精品解析：山东省滕州市育才中学2023-2024学年下学期第二次质量检测七年级数学试题

2023-2024学年度第二学期第二次阶段检测 七年级数学试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 下列长度三根小木棒，不能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A. 142° B. 132° C. 119° D. 109° 6. 如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（　　） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 7. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）． A. B. C. D. 9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( ) A. B. C. D. 10. 如图，点为内一点，分别作点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 11. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 12. 已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论： ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 14. 如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与成角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转沿方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为__________． 15. 已知，，为的三边，化简：______． 16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 17. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是______． 18. 如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是_____． 三、解答题（共8大题，共70分） 19. 如图，已知，，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，中，于点，平分，若，． （1）求的度数； （2）若点为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 22. 如图，在正方形网格上的一个，且每个小正方形的边长为（其中点均在网格上）． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）在上画出点，使得最小； （3）求出的面积． 23. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB． （1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度； （2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长最小值． 24. 如图，在中， 垂直平分交于点D，交于点E，垂直平分交于点F，交于点G. （1）若，求的周长. （2）若，求度数. 25. 模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 26. 已知，．点P在AB上以1cm/s速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期第二次阶段检测 七年级数学试题 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列长度的三根小木棒，不能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的关系，熟练掌握和运用三角形三边的关系是解决本题的关键．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐一分析各项即可． 【详解】A．，不能构成三角形，故选项符合题意； B．，能构成三角形，故选项不符合题意； C．，能构成三角形，故选项不符合题意； D．，能构成三角形，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，点在同一直线上，，添加以下条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ A．若添加，根据可判定； B．若添加，根据可判定； C．若添加，不能判定； D．若添加，则，根据可判定； 故选C． 4. 如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质． 根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点． 【详解】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等， 到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点， ∴这个集贸市场应建在三角形三边垂直平分线的交点处． 故选：D． 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为（　　） A. 142° B. 132° C. 119° D. 109° 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和求出∠B＝38°，再根据等边对等角即可求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°， ∴∠B＝38°， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 6. 如图为6个边长相等的正方形组成的图形，则∠1+∠2+∠3的大小是（　　） A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】标注字母，利用“边角边”判断出和全等，根据全等三角形对应角相等可得（或观察图形得到，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， （或观察图形得到， ， ， 又， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，解题的关键是准确识图判断出全等的三角形． 7. 在下列条件中：①，②，③，④，⑤中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①∵，则，， ∴是直角三角形； ②∵，设， 则，，， ∴是直角三角形； ③∵， ∴， 则， ∴是直角三角形； ④∵， ∴， 则， ∴是直角三角形； ⑤∵，，， ∴为钝角三角形． ∴能确定是直角三角形的有①②③④共4个， 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的定义，解决本题的关键是掌握其定义：有一个角为的三角形，叫做直角三角形． 8. 如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 9. 工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在 的边 上分别取 ， 然后移动角尺使角尺的两边相同的刻度分别与 M，N 重合，得到的平分线 ， 做法中用到三角形全等的判定方法是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴，即为的平分线． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 10. 如图，点为内一点，分别作点关于、的对称点，，连接交于，交于，，则的周长为（ ） A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解． 【详解】解：∵点关于、的对称点，， ∴，， ∴△PMN的周长， ∵ ∴△PMN的周长为． 故选：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 11. 如图，且且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（ ） A. 50 B. 62 C. 65 D. 68 【答案】A 【解析】 【分析】由，，，可以得到，而，由此可以证明，所以，；同理证得，，，故，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 【详解】∵且，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， 同理证得，，， 故， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查的全等三角形的判定的相关知识点，作辅助线是本题的关键． 12. 已知：如图，在中，，，，点C，D，E三点在同一条直线上，连接． 以下四个结论： ①；②；③； ④． 其中结论正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．①由，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；②由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到垂直于，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， ∵在和中，， ∴， ∴，本结论正确； ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，本结论正确； ③∵， ∴， ∴， 则，本结论正确； ④∵， ∴，本结论正确， 故正确的结论有4个， 故选：D． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是___________________ 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性的应用，用木条固定矩形门框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 14. 如图所示：要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与成角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转沿方向再走17米，到达E处，使A、C与E在同一直线上，那么测得A、B的距离为__________． 【答案】17米 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据意义得出（米），结合对顶角相等，得证，即可作答． 【详解】解：∵从B处出发与成角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转沿方向再走17米， ∴（米）， ∵A、C与E在同一直线上， ∴， ∴， ∴（米）， 故答案为：17米． 15. 已知，，为的三边，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，合并同类项，根据三角形三边的关系，即可得到，， 然后将原式去掉绝对值，再合并同类项即可，解题的关键是正确理解任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边． 【详解】解：∵的三边长分别是， ∴必须满足两边之和大于第三边，两边的差小于第三边，则，， ∴， 故答案为：． 16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为_______． 【答案】63°或27° 【解析】 【分析】等腰三角形分锐角和钝角两种情况，求出每种情况的顶角的度数，再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理，即可求出底角的度数： 【详解】有两种情况： （1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°， ∵∠ABD=36°， ∴∠A=90°-36°=54°. ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=×（180°-54°）=63°. （2）如图 当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°， ∵∠HFE=36°， ∴∠HEF=90°-36°=54°， ∴∠FEG=180°-54°=126°. ∵EF=EG， ∴∠EFG=∠G=×（180°-126°）=27°． 【点睛】考点：1.等腰三角形性质；2.三角形内角和定理；分类思想的应用． 17. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交边于点D，若，，则的面积是______． 【答案】18 【解析】 【分析】过D点作于H，如图，由作法得平分，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：过D点作于H，如图， 由作法得平分， ∵， ∴， ∴的面积= ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了作图——作已知角的角平分线，角平分线的性质，利用角平分线的性质求出中边上的高是解题的关键． 18. 如图，在中，是的平分线，若点P、Q分别是和上的动点，则的最小值是_____． 【答案】####7.2 【解析】 【分析】过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，先根据角平分线的性质得到，进而根据证明，再根据证明，然后根据证明，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点E，过点E作于点Q，交于点P，连接，此时取最小值，如图所示． 在中，． ∵是的平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 和中， ， ∴， ∴， 延长，交于F， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是， 故答案为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（共8大题，共70分） 19. 如图，已知，，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得出，根据可得出； （2）求出，可得出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的外角和等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 如图，在中，，延长至点，使，过点作，使，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）首先根据题意得到，然后利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，中，于点，平分，若，． （1）求的度数； （2）若点为线段上的任意一点，当为直角三角形时，求的度数． 【答案】（1） （2）的度数为或 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义及性质、与角平分线有关的计算、垂线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，由三角形外角的定义及性质得出，由垂线的定义得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）分两种情况：当时，当时，分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：平分，， ， ，， ， 于点， ， ； 【小问2详解】 解：如图，当时， ， ； 如图，当时， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 22. 如图，在正方形网格上的一个，且每个小正方形的边长为（其中点均在网格上）． （1）作关于直线的轴对称图形； （2）在上画出点，使得最小； （3）求出的面积． 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （2）连接交于，利用得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积． 【小问1详解】 解：找到关于的对称点，连接，，，如图： 【小问2详解】 解：连接交于，如图： ∵在网格可知：， ∴， ∴点即为所求的点，使得最小． 【小问3详解】 解：． 23. 如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB． （1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度； （2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长度； ②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值． 【答案】（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周长的最小值为14cm． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠A，根据线段垂直平分线的性质可求∠MBA，然后用角的和差即可得到结论； （2）①根据线段垂直平分线上的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解； ②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵AB=AC， ∴∠C=∠ABC=70°， ∴∠A=40°， ∵MN垂直平分AB， ∴AM=MB， ∴∠MBA=∠A=40°， ∠MBC=∠ABC-∠MBA=30°； 故答案为：30°． （2）①由（1）可知，AM=BM， ∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC， ∵AB=8cm，△MBC的周长是14cm， ∴BC=14－8=6（cm）； ②当点P与M重合时，△PBC周长值最小， 如图，∵MN垂直平分AB， ∴PB=PA ∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC， ∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小， ∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等的性质，熟记并能熟练运用这些性质是解题的关键． 24. 如图，在中， 垂直平分交于点D，交于点E，垂直平分交于点F，交于点G. （1）若，求的周长. （2）若，求的度数. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质，得出，即可求解； （2）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：垂直平分 ， 垂直平分 ， 周长 【小问2详解】 在中， ， ， 垂直平分， ， 垂直平分， ， ，， 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟记这些知识点并能准确运用是正确解题的关键． 25. 模型的发现： 如图 （1）如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； （2）模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； （3）模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 【答案】（1） （2），见详解 （3）结论成立，见详解 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质． （1）利用AAS证明，由三角形全等的性质即可得出，再根据图中线段的关系即可得出结论； （2）通过证明得到，进一步得到即可求解； （3）通过证明得到，进一步得到． 【小问1详解】 解： 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 【小问2详解】 解： 证明如下：∵ ∴ ∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 【小问3详解】 （1）的结论成立， 理由如下：∵ ∴ 在和中 ∴（AAS） ∴ ∴ 26. 已知，．点P在AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）如图①，，，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）与全等，理由见解析；此时 （2）存在，，或， 【解析】 【分析】（1）利用“”证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）与全等，分两种情况：①，②，建立方程组求得答案即可． 【小问1详解】 解：当时，与全等，此时．理由如下： ，点与点的运动速度均为以， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：点的运动速度为，运动的时间为， ∴， 点在上以的速度由点向点运动， ，则， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，， ， 由，得：， 解得：， 由，得：， 解得：， 当，时，和全等； ②当，时，， 由于，因此，此时点与点重合，如图所示： 由，得：， 解得：， 由，得：， 将代入，得． 当，时，和全等． 综上所述：当，或，时，和全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$