精品解析：北京市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

北京市汇文中学2023-2024学年高一（下）期中数学试卷 一、选择题（每题5分，共50分） 1. 若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】运用复数的几何意义求解即可. 【详解】复数，则复数z在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B. 2. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -8 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】，，且， ，即． 故选：B． 3. 在三角形中，角对应的边分别为，若，，，则＝（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由于为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：，选D. 考点：解三角形. 4. 已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】由题知，如图， 为圆锥的轴截面，边长均为， 则圆锥的高， 底面半径， 故圆锥体积. 故选：A 5. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案. 【详解】由题意作出图形,如图,则 ， 故选：A. 6. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断. 【详解】若，则，， 所以“”是“”成立的必要条件， 若，则，， 当，时，，成立，但. 所以，“”不是“”成立的充分条件， 所以“”是“”成立必要不充分条件， 故选：B. 7. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由，可得，从而可得，进而可得结论 【详解】解：因为， 所以由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以为等腰三角形， 故选：B 8. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角.设为非零向量，则下列说法错误的是 A. B. C. 若，则 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由运算定义， ，所以正确； ，所以，故B错误； C、，则，所以正确； D、，所以正确． 故选B． 点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A、C、D都是正确的，所以错误的就是B． 9. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（ ） A. 存点，使 B. 不存在点，使 C. 对任意点，都有 D. 存在点，使平面 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，根据异面直线的定义可以判断； B选项，容易发现重合时符合题意； C选项，利用线面垂直得到线面垂直； D选项，先找出平面的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和垂直的问题. 【详解】 A选项，由于平面，，平面，则一定异面，A选项错误； B选项，根据直三棱柱性质，平面，平面，故， 又，，平面，故平面， 又平面，故，显然，即，故重合时，，B选项错误； C选项，直棱柱的侧面必是矩形，而，故矩形成为正方形， 则，B选项已经分析过，平面，由平面，故， 又，平面，故平面，又平面， 则必然成立，C选项正确； D选项，取中点，连接，根据棱柱性质可知，和平行且相等， 故平面可扩展成平面，过作，垂足为， 根据平面，平面，故，显然，故， 由，，平面，故平面， 若平面，则，过作//，交于，连接，于是共面， 又，平面，故平面，由于平面， 故，延长交于，易得//，则，而在线段上，这是不可能的，D选项错误. 故选：C 10. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求，在中利用正弦定理求，在中即可求. 【详解】， 在中由正弦定理得：，即， 所以， 又因为在中，， 所以, 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题. 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 已知复数，则________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可. 【详解】因为， 则，. 故答案为：；. 12. 已知向量，，则________；向量在上的投影向量的坐标为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可. 【详解】解：，， 则； ，， 故向量在上的投影向量的坐标为：. 故答案：；. 13. 在正四面体A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是_______ . 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案. 【详解】如图，取的中点，连接，， 则，，即为二面角的平面角， 设正四面体的棱长为， 在正中，，同理， 由余弦定理. 故答案为：. 14. 已知点，，，则___________；若是以为边的矩形的顶点，则___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可； ②根据已知可得，求出相应的坐标代入即可求出的值. 【详解】①因为，，，所以，， 所以； ②，若是以为边的矩形的顶点，则, 即，所以. 故答案为：； 15. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 16. 如图矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成．若为线段的中点，则在翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）． ①是定值； ②一定存在某个位置，使； ③一定存在某个位置，使； ④一定存在某个位置，使． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得、，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得平面，结合线面垂直性质可得得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面平面，结合面面平行性质可判断④. 【详解】对于①，取中点，连接，，如图所示， 则，，，， 由等角定理知，， 所以由余弦定理可得， 所以是定值，故①正确； 对于④，由①知，，， 又、平面，、平面， 所以平面，平面， 又，、平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面，故④正确， 对于②，连接，如图所示， 当时， 因为，，所以，所以， 因为矩形ABCD中，，，所以，即， 又因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，故②正确； 对于③，假设③正确，即在某个位置，使， 又因为矩形中，，， 所以，即， 又因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，这与矛盾， 所以不存在某个位置，使，故③错误． 故答案为：①②④. 三、解答题（每题14分，共70分） 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线证得，结合线面平行的判定定理证明即可. （2）由线面垂直性质可得，结合线面垂直判定定理可得平面，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可. 【小问1详解】 因为E，F分别是AB，PB的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为底面ABCD为正方形，，，、平面， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知，， 所以． 18. 已知． （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），， （2）， 【解析】 【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数，结合图象与性质求解即可. （2）先求出的范围，结合图象与性质即可求得最值. 【小问1详解】 因为， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以单调递减区间为，． 【小问2详解】 因为，所以， 所以由函数图象性质知， 当，即时，；当，即时，． 19. 如图，四边形是菱形，平面，，． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面； （3）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，平面，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果； （2）根据条件得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果； （3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果. 【小问1详解】 因为，面，面， 所以平面， 同理，平面， 又，面, 所以平面平面. 【小问2详解】 因为四边形ABCD是菱形，所以， 平面，平面， ， ，平面， 平面， 平面， 所以平面平面. 【小问3详解】 当时，平面，理由如下： 作，则平行且等于， ，，平行且等于， 是平行四边形， ， 平面，平面， 平面. 20. 在中，. （Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，求的面积的最大值. 【答案】（1），（2）． 【解析】 【详解】 【分析】试题分析：（Ⅰ）因为 由正弦定理可得，再利用余弦定理得所以 即 ，所以 为等边三角形． 所以 （注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得 ．所以 ，又 ．所以 试题解析：（Ⅰ）方法一：因为 且， 所以 ． 又因为 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 因为 ， 所以 为等边三角形． 所以 ． 方法二：因为 ， 所以 ． 因为 ，， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 ． 因为 ， 所以 ． 所以 ，即． （Ⅱ）因为 ，且， 所以 ． 所以 （当且仅当时，等号成立）． 因为 ， 所以 ． 所以 ． 所以 ． 所以 当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值． 考点：三角函数的性质与解三角形 21. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 【答案】（1）具有性质 （2）4 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义判断即可； （2）在中取，根据数量积的坐标表示，求出可能的，再根据求出符合条件的值即可； （3）取，，由，化简可得，所以异号，而是中的唯一的负数，所以中之一为，另一个为1，从而得到，最后通过反证法得出时，. 【小问1详解】 具有性质. 因为， 所以， 若对任意，存在使得， 所以具有性质. 【小问2详解】 因为，且具有性质， 所以可取， 又中与垂直的元素必有形式中的一个， 当时，由，可得，不符合题意； 当时，由，可得，符合题意； 当时，由，可得，不符合题意； 所以. 【小问3详解】 证明：取，设，满足， 所以，所以异号， 因为是中的唯一的负数， 所以中之一为，另一个为1， 所以， 假设，其中，则， 选取，并设，满足， 所以，则异号，从而之中恰有一个为， 若，则，显然矛盾； 若，则，矛盾， 所以当时，， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市汇文中学2023-2024学年高一（下）期中数学试卷 一、选择题（每题5分，共50分） 1. 若复数，则复数z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. -2 B. 2 C. -8 D. 8 3. 在三角形中，角对应的边分别为，若，，，则＝（　　　） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量，，则“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形 8. 对于非零向量，定义运算“”：，其中为的夹角.设为非零向量，则下列说法错误的是 A. B. C. 若，则 D. 9. 如图，直三棱柱中，为棱的中点，为线段上的动点．以下结论中正确的是（ ） A. 存在点，使 B. 不存在点，使 C. 对任意点，都有 D. 存在点，使平面 10. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 已知复数，则________；________． 12. 已知向量，，则________；向量在上的投影向量的坐标为________． 13. 在正四面体A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是_______ . 14. 已知点，，，则___________；若是以为边的矩形的顶点，则___________. 15. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 16. 如图矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成．若为线段的中点，则在翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）． ①是定值； ②一定存在某个位置，使； ③一定存某个位置，使； ④一定存在某个位置，使． 三、解答题（每题14分，共70分） 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 18. 已知． （1）求最小正周期及单调递减区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 19. 如图，四边形菱形，平面，，． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面； （3）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论． 20. 在中，. （Ⅰ）若，求的大小； （Ⅱ）若，求面积的最大值. 21. 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称具有性质． （1）判断是否具有性质； （2）若，且具有性质，求的值； （3）若具有性质，求证：且当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$