先从中随机摸出一个球（不放回），将小球上的数字记录下来，乙再从余下的个球中摸出一个球，同样将小球上的数字记录下来． （1）写出第一次摸出的小球上数字是正数的概率； （2）利用画树状图或列表的方法，求出第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，． （1）求所在直线的解析式； （2）将点向左平移m个单位长度得到点D，若直线恰好经过点D，求m，n之间的数量关系． 24. 如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 25. 如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止． （1）若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标； （2）设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m． ①用含m的式子表示顶点D的坐标； ②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式； （3）在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线向点运动，连接．点关于直线的对称点分别为点，连接．设点在折线上运动的路径长为． （1）如图1，当点在边上且时，写出________°； （2）当点落在的延长线上时，连接． ①求证：； ②求此时的值； （3）当直线恰好经过点时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河北省初中毕业生升学文化课模拟考试数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 依据下列各角所标数据，其中没有余角的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了余角．熟练掌握如果两个角的和为直角，那么称这两个角“互为余角”是解题的关键． 根据余角的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，没有余角， 故选：D． 2. a与b的和的相反数可以用式子表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，列代数式，熟练掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义列式即可． 【详解】解：a与b的和的相反数可以用式子表示为， 故选：B． 3. 算式3的运算符号被遮盖了，若要使该式的计算结果最小，则被遮盖的运算符号为（ ）． A. ＋ B. C. × D. ÷ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，有理数大小的比较，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 将各个选项中的运算符号代入题干中的式子，计算出结果，然后比较结果，即可得到使得式子结果最小时的运算符号． 【详解】解：， ， ， ， ∵ ∴的结果最小， 故选：C． 4. 如图，①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，从正面观察这些几何体，其中主视图相同的是（ ）． A. ①和② B. ②和③ C. ②和④ D. ③和④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，分别画出每个组合体的主视图，再进行判断即可 【详解】解：①的主视图为： ②的主视图为： ③的主视图为： ④的主视图为： 由此可知，主视图相同的是②和④， 故选：C 5. 在括号里填入后，能使等式成立的是（ ）． A. （ ）4 B. （ ） C. （ ） D. （ ） 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂乘除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方法则计算判定A；根据合并同类项法则计算并判定B；根据同底数幂相除的法则计算并判定C；根据同底数幂相乘的法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，从海岸边的塔楼O观测海面的情况，海船P在O的北偏东方向上，海船Q在O的南偏东方向上，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了方向角．熟练掌握方向角是解题的关键． 如图，由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意知，， ∴， 故选：B． 7. 对于分式中四个符号，任意改变其中两个符号，分式的值不变的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，分式的值不变，符合题意； B、，分式的值改变，不符合题意； C、，分式的值改变，不符合题意； D、，分式的值改变，不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查分式的基本性质，解本题的关键是熟练运用分式的基本性质，属于基础题型．分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 8. 在四边形中，，其中部分线段的长已标记在图中，要使四边形为平行四边形，有如下三种添加条件的方案：甲：应添加条件“”；乙：应添加条件“”；丙：应添加条件“”．其中正确的是（ ）． A. 甲和丙 B. 甲和乙 C. 只有乙 D. 甲、乙和丙 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 首先根据得到，然后分别利用全等三角形的性质和判定以及平行四边形的判定定理求解即可． 【详解】∵ ∴ 若添加条件“” ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形，故甲正确； 若添加条件“” ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形，故乙正确； 若添加条件“” ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形，故丙正确； 综上所述，其中正确的是甲、乙和丙． 故选：D． 9. 计算：，结果用科学记数法可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了科学记数法的表示方法．先利用负整数指数幂计算出结果，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 用科学记数法可以表示为， 故选：D． 10. 若，则a和b的值不可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的加法，根据二次根式的运算法则计算即可得到结论． 【详解】解：A．当，时，，故选项不符合题意； B．当，时，，故选项不符合题意； C．当，时，，故选项不符合题意； D．当，时，，故选项符合题意． 故选：D． 11. 如图，将绕点B顺时针旋转得到，使点D落在边上．设，，则正确的是（ ）． A. B. C. D. 无法比较与的大小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 先由旋转的性质得，再由三角形外角性质即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， ∴， ∵， ∵， ∴，即． 故选：A． 12. 嘉淇家去年上半年的各项生活支出情况的扇形统计图如图1，去年下半年增加了生活支出的总费用，相应支出情况的扇形统计图如图2．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）． A. 下半年教育支出的费用没有变化 B. 下半年只有旅游支出的费用增加了 C. 下半年食品支出的费用一定减少 D. 下半年其他支出的费用可能增加了 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图的运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．根据扇形统计图的特点进行解答即可． 【详解】解：去年下半年增加了生活支出的总费用，即总的支出费用比较上半年增加了， 下半年其他支出的费用可能增加了，只有选项D正确； 故选：D． 13. 如图，点P，Q关于直线l对称，点A，B为直线l上不同的两个点（点A在点B的左侧），连接．已知，，点A不在内部，则线段的长不可能为（ ）． A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，实数大小比较． 先根据轴对称的性质，得，再求出当时 ，，然后由点A不在内部，得出，最后由，即可得出答案． 【详解】解：当时 ， ∵点P，Q关于直线l对称，点A，B为直线l上不同的两个点， ∴，， ∵ ∴， 由勾股定理，得 ∵点A不在内部， ∴ ∵ ∴的长不可能为2， 故选：A． 14. 如图，在中，利用尺规作得的平分线与边的垂直平分线交于点P，有如下结论：①若，则点P到点A，B的距离相等；②若，则点P到的距离相等．其中正确的结论（ ）． A. 只有① B. ①②都对 C. 只有② D. ①②都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，根据它们的性质分别证明即可得出答案． 【详解】解：①当时，如图， ∵是的平分线， ∴ ∴是线段的垂直平分线， ∵点是上的一点， ∴，故①正确， ②当时，过点作垂足分别为如图， ∵是的垂直平分线， ∴ 连接，则, ∴与重合， ∴是的平分线， ∴故②正确， 综上，正确的结论是①和②， 故选：B． 15. 珍珍的爸爸是某单位的一名销售员，他的月工资（基本工资＋计件提成）总额随月销售量x（件）的变化而变化，下表是他应得工资w（元）与x之间的关系： 销售量x（件） 100 110 120 130 … 月工资总额w（元） … 求珍珍爸爸的月收入不低于5000元时应销售件数的取值范围，有如下解题方法： 方法一： 建立w与x的函数关系式： 由，求得x的范围． 方法二： 月工资因计件提成不同而不同， 由，求得x的范围． 下列判断正确的是（ ）． A. 方法一的思路正确，函数表达式也正确 B. 方法一的思路和函数表达式都不正确 C. 方法二的思路正确，所列不等式也正确 D. 方法二的思路和所列不等式都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据题意可得，再根据，可得，即，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知， ∵珍珍爸爸的月收入不低于5000元， ∴，则，即， ∴方法一的思路正确，函数表达式错误，方法二的思路正确，所列不等式也正确， 故选：C． 16. 如图，在中，直径，点D为上方圆上的一点，，于点E，点P是上一点，连接，得出下列结论： Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． Ⅱ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 下列判断正确的是（ ）． A. 只有Ⅰ正确 B. 只有Ⅱ正确 C. Ⅰ、Ⅱ都正确 D. Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积和弧长、垂径定理、圆周角定理等知识，连接，证明，得到阴影部分的面积为，即可判断Ⅰ；证明当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8，得到阴影部分的周长的最小值为，即可判断Ⅱ． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ∴阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为． 故Ⅰ错误； ∵垂直平分， ∴点D与点B关于对称， ∴， 当三点共线时，取得最小值，最小值为的长度，即为8， ∴阴影部分的周长的最小值为， ∴阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为． 故Ⅱ正确； 故选：B 二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题3分，18小题4分，每空2分，19小题3分，每空1分．把答案写在题中横线上） 17. 写出一个符合的整数x的值：__________． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查绝对值的意义，解不等式组，熟练掌握绝对值的意义是银题的关键． 根据绝对值的意义得，再由x为整数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵x为整数 ∴ 故答案为：0（答案不唯一）． 18. 如图，过正五边形的点E作，分别交，的延长线于点N，M． （1）与是否平行？__________（填“是”或“否”）； （2）__________． 【答案】 ①. 是 ②. 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用正多边形性质和等腰三角形的性质求出和即可判定； （2）利用求出，再利用三角形外角即可求解． 【详解】解：（1）∵正五边形的内角度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，正方形中，点，点，点，，且，沿折叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F． （1）__________； （2）当时，m的值为__________； （3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为__________． 【答案】 ①. 4 ②. 6 ③. 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点代入求解即可； （2）求出点坐标，代入求解即可； （3）观察图象，从图象从开始增大，从图象可得当超过点和，且不超过点时即可满足． 【详解】（1）∵正方形中，点，点， ∴， ∵：经过点B， ∴， 故答案为：； （2）∵点，， ∴，， 由翻折得：，， ∴， ∵：经过点F， ∴， ∴当时，， 故答案为：； （3）∵，且双曲线、之间有2个整数点， 利用对称性可知这两个整数点为和， 由（2）得， 当恰好过和时，得， 得， ∵恰好有两个整数点， ∴整数点不包括点， 当恰好经过点时，得， 得， 结合图象可得时即可满足， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：； 第三行第3个数：． （1）求x的值； （2）若一个数位于第n行的第2个数． ①用含n的代数式表示这个数：__________； ②若这个数等于，求出该数所在的行数n． 【答案】（1） （2）①；②所在的行数为第12行 【解析】 【分析】本题考查了探索数字规律及一元一次方程的应用，读懂题意，总结规律是解题的关键． （1）根据题意得每一个数都等于上一行中与其相邻的两个数的和，据此规律求解即可； （2）根据每一个数都等于上一行中与其相邻的两个数的和分析总结规律即可得解；②构建方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得：每一个数都等于上一行中与其相邻的两个数的和， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①第2行的第2个数为：； 第3行的第2个数为：； 第4行的第2个数为：； 第5行的第2个数为：； ， 第n行的第2个数为：； 故答案为：； ②， 解得． ∴所在的行数为第12行． 21. 【发现】两个正整数之和与这两个正整数之差的平方差一定是这两个数乘积的4倍； 【验证】__________，__________； 【探究】设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确． 【答案】验证：48，48； 探究： ， 则是的4倍，即“发现”中的结论正确． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟记平方差公式和完全平方公式是解题关键． 验证：根据乘方、乘法与减法法则计算即可得； 探究：利用平方差公式和完全平方公式进行证明即可得． 【详解】解：验证：， ， 故答案为：48，48． 探究：略 22. 如图，在一只不透明的箱子中装有个大小、质地都相同的小球，球面上分别标有数字，，，，搅匀后，甲先从中随机摸出一个球（不放回），将小球上的数字记录下来，乙再从余下的个球中摸出一个球，同样将小球上的数字记录下来． （1）写出第一次摸出的小球上数字是正数的概率； （2）利用画树状图或列表的方法，求出第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用概率公式计算即可求解； （）根据题意，列出表格，根据表格计算即可求解； 本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【小问1详解】 解：第一次摸出的小球上数字是正数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：两次随机摸球（不放回）列表如下： 第二次摸出的数字 第一次摸出的数字 差 × × × 4 × 由表可知，两次随机摸球（不放回）并将第一次记录下来的数减去第二次记录下来的数的差， 共有个等可能结果，其中结果为正数共有个等可能结果， ∴符合条件的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为，． （1）求所在直线的解析式； （2）将点向左平移m个单位长度得到点D，若直线恰好经过点D，求m，n之间的数量关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，点的平移． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用平移的性质求得点D的坐标为．再代入，计算即可求解． 【小问1详解】 解：设所在直线的解析式为， 把，及，代入，得， 解得， ∴所在直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵将点向左平移m个单位长度得到点D， ∴点D的坐标为． ∵直线恰好经过点D， ∴把，代入， 得，整理得． 24. 如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦，点P是的中点，过P作，交所对的于点Q，，台灯支架与底座垂直，，底座放在水平面上． 【计算】（1）如图1，当时，求所在圆的半径； 【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与相切，如图2． 【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度； （3）求点M经过的路径的长．（参考数据：） 【答案】（1）所在圆的半径为；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了圆中的垂径定理、圆的切线性质、三角函数、扇形的弧长，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用垂径定理结合勾股定理列式计算即可； （2）找出圆心O的位置，过点作于点，利用三角函数即可求解； （3）在（2）中利用三角函数求出的度数，再求，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：（1）设所在圆的圆心为点O，如图，连接，， ∵点P是的中点， ∴，， ∵， ∴、、共线， 设所在圆的半径为， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴所在圆的半径为． （2）如图，点O即为所在圆的圆心O的位置， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点P上升的高度为； （3）∵，， ∴， ∴点M经过的路径的长为． 25. 如图，将抛物线沿直线向左上方平移，平移后的抛物线记为，直到其顶点D与原点重合时平移停止． （1）若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），求出A、B两点的坐标； （2）设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，设其顶点D的横坐标为m． ①用含m的式子表示顶点D的坐标； ②当点C与原点的距离最大时，求抛物线的解析式； （3）在抛物线的平移过程中，直线与抛物线交于点M，N，与抛物线交于点P，Q．当抛物线在平移停止后，若的值是整数，请直接写出n的最大值． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2）①顶点D的坐标为；② （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，熟知二次函数平移不变，化作顶点式，看作顶点平移是解题的关键． （1）将代入抛物线即可解答； （2）①根据抛物线顶点D也在直线l上，即可解答； ②设抛物线的解析式为，将点坐标表示出来，利用二次函数的性质，即可解答； （3）将代入两条抛物线，求得，再根据题意即可解答． 【小问1详解】 解：对于抛物线， 令，得，解得或． ∵点A在点B的左侧， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． 【小问2详解】 解：①∵抛物线， 可得顶点，且顶点在直线上． 又∵抛物线为抛物线沿直线l向左上方平移得到， ∴其顶点D也在直线l上， 将横坐标为m代入，得， ∴顶点D的坐标为． ②由①可得在平移过程中抛物线的解析式为， 当时，， ∵， ∴当时，有最小值， 此时点C与原点的距离最大， 此时抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：当抛物线在平移停止后，抛物线的解析式为， 当时，得， 解得， ， 同理可得， ， 由于为整数，且需求的最大值， 则为最小，即为， 此时，解得， 故n的最大值为． 26. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线向点运动，连接．点关于直线的对称点分别为点，连接．设点在折线上运动的路径长为． （1）如图1，当点在边上且时，写出________°； （2）当点落在的延长线上时，连接． ①求证：； ②求此时的值； （3）当直线恰好经过点时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）①证明：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点是点关于的对称点， ∴，，， ∴，，， ∴； ② （3）的值为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，对称的性质可得四边形是正方形，由此即可求解； （2）①根据矩形与折叠的性质可得，，，由此即可求解；②点落在的延长线上，连接，延长交于点，设，则，在中，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解； （3）根据题意折叠可求出的值，可证，根据相似三角形的性质可求出的值，由此即可求解． 【小问1详解】 解：已知四边形是矩形， ∴， 当点在边上且时，如图所示， ∴，即， ∴四边形是正方形，是对角线， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②如图所示，点落在的延长线上，连接，延长交于点， ∵，， ∴， 根据对称得，，， ∴，， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得，，即， ∵点在折线上运动的路径长为， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，直线恰好经过点， ∵，，，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的判定和性质，对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握矩形与折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $