精品解析：浙江省东阳市外国语学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

东阳市外国语学校高二数学5月月考试卷 一、单选题 1. 若全集，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系. 【详解】全集，，则， ，所以. 故选：D 2. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一组测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差x 22 24 26 28 色度y 16 19 20 21 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由回归直线方程过样本中心点，即可得到，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可知，，， 将代入，即，解得， 所以，当时，， 所以该数据的残差为. 故选：D. 3. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，：，：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可得到：为等腰三角形或为以为直角的直角三角形，根据数量积的运算律得到，即：为以为直角的直角三角形，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】：，由正弦定理可得，则， 又，所以，则或， 所以或，则或， 即为等腰三角形或为以为直角的直角三角形； ：，则，所以， 即， 所以，即，所以，所以为以为直角的直角三角形， 所以推不出，即充分性不成立，由推得出，故必要性成立. 故选：B 4. 若，函数为奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将值代入函数，根据奇函数的定义式是否成立来判断充分性；由奇函数的定义式来构造方程求参数的值，从而判断必要性. 【详解】因为，所以， 所以， 所以此时是奇函数， 所以p是q的充分条件. 若是奇函数，则， 即，所以，即 所以p是q的不必要条件. 综上得：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以. 故选：C 6. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由，两边同时除以得，再将用表示，再结合基本不等式求出的最大值及此时的值，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由， 两边同时除以得， 所以， 因为，均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最大值时，. 故选：A 【点睛】关键点点睛：将已知变形成是解决本题的关键. 7. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，由可得，即；由二次函数图象的对称轴为直线可得，进而，结合即可求解. 【详解】作出函数和函数的图象可知， 假设两个函数的图象共有4个交点， 且横坐标分别为， 由，得，则有， 所以，所以． 由于二次函数图象的对称轴为直线， 则点两点关于直线对称，所以．则． 令，解得或，所以， 所以． 故选：A 8. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【详解】设直线与相切于点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切于点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B. 已知随机变量，若，则 C. 对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立 D. 已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 【答案】BC 【解析】 【分析】根据百分位数定义判断A；由二项分布方差计算公式判断B；由条件概率公式和独立事件的定义判断C；由分层抽样样本方差的计算公式判断D. 【详解】对于A，由于，则数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为，故A错误； 对于B，由于，则，故B正确； 对于C，若，根据条件概率公式则有， 变形可得，则与相互独立，故C正确； 对于D，分层抽样的平均数， 按分层抽样样本方差的计算公式， ，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，直接由周期公式即可判断；对于B，直接代入检验即可；对于C，画出图形，通过数形结合即可判断；对于D，求得后结合辅助角公式即可得解. 【详解】由题意可得，故A正确； ，所以不是图象的一个对称中心，故B错误； 令，由得， 根据题意可转化为直线与曲线，有两个交点， 数形结合可得，故C正确； 设为的导函数， 则，其中， 当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：ACD． 11. 以下说法正确的是（ ） A. 把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 B. C. 的二项展开式中系数最大的项为 D. 已知是定义在上函数，是的导数，当时，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：第一步取出一个空盒，第二步利用隔板法将8个球放到3个盒子即可；对于B：利用组合数的性质来计算；对于C：令第项的系数最大，根据第项的系数不小于第项和第项的系数列不等式求解即可；对于D：令，求导，利用条件确定其单调性，利用单调性来比较函数值的大小. 【详解】恰有一个空盒的放法共有种，A正确． ，故B错误； 的通项为，令第项的系数最大， 则，且，解得，第三项展开式系数最大，且系数最大的项为，故C正确． 令，则，因为当时， 所以，即在上单调递减，所以，即，即，故D正确． 故选：. 三、填空题 12. 若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】化简条件式得，利用二倍角正弦公式结合商数关系将变形求得答案. 【详解】由，得，可得， 所以. 故答案为：. 13. 某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有______. 【答案】18 【解析】 【分析】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成：甲在三个项目中任选一个，另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，根据计数原理即可得到结果. 【详解】要做到每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，可以分两步完成： ① 让甲在三个项目中任选一个，有种方法； ② 让另外三个同学在剩下的三个项目中各任选一个，有种方法. 由分步乘法计数原理，可得符合条件的报名方法种数为. 故答案为： 14. 已知，若实数m，n满足，则的最小值为______ 【答案】4 【解析】 【分析】利用导数求解函数单调性，由得，即可利用不等式求解最值. 【详解】由可得，故在单调递增， 而， 故得， ，当且仅当，即时取等号， 故答案为：4 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面平． （1）证明：． （2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过说明可得结论； （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为，所以， 又，面， 所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又， 所以以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，即，令得． 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 16. PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 （1）完成上面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ （2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 【答案】（1）表格见解析，能； （2）①该回归直线方程有价值；②112.0. 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，再计算，结合表格即可求得结果. （2）代入公式计算可判断与的相关性强弱，由可得，结合回归直线必过样本中心可求得的值. 【小问1详解】 列联表如下： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 8 24 PM2.5的平均浓度 6 20 26 合计 22 28 50 零假设：PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆无关联． 根据列联表中的数据，计算得 ， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联． 【小问2详解】 ①由题意，得， 得， 由， 得 ， 所以该回归直线方程有价值． ②因为，即， 所以， 又． 故可推算出这50天PM2.5平均浓度的平均数约为112.0． 17. 在中,内角所对的边分别是且. （1）求角; （2）若,求边上的角平分线长; （3）求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理将边化为角,再进行三角恒等变换,求出,得出即可. （2）先选用余弦定理得出关系式,再将三角形面积进行转化,用等面积法. ,运用面积公式求解即可. （3）先用中线的向量表达式,,两边平方,将中线长转化为求的范围,后将又转化为三角函数求值域问题,最终求得中线长范围. 【小问1详解】 因为,根据正弦定理, 即, 即,又, 所以,因为,所以． 【小问2详解】 由及余弦定理得即, 又因为,所以, 所以, 所以,即． 【小问3详解】 因为是的中点,所以, 则, 由正弦定理得, 即, 因为,所以,所以, 所以,所以,所以, 所以,即边上的中线的取值范围为． 18. 已知函数. （1）当时，试求函数图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围. 【答案】（1） （2）见解析 （3）或，且. 【解析】 【分析】（1）求当时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （2）求出的导数，令，得，对判别根式讨论，令导数大于零得到增区间，令导数小于零，得到减区间； （3）函数有两个极值点，，由（2）可知，，构造函数，利用导数求得的范围，分或或的整数，对不等式分离参数，分别求解. 【小问1详解】 当时，，故. 故，又， 故函数图象在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域为， 所以， 令，得， （i）当，即时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增； （ii）当，即时，由，得， ①若，由，得或, 的单调递增区间是，； 由，得, 的单调递减区间是； ②若，则，函数在上递减，在上递增； ③若，由，得，则函数在上递减； 由，得，则函数在上递增. 综上，当时，的单调递增区间是； 当时，单调递增区间是，，单调递减区间是； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问3详解】 由（2）可知，函数有两个极值点，，则， 由，得，则，，， 由，可得，， ， 令， 则， 因为，，，， 又，所以，即时，单调递减， 又，所以， 不等式，恒成立， 若且，则，即， 设，在上单调递增， 且，所以由可得，且， 若且，则，即， 设，在上单调递增， 而，，， 所以且， 若，则不等式，不成立， 综上：或，且 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围. 19. 已知的三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）． （1）求实数的取值范围； （2）设函数 ①当时，求函数的极小值； ②设是的最大零点，试比较与1的大小． 【答案】（1） （2）①0；②答案见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：设，由，结合三角形面积公式化简可得，由此可求实数的取值范围， 方法二：由是的角平分线，结合面积公式证明，根据关系，结合余弦定理可得，结合三角形性质求的范围，可得结论. （2）①方法一：由（1）方法一可得，结合条件求，结合余弦定理可得， 方法二：由（1）方法二可得，由此可得，由此可得，求，再解方程，分区间判断函数的单调性，结合极值定义求结论， ②在时， 解方程，求出函数零点，由此可得，分别在，时，确定关系，利用导数方法求函数的极值点，由此比较的关系. 【小问1详解】 方法一：设， 因为是的角平分线，所以， 因为 所以， 代入，，化简得：，因为， 所以实数的取值范围． 方法二：因为是的角平分线，所以， ，又，又， 所以，故， 在和中由余弦定理得 所以 ， 又，则 所以，又，所以 在中有，所以，所以 得，所以实数的取值范围 【小问2详解】 ①法一：当时，由（1）知，则，此时， 由余弦定理有：及得， 法二：由，当时有. 故， 所以， 令，可得或， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故当时，函数取极小值，极小值为． ②（ⅰ）当时，由①知，又， 故 知的零点为， 故的最大零点； （ⅱ）当时，由（1）知， 则， 由余弦定理有，代入， 解得，由知，故， ，， 设 令解得：，且， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 因为，故， 且时，， 故在上有唯一零点，此时成立 （ⅲ）时，由（1）知， 则， 由余弦定理有，及， 解得， 由知，故， 所以 当时，令解得：，且， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 因为，且的图象的对称轴 所以，又因为， 故在上无零点，且， 故成立； 当时，恒成立，则在上单调递增， 故函数至多有一个零点， 由，知成立； 综上，当时；； 当时，； 当时，． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东阳市外国语学校高二数学5月月考试卷 一、单选题 1. 若全集，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据如下表：已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且，现有一组测量数据为，则该数据的残差为（ ） 色差x 22 24 26 28 色度y 16 19 20 21 A B. C. D. 3. 在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，：，：，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，函数为奇函数，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根、，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 数据4，5，6，7，8，8的第50百分位数为6 B. 已知随机变量，若，则 C. 对于随机事件A，B，若，，，则A与B相互独立 D. 已知采用分层随机抽样得到的高三年级男生、女生各100名学生的身高情况为：男生样本平均数为172，方差为120，女生样本平均数为165，方差为120，则总体样本方差为120 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心 C. 若在上有两个实数根，则 D. 若的导函数为，则函数的最大值为 11. 以下说法正确的是（ ） A. 把8个相同的小球放到编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有84种 B. C. 的二项展开式中系数最大的项为 D. 已知是定义在上函数，是导数，当时，若，则 三、填空题 12. 若，则_____________． 13. 某校准备下一周举办运动会，甲、乙、丙、丁4位同学报名参加这4个项目的比赛，每人只报名1个项目，任意两人不报同一个项目，甲不报名参加项目，则不同的报名方法种数有______. 14. 已知，若实数m，n满足，则的最小值为______ 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面平． （1）证明：． （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 16. PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）．检测人员采集了50天的数据，制成列联表（部分数据缺失）： 燃油车日流量 燃油车日流量 合计 PM2.5的平均浓度 16 24 PM2.5的平均浓度 20 合计 22 （1）完成上面列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于与燃油车日流量小于1500辆有关联？ （2）经计算得与之间的回归直线方程为，且这50天的燃油车的日流量的标准差，PM2.5的平均浓度的标准差．若相关系数满足，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量满足，试求这50天的PM2.5的平均浓度的平均数（利用四舍五入法精确到0.1）． 参考公式：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.636 7.879 10.828 回归方程，其中，； 相关系数． 参考数据：，，． 17. 在中,内角所对的边分别是且. （1）求角; （2）若,求边上的角平分线长; （3）求边上中线的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，试求函数图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个极值点，（），且不等式恒成立，其中，试求整数的取值范围. 19. 已知三个角的对边分别为且，点在边上，是的角平分线，设（其中为正实数）． （1）求实数的取值范围； （2）设函数 ①当时，求函数的极小值； ②设是的最大零点，试比较与1的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$