精品解析：辽宁省沈阳市南昌初级中学2023-2024学年七年级下学期6月月考数学试题

2023-2024学年度下学期七年级数学学科6月月限时作业 一、选择题（每小题3分，共10小题） 1. 小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（　　） A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 在科幻小说三体中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论： ①；②；③；④， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5. 下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格： 所挂物体重量x(kg) 1 2 3 4 5 弹簧长度y(cm) 10 12 14 16 18 则弹簧不挂物体时的长度为（ ）． A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 7. 已知直线，嘉嘉和淇淇想画出平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线； ②含角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边与量角器的刻度线重合，则． 淇淇： ①作射线； ②在射线上任取点A，用尺规作与相等角，即； ③连接，则． 下列说法正确的是（ ） A. 嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B. 嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C. 嘉嘉和淇淇的作法都正确 D. 嘉嘉和淇淇的作法都不正确 8. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 经过交通路口时遇到红灯 C. 花生油滴入水中会浮在水面 D. 两个负数和是一个正数 9. 如图，在中，垂直平分于点E，交于点D，连接，的垂直平分线交于点F，连接，设，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 B. 三角形三条高线相交于一点 C. 所有正方形都是全等图形 D. 在中，若，则是直角三角形 二、填空题（每小题3分，共5小题） 11. 已知，，则______． 12. 如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则的度数为______． 13. 现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球______个． 14. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（只填序号） 15. 如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，与全等． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，，，点E在上，点F在三角形内部，，．请补全下面“判断与的位置关系”的过程． ∵，（已知） ∴．（______） ∵ ∴______． 又∵，（已知） ∴_________________． 又∵， ∴______． ∴与的位置关系是______．（判定依据：______） 18. 某商人在游乐场制作了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“2、4、6”，则收费2元，若指针指向数字“3”．则奖3元；若指针指向数字“1”，则奖1元，若指针指向数字“5”，则获得再转一次转盘的机会． （1）任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、获奖3元、获奖1元的概率分别为______、______、______． （2）任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为______． （3）一天，一名游客转动转盘1次，转盘停止后，获得再转一次转盘的机会的概率是______． 19. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭的宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 　　　　　　　　　　图① 　　　　　　图② 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点C，在连线中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离 测量结果 ，， ，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度． 20. 如图，已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线对称； （2）在直线上画出点D，使． （3）在直线上画出点P，使最大． 21. 如图，在中， （1）用尺规作图法作边上的高，垂足为D（保留作图痕迹不写作法）； （2）在（1）的条件下，若平分，求证：． 22. 如图1，在长方形ABCD中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒、，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒、(P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是的面积和运动时间(秒)的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，和运动时间(秒)的关系式； (3)求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P，Q两点相距3cm？ 23. 【问题背景】 在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度下学期七年级数学学科6月月限时作业 一、选择题（每小题3分，共10小题） 1. 小篆，是在秦始皇统一六国后创制的汉字书写形式．下列四个小篆字中为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意直接根据轴对称图形的概念对选项依次进行判定，即可得出结论． 【详解】解：A.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D.是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了轴对称图形的定义，重点培养学生对图形的观察能力的空间想象能力，掌握轴对称图形的定义并准确理解其含义是进行判断的关键． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，涉及积的乘方运算、同底数幂的乘法运算、幂的乘方运算和同底数幂的除法运算，熟记相关运算法则逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项正确，符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3. 在科幻小说三体中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，已知正常的头发丝直径为，则“飞刃”的直径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】． 故选：C． 4. 如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论： ①；②；③；④， 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握知识点是解题的关键，根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出，，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【详解】∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴，②正确； ∵， ∴， ∴，③正确； ∵， ∴，④错误； 故选：A． 5. 下表是研究弹簧长度与所挂物体质量关系的实验表格： 所挂物体重量x(kg) 1 2 3 4 5 弹簧长度y(cm) 10 12 14 16 18 则弹簧不挂物体时的长度为（ ）． A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据，设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为，进而求得关系式，令即可求得弹簧不挂物体时的长度． 【详解】设弹簧长度y与所挂物体重量x的关系式为， 将，分别代入得， 解得 即， 将，分别代入，符合关系式， 当时，则， 故选C． 【点睛】本题考查了变量与表格，函数关系式，找到关系式是解题的关键． 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 7. 已知直线，嘉嘉和淇淇想画出的平行线，他们的作法如下（图1和图2）： 嘉嘉： ①将直尺紧贴直线； ②含角的三角板的顶点C落在直尺上； ③使三角板斜边与量角器的刻度线重合，则． 淇淇： ①作射线； ②在射线上任取点A，用尺规作与相等的角，即； ③连接，则． 下列说法正确的是（ ） A. 嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B. 嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C. 嘉嘉和淇淇的作法都正确 D. 嘉嘉和淇淇的作法都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据题意，嘉嘉利用同旁内角互补得出两直线平行，淇淇利用同位角相等得出两直线平行． 【详解】解：嘉嘉： 斜边与量角器的刻度线重合， ∴ 又∵直角板， ∴， ∴， ∴， 则嘉嘉的作法正确， 淇淇：∵， ∴， 则淇淇的作法正确， 故选：C． 8. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 经过交通路口时遇到红灯 C. 花生油滴入水中会浮在水面 D. 两个负数的和是一个正数 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是必然事件，故A不符合题意； B、经过交通路口时遇到红灯，是随机事件，故B符合题意； C、花生油滴入水中会浮在水面，是必然事件，故C不符合题意； D、两个负数的和是一个正数，是不可能事件，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了随机事件，有理数的加法，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键． 9. 如图，在中，垂直平分于点E，交于点D，连接，的垂直平分线交于点F，连接，设，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，得出，，根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，然后求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 B. 三角形三条高线相交于一点 C. 所有正方形都是全等图形 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定、全等图形以及三角形内角和定理等知识，结合相应的知识点逐项验证即可得到答案． 【详解】A项，由两个三角形全等的判定定理，两个三角形有两条边对应相等，且这两条相等边的夹角也相等的两个三角形全等可知，故A项错误； B项，三角形三条高线所在的直线相交于一点，故B项错误； C项，所有边长相等的正方形都是全等图形，故C项错误； D项，在中，若，由三角形内角和定理可知三个内角的度数为、、，则是直角三角形，故D项正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共5小题） 11. 已知，，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查了完全平方公式的变形，，熟记公式是解题的关键．利用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：16 12. 如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则的度数为______． 【答案】##56度 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质可得，由直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质得出是解题的关键． 13. 现有一个不透明的袋子中装有除颜色不同之外，质地均匀的小球，白球8个，若干个红球．现从中摸出一球，摸到红球的概率为，则袋中有红球______个． 【答案】16 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用，解题的关键是注意掌握方程思想的应用，概率=所求情况数与总情况数之比． 首先设红球有x个，利用概率公式即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：设红球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解． 故答案为：16． 14. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，给出以下结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（只填序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断①． 【详解】解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故②正确，符合题意； ，， ∴ ， 故③正确，符合题意； 过点F作于点P， ∵，是角平分线， ∴， 中，， ∴， 故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④ 15. 如图，中，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当t＝_____秒时，与全等． 【答案】2或或12 【解析】 【分析】点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况；根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 由题意得，， ∵， ∴， 当， 则， ∴， 解得：； ③如图3，当点Q与A重合时， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 三、解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值以及非负性，绝对值，零指数幂，负整数指数幂， （1）首先计算绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后计算加减； （2）先根据完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，然后运算除法，结合非负性，得出x，y的值，再把x，y的值代入，即可作答． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， ∵， ∴，， ∴，， 把，代入，得原式． 17. 如图，，，点E在上，点F在三角形内部，，．请补全下面“判断与的位置关系”的过程． ∵，（已知） ∴．（______） ∵ ∴______． 又∵，（已知） ∴_________________． 又∵， ∴______． ∴与的位置关系是______．（判定依据：______） 【答案】两直线平行，内错角相等；70；；；50；180；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线判定和性质，等式的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．依据平行线的性质，即可得到，推出，进而得到，进而得到． 【详解】证明：，（已知） ．（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴． 又，（已知） ． 又， ． 与的位置关系是．（判定依据：同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：内错角相等；70；；；50；180；；同旁内角互补，两直线平行． 18. 某商人在游乐场制作了一个如图所示的转盘游戏，取名为“开心大转盘”，游戏规定：参与者自由转动转盘，若指针指向数字“2、4、6”，则收费2元，若指针指向数字“3”．则奖3元；若指针指向数字“1”，则奖1元，若指针指向数字“5”，则获得再转一次转盘的机会． （1）任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、获奖3元、获奖1元的概率分别为______、______、______． （2）任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为______． （3）一天，一名游客转动转盘1次，转盘停止后，获得再转一次转盘的机会的概率是______． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者交费2元、获奖3元、获奖1元的概率各为多少． （2）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者获奖的概率． （3）根据几何概率的定义，面积比即概率，可求参与者获得再转一次转盘的机会的概率. 本题主要考查了简单的几何概型，掌握“面积比即概率” 是解题的关键． 【小问1详解】 指针指向数字“1”的圆心角为： ， ∴参与者交费2元的概率为：； 参与者获奖3元的概率为：； 参与者获奖1元的概率为：； 故答案为：，，． 【小问2详解】 任意转动转盘一次，参与者获奖的概率为：， 故答案为：． 【小问3详解】 游客获得再转一次转盘的机会的概率为：， 故答案为：． 19. 某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下： 项目主题：测量某水潭的宽度． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量水潭宽度？ 组内探究：由于水潭中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，平面镜等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据，从而计算水潭的宽度． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 　　　　　　　　　　图① 　　　　　　图② 测量说明 如图①，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E与点A、D在一条直线上，测出的长度 如图②，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D、E两点之间的距离 测量结果 ，， ，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算水潭的宽度． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法与全等三角形的性质是解本题的关键； 选择方案①：先证明，结合，，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； 选择方案②：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论； 【详解】解：选择方案①； ∵， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴水潭的宽度为； 选择方案②： ∵，，， ∴，而， ∴， ∴水潭的宽度为； 20. 如图，已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线对称； （2）在直线上画出点D，使． （3）在直线上画出点P，使最大． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）分别作点A、B、C关于直线的对称点、、；顺次连接、、所得的三角形即为所求． （2）连接交直线于点D即可作答； （3）延长交直线于点P即可作答； 【小问1详解】 如图， 即为所求； 【小问2详解】 如图， 点D即为所求； 证明：根据对称性可知， 根据对顶角相等可得：， 即有； 【小问3详解】 如图， 点P即为所求． 证明：如图，当点P在处时，根据三角形三边的关系可知：； 当点A、C、P在三点共线时，此时有：； 综上有：，当且仅当点A、C、P在三点共线时取等号， 即点P满足要求． 【点睛】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质，对顶角相等，三角形三边的关系等知识，掌握轴对称图形的性质，是解答本题的关键． 21. 如图，在中， （1）用尺规作图法作边上的高，垂足为D（保留作图痕迹不写作法）； （2）在（1）的条件下，若平分，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，尺规作图：垂线； （1）根据尺规作图的方法作出图形即可； （2）先根据角平分线的性质，得出，证明，得出，结合等角对等边得出，据此即可作答． 【小问1详解】 解：边上的高，如图所示： ∴线段即为所求； 【小问2详解】 解：过点C作， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图1，在长方形ABCD中，，，点P从A出发，沿的路线运动，到D停止；点Q从D点出发，沿路线运动，到A点停止．若P、Q两点同时出发，速度分别为每秒、，a秒时P、Q两点同时改变速度，分别变为每秒、(P、Q两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是的面积和运动时间(秒)的图象． (1)求出a值； (2)设点P已行的路程为，点Q还剩的路程为，请分别求出改变速度后，和运动时间(秒)的关系式； (3)求P、Q两点都在BC边上，x为何值时P，Q两点相距3cm？ 【答案】（1）6；（2）；；（3）10或 【解析】 【分析】（1）根据图象变化确定a秒时，P点位置，利用面积求a； （2）P、Q两点函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒； （3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程． 【详解】（1）由图象可知，当点P在BC上运动时，△APD的面积保持不变，则a秒时，点P在AB上． ， ∴AP=6， 则a=6； （2）由（1）6秒后点P变速，则点P已行的路程为y1=6+2（x﹣6）=2x﹣6， ∵Q点路程总长为34cm，第6秒时已经走12cm， 故点Q还剩的路程为y2=34﹣12﹣； （3）当P、Q两点相遇前相距3cm时， ﹣（2x﹣6）=3，解得x=10， 当P、Q两点相遇后相距3cm时， （2x﹣6）﹣（）=3，解得x=， ∴当x=10或时，P、Q两点相距3cm 【点睛】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x的连续性才能直接列出函数关系式． 23. 【问题背景】 在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时． 【答案】初步探索：；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；结论运用：，． 【解析】 【分析】【初步探索】延长到，使连接， 先证明，再证明则可得到结论； 【探索延伸】延长到，使，连接，证明，再证明则可得到结论； 【结论运用】连接，延长交于点， 利用已知条件得到四边形中， 且符合具备的条件,则； 本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】【初步探索】延长到，使连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】结论仍然成立：， 证明：延长到，使，连接，如图， ∵，， ∴， 在△ABE和△ADG中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【结论运用】连接，延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形中，，且 ∴四边形符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时速度前进并尽快汇合，最短需要（小时）， 故答案为：；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$