精品解析：四川省成都市2023-2024学年七年级下学期期中数学试题

2023-2024学年四川省成都市七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度的三根小木棒，能摆成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 8cm，7cm，15cm C. 15cm，13cm，1cm D. 5cm，5cm，11cm 3. 下列运算正确的是（　　） A B. a6÷a2＝a3 C. 5y3•3y2＝15y5 D. a+a2＝a3 4. 如图，下列条件中不能判定的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线，相交于点O，若，若比的2倍多，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝3∠C，∠B＝2∠C C. ∠A＝∠B＝2∠C D. ∠A＝∠B＝∠C 7. 将直角三角板和直尺如图放置、若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点E，F在上，，，添加一个条件，不能完全证明的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9 计算：_____． 10. 若为常数，要使成为完全平方式，那么的值是______． 11. 一个角的补角为，那么这个角的余角的度数为__________． 12. 如图，已知于点，于点，且，，，则的度数是______. 13. 如图，中，点D、E分别是BC，AD的中点，且的面积为8，则阴影部分的面积是______． 14. 若，则______． 15. 如图，如果、，则______． 16. 观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式值为______． 17. 已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为______． 18. 如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________（填序号）． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，已知，，垂足分别为点，，试说明的理由． 22. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为，求的长． 23. 如图，的两条高与交于点O，，． （1）求的长； （2）F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 24. 若多项式与的乘积中不含的项． （1）求的值； （2）若，求的值． 25. 如图，，的平分线交于点，． （1）如图1，点在反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分； （2）如图2，线段上有点，满足，过点作，若在直线上取一点，使，求的值． 26. 请完成下列各题． （1）在中，，，直线经过点，于点，于点，当直线旋转到图1的位置时，求证：． （2）在（1）的条件下，当直线旋转到图2的位置时，猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，在中，于，，于，，于，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年四川省成都市七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一种花粉颗粒直径约为0.0000078米，数字0.0000078用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000078=7.8×10-6， 故选：B． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 2. 下列长度的三根小木棒，能摆成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 8cm，7cm，15cm C. 15cm，13cm，1cm D. 5cm，5cm，11cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、3+4=7＞5，能构成三角形，故本选项符合题意； B、8+7=15，不能构成三角形，故本选项不符合题意； C、1+13=14＜15，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、5+5=10＜11，不能构成三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. a6÷a2＝a3 C. 5y3•3y2＝15y5 D. a+a2＝a3 【答案】C 【解析】 【分析】根据积乘方、同底数幂的除法、单项式乘以单项式、合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解：A、（a2b）3＝a6b3，故A错误； B、a6÷a2＝a4，故B错误； C、5y3•3y2＝15y5，故C正确； D、a和a2不是同类项，不能合并，故D错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了单项式乘以单项式、同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项，关键是掌握各计算法则． 4. 如图，下列条件中不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判定，则此项符合题意； B、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），则此项不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），则此项不符合题意； D、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解题关键． 5. 如图，直线，相交于点O，若，若比的2倍多，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握对顶角相等．设，则，再根据角的和差关系列出方程，可得答案． 【详解】解：设，则，根据题意得： ， 解得：， 即， 故选：C． 6. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝3∠C，∠B＝2∠C C. ∠A＝∠B＝2∠C D. ∠A＝∠B＝∠C 【答案】C 【解析】 【分析】由直角三角形内角和为求得三角形的每一个角，再判断形状． 【详解】解：A、∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，直角三角形； B、∠A＝3∠C，∠B＝2∠C，6∠C＝180°，∠A＝90°，为直角三角形； C、∠A＝∠B＝2∠C，即5∠C＝180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形； D、∠A＝∠B＝∠C，则∠C＝90°，为直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查的知识点是三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理计算出一个角的度数为90°，即可判定该三角形为直角三角形． 7. 将直角三角板和直尺如图放置、若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作，则，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过作， 则， ，， 由已知条件得， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 8. 如图，点E，F在上，，，添加一个条件，不能完全证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．根据求出，根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析，即可解题． 详解】解：， ，即， ， ，即， A、，，， ，不符合题意． B、，，， ，不符合题意． C、，，， ，不符合题意． D、，，，“”得不到，符合题意． 故选：D． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式．先变形为，再用平方差公式计算，最后计算减法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 若为常数，要使成为完全平方式，那么的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，先根据求出第二个数，再根据完全平方式得出，求出即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即， 故答案为：1． 11. 一个角的补角为，那么这个角的余角的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据余角和补角的定义，即可解答． 【详解】解：∵一个角的补角是124°， ∴这个角为：， ∴这个角的余角为：， 故答案为：34． 【点睛】本题考查了余角和补角的定义，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义，两角互余和为，两角互补和为． 12. 如图，已知于点，于点，且，，，则的度数是______. 【答案】##度 【解析】 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，进而得出，然后根据三角形外角和的性质，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴平分， ∵， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形外角和的性质，熟练掌握角平分线的判定定理是解题的关键． 13. 如图，中，点D、E分别是BC，AD的中点，且的面积为8，则阴影部分的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知：是阴影部分的面积的2倍，的面积是的面积的2倍，依此可求解． 【详解】解：点D、E分别是，的中点， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 14. 若，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值，根据非负性的性质求出与的值，再代入进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得，， 故． 故答案为：12． 15. 如图，如果、，则______． 【答案】##180度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质可用、分别表示出和，再由平角的定义可找到关系式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵在上， ∴， ∴，即， 故答案为：． 16. 观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索、求代数式的值，由题意得出根据，结合，得到，求出，代入到代数式求值即可． 【详解】解：∵，，… ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 17. 已知等腰中一腰上的高与另一腰的夹角为，则的顶角的度数为______． 【答案】或． 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的概念，三角形内角和定理， 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论． 【详解】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， 由已知可知，， 又∵， ∴， ∴； 当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 由已知可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴的顶角的度数为或． 故答案为：或． 18. 如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题实质上属于婆罗摩笈多模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用点是三角形的角平分线的交点，得到，，结合，再利用三角形内角和定理可判断①；通过证明和，得到，分析可知需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，可判断②；延长至点使得，连接，先证明，进而推出，可判断③；延长交于点，由得到，结合可判断④，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 点是三角形的角平分线的交点， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ，，， ， ，， ， 同理可得：， ，， ， ， 若需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，故②不正确； 如图，延长至点使得，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ，，， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ，故③正确； 如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算乘方、绝对值、零次幂和负整数指数幂，再计算加减； （2）先计算积的乘方、单项式除以单项式，再合并同类项． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，直接利用整式的混合运算法则化简，再把已知数据代入得出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 21. 如图，已知，，垂足分别为点，，试说明的理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，得到，再由，得到，由此即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 22. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，与的周长差为，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高定义和性质是解题的关键； （1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可； （2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【小问1详解】 解：是的高， ， ， ， 是的角平分线，， ， ； 【小问2详解】 解：是中点， ∴， 与的周长差为， 或 或， ， 或． 23. 如图，的两条高与交于点O，，． （1）求的长； （2）F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值． 【答案】（1）6 （2）1.2或2． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定． （1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【小问1详解】 解： ，， ， ． 又，， ， ． 【小问2详解】 ①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 24. 若多项式与的乘积中不含的项． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）100 （2） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的乘积中不含的项，得出．再把化为的形式，然后整体代入计算； （2）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，根据等式的性质得出，，然后整体代入计算． 【小问1详解】 解：∵ ∵多项式的乘积中不含的项， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，， ∴． 25. 如图，，的平分线交于点，． （1）如图1，点在的反向延长线上，连接交于点，若，求证：平分； （2）如图2，线段上有点，满足，过点作，若在直线上取一点，使，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）7或 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质角的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质即可证明结论； （2）有两种情况：①当在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论；②当在的上方时，如图6，同理可得结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴平分； 【小问2详解】 解：有两种情况： ①当在的下方时，如图5， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； ②当在的上方时，如图6， 同理得：，， ∴． 综上，的值是7或． 26. 请完成下列各题． （1）在中，，，直线经过点，于点，于点，当直线旋转到图1的位置时，求证：． （2）在（1）的条件下，当直线旋转到图2的位置时，猜想线段，，的数量关系，并证明你的猜想． （3）如图3，在中，于，，于，，于，，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知条件可推出，继而可证明，利用全等三角形的性质可证明结论； （2）与（1）证法类似，可推出，证明，得出，，继而得出结论； （3）连接、，可证明，进一步推出为等腰直角三角形，同理可推出为等腰直角三角形，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：证明：， ， 而于，于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 【小问2详解】 ， ， ， 而于，于， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； 【小问3详解】 如图3，连接、， 于，于， ， 在和中， ， ， ，； ， 为等腰直角三角形． ， 同理可证：为等腰直角三角形． ， ． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，灵活利用全等三角形的判定定理和性质是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$