精品解析：2024年河南省周口市沈丘县中考临考压轴联考三模数学试题

2024年河南中考临考压轴模拟考试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间 100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可． 【详解】解：有理数2024的相反数是， 故选：B． 2. 若二次根式有意义，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于或等于0进行求解即可． 【详解】要使二次根式有意义，则， ∴，只有选项符合， 故选：； 3. 2023年冬季以来，受哈尔滨旅游“火出圈”的带动，黑龙江省人气火爆，热度屡创新高．2024年元旦期间，黑龙江省累计接待游客万人次，同比增长，高出全国增幅个百分点．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a和n的值是解题的关键． 根据科学记数法-表示较大的数的方法，可得万，据此解答即可． 【详解】万 ． 故选：D． 4. 临近中考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，该正方体展开图的六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”字相对的面上标的字是（ ） A. 总 B. 发 C. 努 D. 会 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图的相对面，根据正方体的相对面的确定方法：同行隔一个，异行隔一列，进行判断即可．熟练掌握相对面的确定方法，是解题的关键． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴折叠后与“力”相对的是“发”． 故选：B． 5. 如图，一束光线照射在水面 上，折射光线为 ，若入射角为，折射角为，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了余角的定义和角的计算，熟练掌握余角的定义并能进行角的加减运算是解题关键． 根据余角的定义计算即可求解． 【详解】 为水面，入射角为， ， 故选 C． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据乘方的意义和乘法的意义，根据个3相乘为，个5相加为，即可得出结果为． 【详解】解：个3相乘为，个5相加为， ， 故选：B． 7. 杭州娃哈哈集团有限公司是宗庆后同志创办的企业，生产了一系列国人喜欢的饮品．小凡去丹尼斯超市购物，准备从娃哈哈系列产品中的钙奶、乳酸菌饮品、爽歪歪、营养快线四种中随机挑选两瓶购买，则她选中钙奶和爽歪歪的概率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率：列表法或树状图法求概率，依题意，列表得出一共有种等可能的结果，其中选中钙奶和爽歪歪的结果有 种，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】根据题意，列表如下： 钙奶 乳酸菌饮品 爽歪歪 营养快线 钙奶 ✔ 乳酸菌饮品 爽歪歪 ✔ 营养快线 由表格可知，一共有种等可能的结果，其中选中钙奶和爽歪歪的结果有 种，故所求的概率是 故选A． 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．本题容易忽视和这一隐含条件．据此本题分两种情况：①若，则方程是一元二次方程，利用根的判别式，使；②若，则方程是一元一次方程，是有实数根的． 【详解】解：①当时，关于x的方程是一元二次方程， ∴，则， 解得且； ②当时，原方程为，此方程有实数根， 综上，k的取值范围是， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，锐角三角函数等知识，由题意得绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环，第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，利用旋转的性质和解直角三角形即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时点B的对应点落在第四象限，过点作轴于点，如图所示： 由旋转可得：， ， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以 为边向y轴左侧作等边，将沿x轴正方向平移得到，点恰好落在一次函数的图象上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等边三角形的性质、平移的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握平移的性质和等边三角形的性质是解答的关键．过点作轴于点H． 先求得等边三角形的边长，再由平移性质得到，，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质求得，利用锐角三角函数求得， ，进而可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点H． 由知，当时，，则， ∴等边三角形的边长为，． 由平移得，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴，，， ∴， ∴点的坐标为， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式：______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为单项式的数字因数，次数为所有字母的指数和，进行作答即可． 【详解】解：由题意，单项式可以为； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．分别解两个不等式，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， ∴原不等式组的解集为． 故答案为：． 13. 现在的打车软件非常多，也非常方便智能，我们只需要在临出门时，先在打车软件上叫好车即可，这相比于传统的路边召车或者电话召车，可谓是省时省力了．不同的打车软件在服务、收费和位置定位等方面各有优势．小明准备从甲、乙两款打车软件中选择一款下载，现通过身边的10位朋友对这两款打车软件打分，如图所示，小明会选择的软件是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了利用方差判断稳定性，熟练掌握一组数据方差越小越稳定是解题的关键； 根据方差越小数据越稳定即可求解， 【详解】由图象可知甲的数据更稳定，方差更小，所以选甲． 故答案为：甲 14. 如图， 是 的切线，弦与过切点的直径 交于点 E，的延长线与切线 交于点 P，连接．若，则线段的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接 ，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得，利用等角的补角相等和切线的性质定理可以判定，利用相似三角形的性质得出比例式结论求解． 【详解】如图，连接 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ 是 的切线 ∴ ∴ ∵ 是 的直径, ∴ ∴. 又∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，连接 是解题的关键． 15. 已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若 的长度为2，则的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和圆的有关知识，学会分类讨论是解题的关键； 根据勾股定理求出 ，设 与其垂直平分线的交点为E，分和两种情况讨论，根据直角三角形的勾股定理分别求解即可． 【详解】以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点 D 在AB 的垂直平分线上． ∵ ，， ， 如图， 设 与其垂直平分线的交点为E， 则 ， 当 的长为2时，如图， 即 ， ①在中， ， ②在中， ， 综上， 的长为或． 故答案为：或 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： ； （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，求特殊角三角函数值，实数的混合计算： （1）先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 17. 新能源汽车蓬勃发展，车型轻量化、智能化、产品不断丰富多样化．某公司生产的A、B型号的电动汽车，为了解它们的安全性能，工作人员从A、B型号的电动汽车中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的数据（单位：分），并进行整理、描述和分析（用x表示分数，共分为三个等级：合格 良好 优秀 ，下面给出了部分信息：10台A型电动汽车的安全性能：83，84，88，95，95，95，98，89，89，84 10台 B型电动汽车的安全性能中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的 A、B型号电动汽车安全性能统计表 抽取的 B型号电动汽车安全性能扇形统计图 型号 平均数 中位数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 90 a b B 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a= （2）某月该公司生产A型电动汽车共1200台，估计该月 A型电动汽车安全性能为“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的电动汽车安全性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】（1）89 （2）480台 （3） 解：A型电动汽车安全性能更好，理由如下： 在平均数都是90的情况下， A型电动汽车的方差为， B型号的方差为30， ， A型电动汽车更稳定，安全性能更好（理由不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键． （1）根据中位数定义求出a， （2）用总数乘以A型电动汽车“优秀”等级所占百分比即可； （3）可从方差的角度进行分析判断． 【小问1详解】 在83，84，88，95，95，95，98，89，89，84中，排序后位于中间位置的两个数为89，89， 故中位数， ∴中位数， 【小问2详解】 A型电动汽车“优秀”等级的有95，95，95，98共4台， 故“优秀”等级所占百分比为； 该月A型电动汽车“优秀”等级的台数（台） 【小问3详解】 略 18. 如图，在平行四边形中， 是对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段 的垂直平分线，分别交， ， 于点 ，， ，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示； （2） ，理由如下： ∵四边形是平行四边形，点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，作直线 ，分别交， ， 于点 ，， ，连接，，即可获得答案； （2）证明，由全等三角形的性质即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下： ①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； ②在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； ③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数的图象于R点； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q； ⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB． 根据以上材料解答下列问题： （1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为　 　； （2）求证：点Q在直线OM上； （3）求证：∠MOB＝∠AOB． 【答案】（1）； （2）由（1）得：Q（a，）， 设OM的解析式为y＝kx， ∴， ∴k＝， ∴直线OM的解析式为：y＝x， 当x＝a时，y＝， ∴点Q在直线OM上； （3）连接PR，交OM于点D， ∵过P，R作x，y轴的平行线， ∴四边形PQRM为矩形， ∴PD＝MD，PM//QR//OB，PR＝2PD， ∴∠MOB＝∠PMO，∠PDO＝2∠PMO， ∴∠PDO＝2∠MOB， 又∵PR＝2PO， ∴OP＝PD， ∴∠POM＝∠PDO， ∴∠POM＝2∠MOB， ∴∠MOB＝∠AOB． 【解析】 【分析】（1）由PM//x轴，MR//y轴，P（a，），R（b，），即可得出M点的坐标； （2）先求出直线OM解析式和点Q的坐标，将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上； （3）连接PR，交OM于点D，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵PM//x轴，MR//y轴，P（a，），R（b，）， ∴M（b，）， 故答案为：（b，）； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合题、矩形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. “中原之行哪里去?郑州亚细亚．”郑州亚细亚曾是郑州一代人的记忆，现在改名为郑州亚细亚卓越城，是一家以“潮玩食趣新领地”为定位的商场．郑州亚细亚卓越城有多高呢?小凡和同学们是这样做的：自制了一个直角三角形的测高仪测量亚细亚卓越城的高度，如图是测量亚细亚卓越城高度的示意图，测高仪上的点 D，E与卓越城的顶点 A 三点共线，测高仪的顶点F处挂了一个铅锤M，铅垂线交的延长线于点H．经测量，点D距离地面1.5m，，，．求亚细亚卓越城 的高度（结果精确到0.1m）． 【答案】46.5米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先求出，再求出其值，即可求出 ，然后根据得出答案． 【详解】解:由题意可知， ∴ ∴， ∴． ∵, 则 ∵， 则 ∴, ∴． 答：亚细亚卓越城 的高度约为46.5m ． 21. 河南是中原种业大省，农作物供种数量和育种技术居全国首位，为保障国家粮食安全作出重大贡献．麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B 两种型号的收割机进行1 800公顷的小麦作业．已知一台A 型收割机平均每天收割的小麦面积是一台B型收割机平均每天收割小麦面积的2倍，并且在独立完成面积为400公顷的小麦时，一台A型收割机收割比一台B型收割机少用4天． （1）一台 A 型收割机和一台 B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷? （2）若农场每天需付给A种型号的收割机费用为0.4万元，B 种型号的收割机费用为0.25万元，农场要使这次收割小麦的总费用不超过8万元，至少应安排一台A种型号的收割机工作多少天? 【答案】（1）一台A型收割机平均每天收100公顷，一台B型收割机平均每天收50公顷 （2）至少应安排一台A型收割机工作10天 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确列式是解题是关键． （1）先设一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦公顷，结合“已知一台A 型收割机平均每天收割的小麦面积是一台B型收割机平均每天收割小麦面积的2倍，并且在独立完成面积为400公顷的小麦时，一台A型收割机收割比一台B型收割机少用4天”，列式，解方程，注意验根，即可作答． （2）先设应安排一台种型号的收割机工作天，结合“农场每天需付给A种型号的收割机费用为0.4万元，B 种型号的收割机费用为0.25万元，农场要使这次收割小麦的总费用不超过8万元”，列式解不等式，即可作答． 【小问1详解】 解：设一台B型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台A型收割机平均每天收割小麦公顷． 根据题意，得 解得, 经检验是原方程的根，且符合题意，此时(公顷). 答：一台A型收割机平均每天收100公顷，一台B型收割机平均每天收50公顷； 【小问2详解】 解：设应安排一台种型号的收割机工作天. 根据题意，得 解得. 答：至少应安排一台A型收割机工作10天． 22. 如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，高度是 米，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在距离柱子1米的位置水流达到最高米，以水流喷出的高度，水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y与x之间的函数关系式．若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（保留根号） （2）如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中 边在地面上，点C离柱子的距离为米，，灯孔P 在 边上，灯孔P离地面的距离为 米．若水流恰好落在灯孔P处，求的值． 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是从实际问题中出相处二次函数模型． （1）根据已知条件设顶点式函数解析式，然后令、求出a，得出函数解析式，解关于x的一元二次方程，求得正数解即可； （2）把代入解析式即可求出点P的横坐标，然后再求值即可． 【小问1详解】 在距离柱子1米的位置水流达到最高米， 设y与x之间的函数关系式为： 喷水装置，高度是 米， ， 将 代入 得， ， 解得， 在中， 令，则 解得 ， 又， 水池的半径至少为 米，才能使喷出的水流不至于落在池外． 【小问2详解】 在中， 当 时， ， 解得 ， (舍去)， ． 23. 数学研究的路径基本上从特殊到一般．活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． （1）如图1，矩形中，，，将矩形绕点A旋转得到矩形，当经过点D时，连接，线段的长度为 ． （2）如图2，菱形绕点A旋转得到菱形，当与 共线时，延长 ， 交于点 M，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图3，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形． ①当点 B'落在 上时，小明发现点 D 也恰好在直线上．王老师提供了如下思路，请补充完整； ②在①的条件下，若，，，连接，直接写出的长． 【答案】（1） （2）菱形， 理由如下：  菱形 绕点 A 旋转得到菱形，与CD共线， ， ，，， ，  四边形 是平行四边形． ． 在和中， ， ，  四边形 是菱形． （3）①Ⅰ为∶，Ⅱ为∶， ② 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由旋转的性质和直角三角形的勾股定理得，，再次利用勾股定理即可解答； （2）先证是平行四边形，在证得，根据菱形的判定即可得出结论； （3）①连接证四边形 是平行四边形，得在证，D， 共线，即可得出结论； ②连接，过点作，证是等边三角形，得，，，在证，根据勾股定理即可解答 【小问1详解】 四边形是矩形， ，，， 由旋转的性质，得 ，， ，． 在中， 由 勾 股 定 理， 得， ， 在中， 由 勾 股 定 理， 得； 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①Ⅰ为∶，Ⅱ为∶， 如图1，连接． ， 由旋转得， ， ， 和都是等腰三角形， ， 四边形 是平行四边形， ， ， ． 四边形由四边形旋转得到， 四边形是平行四边形， ． 又， ，D， 共线， Ⅰ为∶，Ⅱ为∶，'． ②的长为 如图2，连接，过点作，交 的延长线于点E． ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 由旋转得， ， ， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理，得 ， 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、旋转的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质好旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南中考临考压轴模拟考试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分 120分，考试时间 100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 有理数2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 2. 若二次根式有意义，则x的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 2023年冬季以来，受哈尔滨旅游“火出圈”的带动，黑龙江省人气火爆，热度屡创新高．2024年元旦期间，黑龙江省累计接待游客万人次，同比增长，高出全国增幅个百分点．数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 临近中考，学生总是有些焦虑，但请你相信“努力总会发光！”．如图是正方体的展开图，该正方体展开图的六个面依次书写“努”“力”“总”“会”“发”“光”，则折叠后与“力”字相对的面上标的字是（ ） A. 总 B. 发 C. 努 D. 会 5. 如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为 （ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 杭州娃哈哈集团有限公司是宗庆后同志创办的企业，生产了一系列国人喜欢的饮品．小凡去丹尼斯超市购物，准备从娃哈哈系列产品中的钙奶、乳酸菌饮品、爽歪歪、营养快线四种中随机挑选两瓶购买，则她选中钙奶和爽歪歪的概率是 （ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是 （ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，以为边向y轴左侧作等边，将沿x轴正方向平移得到，点恰好落在一次函数的图象上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个系数为2，次数是3，且只含有a，b两个字母的单项式：______． 12. 不等式组的解集是______． 13. 现在的打车软件非常多，也非常方便智能，我们只需要在临出门时，先在打车软件上叫好车即可，这相比于传统的路边召车或者电话召车，可谓是省时省力了．不同的打车软件在服务、收费和位置定位等方面各有优势．小明准备从甲、乙两款打车软件中选择一款下载，现通过身边的10位朋友对这两款打车软件打分，如图所示，小明会选择的软件是________（填“甲”或“乙”）． 14. 如图，是的切线，弦与过切点的直径交于点 E，的延长线与切线交于点 P，连接．若，则线段的长为________． 15. 已知一个等腰直角三角形， ，，分别以A，B为圆心，以a的长为半径作圆，两圆的交点为点D，若的长度为2，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算： ； （2）化简： 17. 新能源汽车蓬勃发展，车型轻量化、智能化、产品不断丰富多样化．某公司生产的A、B型号的电动汽车，为了解它们的安全性能，工作人员从A、B型号的电动汽车中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的数据（单位：分），并进行整理、描述和分析（用x表示分数，共分为三个等级：合格 良好 优秀 ，下面给出了部分信息：10台A型电动汽车的安全性能：83，84，88，95，95，95，98，89，89，84 10台 B型电动汽车的安全性能中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94 抽取的 A、B型号电动汽车安全性能统计表 抽取的 B型号电动汽车安全性能扇形统计图 型号 平均数 中位数 方差 “优秀”等级所占百分比 A 90 a b B 90 90 30 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a= （2）某月该公司生产A型电动汽车共1200台，估计该月 A型电动汽车安全性能为“优秀”等级的台数； （3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的电动汽车安全性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）． 18. 如图，在平行四边形中，是对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，分别交，，于点 ， ， ，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断 与的数量关系，并说明理由． 19. 希腊数学家帕普斯给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下： ①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合； ②在平面直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P； ③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数的图象于R点； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q； ⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB． 根据以上材料解答下列问题： （1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为　 　； （2）求证：点Q在直线OM上； （3）求证：∠MOB＝∠AOB． 20. “中原之行哪里去?郑州亚细亚．”郑州亚细亚曾是郑州一代人的记忆，现在改名为郑州亚细亚卓越城，是一家以“潮玩食趣新领地”为定位的商场．郑州亚细亚卓越城有多高呢?小凡和同学们是这样做的：自制了一个直角三角形的测高仪测量亚细亚卓越城的高度，如图是测量亚细亚卓越城高度的示意图，测高仪上的点 D，E与卓越城的顶点 A 三点共线，测高仪的顶点F处挂了一个铅锤M，铅垂线交的延长线于点H．经测量，点D距离地面1.5m，，，．求亚细亚卓越城的高度（结果精确到0.1m）． 21. 河南是中原种业大省，农作物供种数量和育种技术居全国首位，为保障国家粮食安全作出重大贡献．麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排A，B 两种型号的收割机进行1 800公顷的小麦作业．已知一台A 型收割机平均每天收割的小麦面积是一台B型收割机平均每天收割小麦面积的2倍，并且在独立完成面积为400公顷的小麦时，一台A型收割机收割比一台B型收割机少用4天． （1）一台 A 型收割机和一台 B型收割机平均每天各收割小麦多少公顷? （2）若农场每天需付给A种型号的收割机费用为0.4万元，B 种型号的收割机费用为0.25万元，农场要使这次收割小麦的总费用不超过8万元，至少应安排一台A种型号的收割机工作多少天? 22. 如图1，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，高度是 米，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在距离柱子1米的位置水流达到最高米，以水流喷出的高度，水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求y与x之间的函数关系式．若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？（保留根号） （2）如图2，为了吸引更多的游客前来参观游玩，准备在水池的边缘增设彩光灯，彩光灯的底座为形状，其中边在地面上，点C离柱子的距离为米，，灯孔P 在边上，灯孔P离地面的距离为 米．若水流恰好落在灯孔P处，求的值． 23. 数学研究的路径基本上从特殊到一般．活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质． （1）如图1，矩形中，，，将矩形绕点A旋转得到矩形，当经过点D时，连接，线段的长度为 ． （2）如图2，菱形绕点A旋转得到菱形，当与共线时，延长， 交于点 M，判断四边形的形状，并说明理由． （3）如图3，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形． ①当点 B'落在上时，小明发现点 D 也恰好在直线上．王老师提供了如下思路，请补充完整； ②在①的条件下，若，，，连接，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $