精品解析：2024年山东省肥城市初中学业水平模拟考试数学试题（二）

2024年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（　　） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数比负数大，正数比0大，负数比0小，两个负数中，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】解：∵∣﹣4∣=4，4＞3＞2.8， ∴﹣4＜﹣3＜﹣2.8＜0＜∣﹣4∣， ∴比﹣3小的数为﹣4， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数大小比较，熟知有理数的比较大小的法则是解答的关键． 2. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了合并同类项，负整数指数幂和同底数幂的运算，积的乘方，整式的除法， 根据合并同类项的法则，负整数指数幂和同底数幂的运算法则，积的乘方法则，整式的除法法则进行计算即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，错误，符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意． 故选B． 3. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形：在同一平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形和原图完全重合，那么这个图形就叫做中心图形． 4. 如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接从左边观察几何体，确定每列最高的小正方体个数，即对应左视图的每列小正方形的个数，即可确定左视图． 【详解】解：如图所示：从左边看几何体，第一列是2个正方体，第二列是4个正方体，第三列是3个正方体；因此得到的左视图的小正方形个数依次应为2,4,3； 故选：B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，要求学生理解几何体的三种视图并能明白左视图的含义，能确定几何体左视图的形状等，解决本题的关键是牢记三视图定义及其特点，能读懂题意和从题干图形中获取必要信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法，对学生的空间想象能力有一定的要求． 5. 如图，五边形是正五边形，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作的平行线，利用平行线的性质推出，，两个式子相减即可． 【详解】解：过点B作的平行线，则， ∵， ∴①， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴②， ∴得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及正多边形的内角问题，解题的关键是通过作辅助线，搭建角之间的关系桥梁． 6. 为了了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速(单位：千米/时)，并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数、中位数分别是(　　) A. 80千米/时，60千米/时 B. 70千米/时，70千米/时 C. 60千米/时，60千米/时 D. 70千米/时，60千米/时 【答案】D 【解析】 【详解】解：70千米/时是出现次数最多的，故众数是70千米/时， 这组数据从小到大的顺序排列，处于正中间位置的数是60千米/时，故中位数是60千米/时． 故选D． 【点睛】本题考查1.条形统计图;2.众数；3.中位数. 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案．本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设， 则，， 在直角三角形中，， 即， 解得，即球的半径为5． 故选：B． 8. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，先把配成顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由抛物线 根据“上加下减，左加右减”规律要得到抛物线， 则即由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：． 9. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理及其推论，可分别求出，，即可求的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文，利用总价单价数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：这批椽的数量为株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱， 一株椽的价钱为文． 依题意得：． 故选：A． 11. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，最值判断④即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①错误，②正确； ∵；故③正确； ∵当时，最大为， ∴， ∴，故④错误； 故选B． 12. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标． 【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向； ，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向， 最左边的点坐标为，即第2025个点的坐标， 第2024个点的坐标为． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 生态部消息，2024年2月，全国339个地级及以上城市平均浓度为0.0000045克/立方米，同比下降．将数据0.0000045用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解： 故答案为： 15. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴，， 由作图知平分，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，尺规作图—作角平分线，等边三角形的判定和性质，正切函数的定义，求得是解题的关键． 16. 若关于x的不等式的最小整数解为5，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．先将a看作常数解不等式，根据最小整数解为5，得，解出即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的最小整数解为5， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目条件计算出OD，CD的长度，判断为等边三角形，之后表示出阴影面积的计算公式进行计算即可． 【详解】在中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了阴影面积的计算，熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键． 18. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于，连接，先求出点的坐标，在计算出，则，再利用切线的性质可得，由勾股定理可得，于是可得当时，即点运动到点时，最小，最小，然后求出此时的的长度，进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，连接， ， 在中，当，，则， 当时，，解得：，则， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， 为切线， ， ， ， ， 当最小时，最小， 最小时，最小， 当时，即点运动到点时，最小，最小，此时， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. （1）求不等式的所有自然数解： （2）先化简再求值：，其中，x满足． 【答案】（1），自然数解为：0，1，2；（2），当时，，原式 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法和分式的化简求值，掌握运算方法和运算顺序是解题的关键． （1）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为解不等式即可； （2）先运算括号内的分式，然后运算除法，最后运算减法化简，然后整体代入即可解题． 【详解】解：（1） 去分母得 去括号得 移项得 合并得， 系数化为得， ∴自然数解为：0，1，2； （2） ， ∵， ∴， ∴原式． 20. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）80 （2）补全条形统计图如图所示． ； （3）设组的1名男生和1名女生分别记为组的2名男生和1名女生分别记为． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有：，，共3种， 所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图； （1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数． （2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求出的度数． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次参加课后延时服务的学生人数是（名）． 【小问2详解】 参加组的人数为（名）． 扇形统计图中的的度数是． 【小问3详解】 略 21. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元 【解析】 【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得： 解得 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元． 由题意得：． 解得 ∵，随增大而减小 ∴当时，（元）． 答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元． 【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题的方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键． 22. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并直接写出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，求的最小值； （3）是轴上的一点，当为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标． 【答案】（1）， （2）的最小值为 （3）点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）将点代入求得的值，进而求得点的坐标，即可求得的值，根据中心对称求得点的坐标； （2）根据题意，求得，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，当三点共线时，的值最小，求得，根据勾股定理求得，即可求解． （3）设，根据勾股定理得出，，，然后分类讨论即可求解． 【小问1详解】 解：∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵直线和双曲线均关于原点对称， ∴关于原点对称， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴点是的中点， ∴点的纵坐标为， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 设， ∴，，， ①当时，， 解得， ∴P； ②当时，， 解得， ∴P； ③当时，， 解得， ∴P或； 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，轴对称求线段和最短距离，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 23. 如图1，有一张矩形纸片（），将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕交边于点E，交边于点F，分别连接和（如图2）． （1）求证：①；②四边形是菱形； （2）当时，求折痕的长． 【答案】（1） ①根据折叠的性质得，，垂直平分， ， 四边形是矩形， ， ， 在和中，， ， ； ②由①得，， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用折叠的性质是解题的关键． （1）①根据折叠的性质推出垂直平分，则，根据矩形的性质得出，则，利用证明即可； ②根据全等三角形的性质得出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”求出四边形是平行四边形，再根据“邻边相等的平行四边形是菱形”即可得解； （2）根据矩形的性质、折叠的性质求出，根据勾股定理求出，，则，根据菱形的性质求出，，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：①略 ②略 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 根据折叠的性质得，， 在中，， ， 在中，，， ， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ． 24. 如图1，四边形是正方形，，连接，是等腰直角三角形，，交于点M． （1）若交边于点H，连接，求证：； （2）若，求； （3）如图2，若交直线于点N，交于点P，交的延长线于点G，连接，若P是的中点，求的长． 【答案】（1） 证明：如图， 四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， 又， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用正方形和等腰直角三角形中的直角和角进行适当转化，得出相等的角，从而证明三角形相似，此题难度较大，计算较为烦琐，属于考试压轴题． （1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质，证明，，从而证明，利用相似三角形的性质，即可解答； （2）根据相似三角形的性质得到，即可解答； （3）先通过相似三角形的判定证明，再证明，，则，再由是中点，证明，并且根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ． 25. 如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当的面积最大时，求点的坐标； （3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过作轴，垂足为，与交于点，求出的解析式为，得出，进而得出，再根据，即可求解； （3）证明，得出，求出直线的解析式为，联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 即， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴，垂足为，与交于点， 在中，当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， 直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∴ ， 当的面积最时，，此时，点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 当时，取点，连接． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵点，， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴设直线的解析式为． 将代入直线的解析式得， 直线的解析式为， 联立直线及抛物线的解析式成方程组得：， 解得：（舍去）或， 即点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次区数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、面积的计算、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，综合性强，难度适中． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列各数：，，0，，其中比小的数是（　　） A. B. C. 0 D. 2. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 温州博物馆 B. 西藏博物馆 C. 广东博物馆 D. 湖北博物馆 4. 如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，五边形是正五边形，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 为了了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00至9：00来往车辆的车速(单位：千米/时)，并绘制成如图所示的条形统计图．这些车速的众数、中位数分别是(　　) A. 80千米/时，60千米/时 B. 70千米/时，70千米/时 C. 60千米/时，60千米/时 D. 70千米/时，60千米/时 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 若将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（ ） A. 向左平移个单位，再向上平移个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移个单位 D. 向右平移个单位，再向下平移个单位 9. 如图是的直径，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果） 13. 生态部消息，2024年2月，全国339个地级及以上城市平均浓度为0.0000045克/立方米，同比下降．将数据0.0000045用科学记数法表示为______． 14. 因式分解：______． 15. 如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________． 16. 若关于x的不等式的最小整数解为5，则实数a的取值范围为______． 17. 如图所示的扇形中，，C为上一点，，连接，过C作的垂线交于点D，则图中阴影部分的面积为_______． 18. 如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 19. （1）求不等式的所有自然数解： （2）先化简再求值：，其中，x满足． 20. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 21. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 22. 如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． （1）求的值并直接写出点的坐标； （2）点是轴上的动点，连接，求的最小值； （3）是轴上的一点，当为直角三角形时，请求出符合条件的所有P点的坐标． 23. 如图1，有一张矩形纸片（），将纸片折叠，使点A与点C重合，再展开，折痕交边于点E，交边于点F，分别连接和（如图2）． （1）求证：①；②四边形是菱形； （2）当时，求折痕的长． 24. 如图1，四边形是正方形，，连接，是等腰直角三角形，，交于点M． （1）若交边于点H，连接，求证：； （2）若，求； （3）如图2，若交直线于点N，交于点P，交的延长线于点G，连接，若P是的中点，求的长． 25. 如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求抛物线所对应的函数表达式； （2）当的面积最大时，求点的坐标； （3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $