精品解析：四川省南充高级中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试卷

南充高中高2023级第二学期第二次月考 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分 命、审题人：王芳 张有才） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数 (是虚数单位)，则=（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则实数（ ） A. 6 B. C. 3 D. 3. 下列命题错误的是（ ） A. 在正方体中，直线与是异面直线 B. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形 C. 棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D. 圆心和圆上两点可确定一个平面 4. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为，球O为其外接球，若点是正四棱锥的表面上的一点，为球表面上的一点，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 对应的点位于第四象限 C. D. 10. 已知，，分别为内角，，的对边，是平面内一点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为的垂心 11. 已知正方体的棱长为1，则以下结论正确的是（ ） A. 若为线段上的动点（包括端点），则三棱锥的体积为定值 B. 若，分别为，的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面为六边形 C. 当点为中点时，四棱锥的内切球半径为 D. 若点是正方体体对角线上异于，的点，当为钝角时， 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为____________. 13. 若，，则____________. 14. 赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 17. 设函数，其中向量，（）. （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域； （3）在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值. 18. 如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. （1）求直三棱柱的体积； （2）求证：面； （3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 19. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若，求三角形手巾的面积； （2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2023级第二学期第二次月考 数学试卷 （时间：120分钟 总分：150分 命、审题人：王芳 张有才） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数 (是虚数单位)，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接计算得到，再用共轭复数的定义求. 【详解】因为， 所以其共轭复数. 故选：A． 2. 若，且，则实数（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示直接求解. 【详解】若，则即，解得. 故选：B 3. 下列命题错误的是（ ） A. 在正方体中，直线与是异面直线 B. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形 C. 棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点 D. 圆心和圆上两点可确定一个平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质判断A，根据斜二测画法判断B，根据棱台的定义判断C，根据基本事实判断D. 【详解】对于A：在正方体中，直线与既不平行也不相交，所以直线与是异面直线，故A正确， 对于B：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，平行四边形的直观图是平行四边形，故B正确； 对于C：棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，故C正确； 对于D：圆上两点在直径的端点时，三点共线，不能唯一确定一个平面，故D错误. 故选：D 4. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A，若，，则或与相交、异面，故A错误 对于B，若，，，，则或与相交，故B错误 对于C，若，，根据面面平行的性质可知，故C正确； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：C 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换和周期变换的原则求解即可. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得， 再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍， 得. 故选：B. 6. 我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用正、余弦定理求，代入题中公式运算求解. 【详解】因为，由余弦定理可得，解得， 又因为，由正弦定理可得，且，即，解得， 所以. 故选：B. 7. 已知正四棱锥底面正方形的边长为2，侧棱长为，球O为其外接球，若点是正四棱锥的表面上的一点，为球表面上的一点，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求出外接球的半径，则的最大值为. 【详解】设，连接，则平面， 依题意可得，， 所以，则球心在直线上， 连接，设外接球的半径为，则，解得， 又为球表面上的一点，点是正四棱锥的表面上的一点，， 所以的最大值为. 故选：D 8. 如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数先表示出，再利用二倍角公式及辅助角公式进行化简求最值，由取最值时的条件，结合和差公式求出，然后由二倍角公式和平方关系可得. 【详解】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部是 B. 对应的点位于第四象限 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用虚部的定义判断A，求出对应点的坐标判断B，利用复数的运算判断C，求出对应复数，再求模判断D即可. 【详解】对于A，的虚部是，故A错误， 对于B，，对应点的坐标为，在第四象限，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 10. 已知，，分别为内角，，的对边，是平面内一点，下列结论正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，则 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为的垂心 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理将角化边，再由余弦定理判断A，利用特殊值判断B，利用余弦定理将角化边，即可判断C，根据数量积的运算律得到，同理可得，，即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得， 所以，则为钝角，所以为钝角三角形，故A正确； 对于B，因为，当时， ，故B错误； 对于C，因为， 根据余弦定理可得， 整理可得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由题意可得， 所以，同理可得，，故为的垂心，故D正确. 故选：AD 11. 已知正方体的棱长为1，则以下结论正确的是（ ） A. 若为线段上的动点（包括端点），则三棱锥的体积为定值 B. 若，分别为，的中点，则过点，，的平面截正方体所得的截面为六边形 C. 当点为中点时，四棱锥的内切球半径为 D. 若点是正方体体对角线上异于，的点，当为钝角时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】证得为平行四边形，得到，进而得到平面，可判定A；根据正方体的几何结构，得到截面为五边形，可判定B；利用等体积法求出内切圆的半径，可判定C；取的中点为，连接，在中，由余弦定理可求得，进而判定D. 【详解】对于A，由题意，可得且， 所以为平行四边形，则， 又由平面，平面，所以平面， 因为为线段上的点，则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，如图所示，延长交的延长线于点，交的延长线于点， 连接交于点，连接交于点， 再连接､，则过点，，的平面截正方体所得的截面图形为五边形，故B错误； 对于C，依题意，， 所以， 又，所以四棱锥的表面积， 设四棱锥的内切球半径为，则，所以，故C正确； 对于D，如图所示，因为，取的中点为，连接， 当时，， 在直角中，，可得， 在中，由余弦定理， 即，解得或（舍去）， 此时，点为靠近的三等分点，若为钝角，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本愿共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，则的面积为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原可知原三角形为直角三角形，求出两直角边的长度，即可得出答案. 【详解】根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形， 且两条直角边，， 所以，的面积为. 故答案为：8. 13. 若，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式求出，再利用特殊角的三角函数求解即可. 【详解】若，则，即， 而，故，可得，解得， 故得， 故答案为： 14. 赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则可以推出_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用建系的方法，假设，根据，利用余弦定理可得长度，然后计算，可得点坐标，最后根据点坐标，可得结果. 【详解】设，则 如图 由题可知：， 由 所以，则 所以， 又 所以 所以 即 所以 又 所以 所以 故答案为： 【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）求，； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算结合向量数量积以及模长公式进行计算即可； （2）由向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为向量，， 则，， 所以， 【小问2详解】 由于，，， 所以 16. 如图，正三棱柱内接于圆柱，圆柱底面半径为2，圆柱高为4.若，分别为，中点. （1）求证：、、、四点共面； （2）若从圆柱中把该正三棱柱挖掉，求剩余几何体的表面积. 【答案】（1）证明： 由于，分别为，中点，所以， 又，所以， 所以、、、四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）要证、、、四点共面，只需证明，利用中位线定理及平行的传递性即可证明； （2）令，由正弦定理求得，分别求出所以圆柱的侧面积，圆柱的底面积，正三棱柱的侧面积，正三棱柱的底面积，根据剩余几何体的表面积即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 令，则，解得， 所以圆柱的侧面积为， 圆柱的底面积为， 正三棱柱的侧面积为， 正三棱柱的底面积为， 所以剩余几何体的表面积. 17. 设函数，其中向量，（）. （1）求的最小正周期； （2）当时，求的值域； （3）在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得 （2）由的取值范围求出的范围，再由正弦函数的性质计算可得； （3）由题设可得，应用三角形面积公式求出，由余弦定理求得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. 【小问1详解】 因为函数，其中向量，， 所以 ， 所以的最小正周期. 【小问2详解】 当时，所以， 所以，即在上的值域为； 【小问3详解】 由，得，则， 又，所以，故，则. 由，可得. 在△中，由余弦定理得， 所以， 由，所以. 18. 如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. （1）求直三棱柱的体积； （2）求证：面； （3）一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 【答案】（1） （2） 连接，连接， 因为在正方形中，是的中点，而是边的中点， 则，又面，面， 所以面 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算即可； （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理可得； （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. 【小问1详解】 因为在直三棱柱中，，， ， 所以四边形为正方形，且，， 故直三棱柱的体积 【小问2详解】 略 【小问3详解】 (i)小虫从点沿爬到点，把矩形与置于同一平面内，如图，连接，交于点， 因为，是边的中点，所以是的中点，， 则， (ii)小虫从点沿爬到点，把正方形与置于同一平面内，或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， ①在左图中，取中点，连接，显然、、、共线， 且，，，， 所以， ②在右图图中，，所以， (iii) 小虫从点沿爬到点，同(ii)， 因为，故小虫爬行的最短距离为. 19. 蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，． （1）若，求三角形手巾的面积； （2）当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案. （2）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 在中，，，故，， 由正弦定理得，即， 而， 故， 故, 故三角形手巾的面积为 【小问2详解】 设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值即取最小值时，， 即此时. 【点睛】关键点睛：第二问求解取最小值时的长，关键是设，分别利用余弦定理表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $