精品解析：宁夏回族自治区石嘴山市第三中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

石嘴山三中2023-2024学年第二学期高一年级第二次月考 数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与共线 B. 若与是平行向量，则 C. 若，则 D. 共线向量方向必相同 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即得. 【详解】对于A，相等向量必是共线向量，A正确； 对于B，与是平行向量，如为非零向量，而，显然，B错误； 对于C，模相等的两个向量，它们的方向不一定相同，即不一定成立，C错误； 对于D，共线向量的方向可以相反，D错误. 故选：A 2. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积. 【详解】因为在直观图中，，所以， 所以原图形是一个底边长为，高为的直角三角形， 故原图形的面积为． 故选：A 3. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】由，，若，由面面平行的性质知：，必要性成立； 由，，若，则或相交，充分性不成立． 相交情况如下： 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，，即，，解得. 故选：C 5. 在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，直线与直线所成的角为，在中求其正切值即可. 【详解】如图，取的中点，连接，，则且 故直线与直线所成的角为. 因为面，面，所以，， 设，，则. 故选：A 6. 已知向量，向量满足，且，则（ ） A. B. 5 C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】由，利用向量数量积运算和向量的模即可求解. 【详解】由于向量，可得， 由，得， 故，得，得或(舍去)． 所以 故选：B 7. 三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点为，连接，证得平面.找出外接圆的圆心为，求出.设为三棱锥外接球的球心，，，在以及中，根据勾股定理，列出关于的关系式，求解得出的值，根据球的面积公式，即可得出答案. 【详解】 如图，取中点为，连接，设外接圆的圆心为，连接. 因为，，中点为，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面. 设为三棱锥外接球的球心，半径为，连接，则，平面. 因为，， 所以，，，. 设，，过作交于点，连接， 则，. 又平面，， 在中，有. 又在中，有. 所以，有，解得， 所以，. 所以，三棱锥外接球的表面积为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：找出外接圆的圆心，根据面面垂直的性质定理得出平面的垂线，过作垂线的平行线，可知球心在该条线上. 8. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量数量符号的运算性质，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【详解】因为点为棱的中点， 所以， 因为四面体的棱长都是2， 所以， 故选：B 二、多项选择题:（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有选错的的得0分.） 9. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线线、线面、面面关系可判断ABC，举反例可判断D. 【详解】对于A，若，则，或与异面，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，如下图，在长方体中，，则，，或与相交，故D错误. 故选：BC. 10. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC有两解，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理及条件可得，进而即得. 【详解】因为，， 所以， 因为△ABC有两解，则， 即． 故选：BC. 11. 已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（不重合），则正确选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方向向量和法向量的关系可判断线面关系和面面关系，即可得到答案. 【详解】由得，故不正确； 由得或，故不正确； 由，平面，不重合，得，故正确； 由，故正确. 故选：. 12. 如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的性质结合三角形中位线定理判断，对于B，由线面平行的判定定理判断，对于C，由三角形中位线定理和三角形重心的性质分析判断，对于D，通过判断与的位置关系进行判断. 【详解】对于A，因为平面∥平面ABC，平面平面，平面平面，所以∥，因为E，F分别是AB，AC的中点，所以∥，，所以∥，所以A正确， 对于B，由选项A可知∥，因为平面，平面，所以∥平面，所以B正确， 对于C，因为∥，∥，所以∥，因为GH经过的重心，所以，因为，所以，因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，，所以，因为∥，所以四边形为梯形，且与为腰，所以与必相交，因为平面，平面，所以平面与平面相交，所以D错误， 故选：ABC 三、填空题:（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 【详解】已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 14. 为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则该建筑物的高度______米． 【答案】300 【解析】 【分析】在中，利用正弦定理求出，再在直角三角形中求解即得. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得， 在中，，则， 所以该建筑物的高度米. 故答案为：300 15. 在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，由点到平面的距离为求解. 【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 设平面的一个法向量为， 则即 令，则，所以， 所以点到平面的距离为. 故答案为： 16. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是______.（只填序号） ①四面体为鳖臑 ②平面 ③若，则与所成角的正弦值为 ④三棱锥的外接球的体积为定值 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断①；连接，相交于点，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可判断②；由选项②知与所成角即与所成角为或其补角，求出，，在中由余弦定理得，再求出可判断③；由、均为直角三角形可得点是三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径可判断④. 【详解】对于①，在堑堵中， 平面，、、平面， 所以，，， 所以、均为直角三角形， 因为，所以为直角三角形， 且，、平面， 所以平面，平面，所以， 所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故①正确； 对于②， 如图，连接和相交于点，所以点为的中点，连接，， 所以，， 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面，故②正确； 对于③，，由②知，， 所以与所成角即与所成角或其补角， 因为，所以， 连接，所以，所以， 所以，在中， 由余弦定理得， 所以为锐角，则， 则与所成角的正弦值为，故③错误； 对于④，如下图，连接，由①可知，、均为直角三角形， 且，，且点为的中点， 所以， 所以点是三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球的体积为， 与，长度无关，故④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】方法点睛：异面直线所成角的求法有几何法和向量法，几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中，利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形，求出3边或3边的比例关系，用余弦定理求角；向量法：求两直线的方向向量，求两向量夹角的余弦，因为直线夹角为锐角，所以对角的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 四、解答题:（本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知：向量，，且． （1）求实数m的值； （2）当与平行时，求实数k的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直时数量积为零列出关于实数m的方程，解之即可得到m的值； （2）根据向量共线充要条件，得到关于实数k的方程，解之即可得到k的值． 【详解】（1），，则， 由，得 则，解之得 （2）由，， 可得， 由与平行，可得， 解之得 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点. （1）求证：EF∥平面PBC； （2）求证：平面PBD⊥平面PAC. 【答案】（1）证明：取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示： ∵F是PD的中点， ∴FG∥CD，且， 又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点， ∴BE∥CD，且， ∴BE∥FG，且BE＝FG， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∴EF∥BG， 又EF⊄平面PBC，BG⊂平面PBC， ∴EF∥平面PBC； （2）证明：设AC∩BD＝O，则O是BD中点，连接PO， ∵底面ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， 又∵PB＝PD，O是BD中点， ∴BD⊥PO， 又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC， ∵BD⊂平面PBD， ∴平面PBD⊥平面PAC. 【解析】 【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，则FG为中位线，根据题意，可证明四边形BEFG是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证； （2）设AC∩BD＝O，连接PO，根据题意可证BD⊥PO，BD⊥AC，利用面面垂直的判定定理，即可得证. 【详解】（1）略； （2）略. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各个定理所需的条件，才能进行分析和证明，考查逻辑分析、推理证明的能力，属中档题. 19. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理统一为角的三角函数，化简即可得解； （2）由余弦定理及三角形面积公式联立即可求解. 【小问1详解】 依题意：， 由正弦定理得， 由于，，所以，即， 由于，所以. 【小问2详解】 由余弦定理和三角形的面积公式得 即可得. 故的周长为. 20. 如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，． （1）证明：； （2）若点E是棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）如图，连接，由已知可得四边形是正方形，所以． 在直三棱柱中，平面平面，交线为， 在中，可知，所以平面，于是． 因为，所以平面， 而平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证出平面，即可证得； （2）以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，根据二面角的向量公式即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以A为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则，于是． 设平面的法向量为， 则，可取． 而平面的一个法向量为，所以． 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 21. 已知的内角对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化和余弦定理求解即可； （2）由正弦定理得，进而，再结合求解即可得答案. 【小问1详解】 解：由已知得， 故由正弦定理得 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，∴ ∴ 在锐角三角形中，， ∴，∴， ∴， ∴的取值范围为. 22. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （1）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （2）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 【答案】（1）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°， 解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD. 又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE. 又因为BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD， ∴平面ADE⊥平面BDEF. （2） 【解析】 【分析】(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF； (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 如图，由已知可得，，则 ，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形. 则. 过点C作，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则 ，DE⊥平面ABCD，则平面. 过G作于点I，则BF平面，即角为二面角CBFD的平面角，则60°. 则，，则. 在直角梯形BDEF中，G为BD中点，，，， 设 ，则，，则. ，则，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为． 方法二： 可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(，，h). . 设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)， 则所以取x=，所以m＝(，-1，)， 取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)， 由，解得，则， 又，则，设CF与平面ABCD所成角为， 则sin=. 故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为. 【点睛】该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石嘴山三中2023-2024学年第二学期高一年级第二次月考 数学试卷 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己姓名和座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题:（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则与共线 B. 若与是平行向量，则 C. 若，则 D. 共线向量方向必相同 2. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 5. 在正方体中，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，向量满足，且，则（ ） A. B. 5 C. D. 25 7. 三棱锥中，平面平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多项选择题:（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有选错的的得0分.） 9. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且△ABC有两解，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知为直线的方向向量，，分别为平面，的法向量（不重合），则正确选项是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在三棱柱中，已知点G，H分别在，上，且GH经过的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. D. 平面平面 三、填空题:（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知向量，若，则__________. 14. 为了测量某建筑物的高度AB，可以选与底部在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，米，并在点测得塔顶的仰角为，则该建筑物的高度______米． 15. 在三棱锥中，底面，则点到平面的距离是__________. 16. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图在堑堵中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是______.（只填序号） ①四面体为鳖臑 ②平面 ③若，则与所成角的正弦值为 ④三棱锥的外接球的体积为定值 四、解答题:（本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知：向量，，且． （1）求实数m的值； （2）当与平行时，求实数k的值． 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点. （1）求证：EF∥平面PBC； （2）求证：平面PBD⊥平面PAC. 19. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 20. 如图所示，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，． （1）证明：； （2）若点E是棱的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 21. 已知的内角对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 22. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （1）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （2）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $