精品解析：2024年河南省南阳市镇平县中考模拟考试三模数学试题

2024年春期九年级中招模拟训练 数学试卷（三） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年8月29日华为公司上市的Mate 60手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用5nm制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某射击队要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一名运动员代表本队参加市里的比赛，选拔赛中每名运动员成绩的平均数成绩的方差如下表所示，如果要选拔一名成绩好且发挥稳定的运动员参赛，那么应该选拔（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 平均数 8.7 8.7 9.1 9.1 方差 1 0.8 0.8 1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 9. 若反比例函数的图象如图所示，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于而小于的无理数：___________． 12. 不等式组的最小整数解是__________． 13. 中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是__________． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点M为上一点，以点C为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 年月日时分，神舟十六号载人飞船与空间站组合体成功分离，航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮踏上回家之旅．月日8时分，神舟十六号载人飞船返回舱在内蒙古东风着陆场成功着陆，三名航天员平安回家．某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表如下： 组别 测试成绩x/分 频数 频率 A m B 7 C a D E 8 b 请根据以上信息解答下列问题： （1）这次测试抽取的学生共有__________名，__________，__________； （2）请补全频数分布直方图； （3）所抽取学生的成绩的中位数落在__________组； （4）该校共有学生名，若成绩在分以上（含分）为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线交于点，交于点； ②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，． （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明． 19. 2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 20. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）甲种水果每千克的销售价为 元； （2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； （3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和． 21. 欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书． 小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角． 小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系． 请帮助小明写出已知，求证，并证明． 已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，． 求证：_________________． 22. 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；(不写自变量的取值范围) （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 23. 已知点O是线段的中点，直线l与直线交于点P，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D． （1）【问题呈现】如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出线段和OD的数量关系是__________； （2）【类比探究】 如图2，当点P是线段上的任意一点时，线段和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）【拓展提升】 如图3，当点P是线段延长线上的任意一点时： ①请直接写出和的数量关系； ②若，，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春期九年级中招模拟训练 数学试卷（三） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上右边的数总大于左边的数求解即可． 【详解】解：由图可知，， 故选：C． 【点睛】本题考查利用数轴比较有理数的大小，熟知数轴上右边的数总大于左边的数是解答的关键． 2. 如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征作答. 【详解】解：由平面图形的折叠及三棱柱的展开图的特征可知，这个几何体是三棱柱． 故选C． 【点睛】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键． 3. 2023年8月29日华为公司上市的Mate 60手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用5nm制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】∵ ∴． 故选：C． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，利用对顶角相等求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵一束光线平行于主光轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方等知识．熟练掌握同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方是解题的关键． 根据同底数幂的除法，平方差公式，积的乘方对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，正确，故符合要求； 故选：D． 6. 某射击队要从甲、乙、丙、丁四名运动员中选拔一名运动员代表本队参加市里的比赛，选拔赛中每名运动员成绩的平均数成绩的方差如下表所示，如果要选拔一名成绩好且发挥稳定的运动员参赛，那么应该选拔（ ） 选手 甲 乙 丙 丁 平均数 8.7 8.7 9.1 9.1 方差 1 0.8 0.8 1 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用方差和平均数做决策，平均数越高，成绩越好，方差越小，成绩越稳定，由此判断即可． 【详解】解：由表可知，丙、丁成绩的平均数大于甲、乙，丙成绩的方差小于丁， 因此丙的成绩好且发挥稳定， 故选C． 7. 若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用一次函数性质得出k＞0，b≤0，再判断出△=k2-4b＞0，即可求解. 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 8. 如图，点，半径为2，，，点是上的动点，点是的中点，则的最小值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形中位线定理、勾股定理，连接交于，连接，由题意得出是的中位线，则，从而得到当最小值，最小，即当运动到时，最小，此时也为最小，求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于，连接， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴当最小值，最小， ∴当运动到时，最小，此时也为最小， ∵， ∴的最小值为， 故选：A． 9. 若反比例函数的图象如图所示，则抛物线的顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，先用含k的式子写出抛物线的顶点坐标，再根据反比例函数图象判断出k的正负，即可求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为， 反比例函数的图象在第二、四象限， ， ，， 抛物线的顶点在第三象限， 故选C． 10. 如图，在中，、、，点在线段上以每秒1个单位长度的速度从点向终点移动．过点作于点，作于点，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等．过点C作于D，先证是直角三角形，利用面积法求出，再证四边形是矩形，推出，可知当点P与点D重合时，最小，即最小，由此可解． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在中，、、， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小， ∵， ∴最小值为，此时， ∴点E的坐标为， 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个大于而小于的无理数：___________． 【答案】-（答案不唯一） 【解析】 【分析】先找出-9到-4之间的一个数，再把其相反数进行开方即可求解． 【详解】解：∵-9＜-5＜-4， ∴-3＜-＜-2， 故答案为：-（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，属开放性题目，答案不唯一． 12. 不等式组的最小整数解是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后得出最小整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∴最小整数解为3； 故答案为：3． 13. 中国古代“四大发明”有造纸术、指南针、火药和活字印刷术．小明购买了以“四大发明”为主题的四张纪念卡片，他将卡片背面朝上放在桌面上（纪念卡片背面完全相同），小亮从中随机抽取两张，则他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率．熟练掌握画出树状图或列表是解题关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】将造纸术、指南针、火药和活字印刷术四张纪念卡片分别记为A，B，C，D，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的结果有：，，共2种， ∴他抽到的两张纪念卡片恰好是“造纸术”和“指南针”的概率为，． 故答案为：． 14. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，已知的三个顶点均在格点上，点M为上一点，以点C为圆心，的长为半径作圆与边相切于点N，已知为该圆的一部分，则图中由线段及所围成的阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，，，，则，，可得是等腰直角三角形，，如图，连接，则，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 如图，连接， ∵是切点， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，切线的性质，扇形面积等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，切线的性质，扇形面积是解题的关键． 15. 如图，在等腰中，，，D是边上的动点，连接，将沿折叠，点B的对应点为，若，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当时，分两种情况：①当点在下方；②当点在上方，解直角三角形求解即可 【详解】解：当时，分两种情况： ①当点在下方时，如图， 设与的交点为, ∵，， ∴， 由折叠得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得，； ②当点在上方时，如图， 由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的长为或 故答案为：或 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的混合运算： （1）先计算立方根、负整数次幂、零次幂，再进行加减运算； （2）先将括号内式子通分，再变分式除法为乘法，最后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 年月日时分，神舟十六号载人飞船与空间站组合体成功分离，航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮踏上回家之旅．月日8时分，神舟十六号载人飞船返回舱在内蒙古东风着陆场成功着陆，三名航天员平安回家．某校为调查学生对航天知识的了解情况，并鼓励学生拓展航天知识，从全校学生中随机抽取了一部分学生进行航天知识测试，并将测试成绩（百分制）进行整理，绘制成尚不完整的统计图表如下： 组别 测试成绩x/分 频数 频率 A m B 7 C a D E 8 b 请根据以上信息解答下列问题： （1）这次测试抽取的学生共有__________名，__________，__________； （2）请补全频数分布直方图； （3）所抽取学生的成绩的中位数落在__________组； （4）该校共有学生名，若成绩在分以上（含分）为优秀，假如全部学生参加此次测试，请估计该校学生成绩为优秀的人数． 【答案】（1），， （2） 补条形统计图如下； （3）D （4）名 【解析】 【分析】（1）由题意知，这次测试抽取的学生共有名，，； （2）由题意知，，然后补条形统计图即可； （3）根据中位数为第位数的平均数，求解作答即可； （4）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，这次测试抽取的学生共有名，，； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由题意知，， 图略； 【小问3详解】 解：由题意知，中位数为第位数的平均数， ∴所抽取学生的成绩的中位数落在D组， 故答案为：D； 【小问4详解】 解：∵， ∴估计该校学生成绩为优秀的人数为名． 【点睛】本题考查了频数分布表，条形统计图，中位数，用样本估计总体．熟练掌握频数分布表，条形统计图，中位数，用样本估计总体是解题的关键． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：按照下列要求完成尺规作图，并标出相应的字母．（保留作图痕迹，不写作法） ①作的垂直平分线交于点，交于点； ②在线段的延长线上截取线段，使，连接，，． （2）猜想与证明：试猜想四边形的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的尺规作图的画法、垂直平分线的性质，菱形的判定． （1）利用尺规作垂直平分线的方法画图，再按照要求取点连线即可． （2）先猜想四边形为菱形，再证明，由于为的垂直平分线，故，又因为，可证明四边形为平行四边形，然后利用即可证明出四边形是菱形． 【小问1详解】 解：按照要求，如图所示，即为所求作的图形． ． 【小问2详解】 猜想：四边形为菱形． 证明：为的垂直平分线， ， ， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 19. 2024年春节前夕，哈尔滨旅游市场的火热带动了全国“冰雪旅游”的繁荣，某地准备依山建设一个滑雪场带动本地旅游的发展．如图，小山的山腰上有一个平台长为45m，从点C看山顶A的仰角为，山坡的坡度为，该地准备利用斜坡建设一个滑雪场，且的长度为，若点D到地面的垂线段与构成的四边形恰好为正方形时，且图中各点均在一个平面内，求小山的高度．（精确到整数，参考数据：，，） 【答案】小山的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，正方形的性质，先解直角三角形得到，设，则，由勾股定理得到，解方程求出，再由正方形的性质推出，解直角三角形求出，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵山坡的坡度为， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 四边形为正方形， ， ∴， 在中，， ， ， 答：小山的高度约为． 20. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． （1）甲种水果每千克的销售价为 元； （2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围； （3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和． 【答案】（1）20 （2）当时，；当时，； （3）900 【解析】 【分析】（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元； （2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可． （3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分类计算即可． 本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键． c 【小问1详解】 根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元， 故单价为元； 故答案为：20． 【小问2详解】 当时，是正比例函数， 设解析式为， 把点代入解析式，得， 解得， 故解析式为； 当时，是一次函数， 设解析式为， 把点，代入解析式，得， 解得， 故解析式为． 【小问3详解】 根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元， 故单价为元； 故甲的解析式为． 由两种水果销售额相同，且销售额大于0， 得， 解得， ∴甲水果销售额为；乙水果销售额为 ∴甲水果销售利润；乙水果销售利润为 ∴两种水果的总利润为(元)． 21. 欧几里得是古希腊最盛名、最有影响力的数学家之一，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，被广泛认为是历史上最成功的教科书． 小明在阅读《几何原本》时，看到定理3.32的叙述：如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线与圆相截，该直线与切线所成的角等于另一弓形上的角． 小明尝试证明这个定理，他作出如下图形，通过分析，发现若证明这个定理，需研究与的关系． 请帮助小明写出已知，求证，并证明． 已知：如图，中，_____________，点为劣弧上一点，连接，． 求证：_________________． 【答案】 已知：直线切于点，过的直线交于点， 求证：． 证明：如图，连接，延长交于点，连接， 由题意得，， ∴，， ∴， 又∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，延长交于点，连接，根据切线的性质和圆周角定理可得，进而可证明，再根据圆内接四边形的性质可得，结合，即可证明结论． 【详解】略 22. 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；(不写自变量的取值范围) （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）该运动员此次跳水不会失误， 理由：运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，点的坐标为， 运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3， 当时，， 运动员距水面高度为(米， ， 该运动员此次跳水不会失误． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）利用二次函数的解析式求得时的值，依据题意求得运动员此时距水面高度，通过比较与5米的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：运动员在空中最高处点的坐标为， 点为抛物线的顶点， 设该抛物线的解析式为， 该抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 23. 已知点O是线段的中点，直线l与直线交于点P，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D． （1）【问题呈现】如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出线段和OD的数量关系是__________； （2）【类比探究】 如图2，当点P是线段上的任意一点时，线段和的数量关系是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）【拓展提升】 如图3，当点P是线段延长线上的任意一点时： ①请直接写出和的数量关系； ②若，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）数量关系依然成立，证明见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）猜想：．证明，可得结论． （2）结论成立．过点作直线，交的延长线点，证明，可得结论． （3）①结论成立．如图3中，延长交于点，证明，再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可． ②利用等腰直角三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质证明，代入数值进行计算即可． 【小问1详解】 解：猜想：． 理由：如图1中， ，， 在与中， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：数量关系依然成立． 理由：过点作直线，交的延长线于点， ， ， 四边形为长方形， ，， 由（1）知，， 在与中， ， ， ； 【小问3详解】 ①结论成立． 理由：如图3中，延长交的延长线于点， ，， ， ， 点为的中点， ， 又， ， ， ， ， ． ②如图3中，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． ∵，， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $