2024届福建省永春一中高三最后一卷数学试卷

永春一中2024届高三年最后一卷数学科试卷 2024．06 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. i 3. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，是 双曲线右支上的一个动点，且“”的最小值是，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 5. 工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量 （单位：mg/L）与过滤时间 小时的关系为（，均为正的常数）．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过（ ）（最终结果精确到1h，参考数据：，） A. 43h B. 38h C. 33h D. 28h 6. 甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆台存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球 的体积分别为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线 与曲线相切于点，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B. 线性回归直线一定过样本点中心 C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强 D. 在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10. 在平面直角坐标系 中，点 是拋物线的焦点， 到的准线 的距离为2，点是上的动点，过点且与相切的直线 与 轴交于点 是准线 上的一点，且 ，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当点的横坐标为2时，直线 的斜率为1 C. 设，则的最小值为 D. 成等差数列 11. 棱长为的正四面体ABCD中，，，，点K为△BCD的重心，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若直线AK与平面PQR的交点为M，则 C. 四面体ABCD外接球的表面积是 D. 四面体KPQR的体积是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图像向左平移 （ ）个单位长度，得到函数g(x)的图像，若，则 的最小值是___． 13. 甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是______. 14. 设函数的极值点为，则______.已知数列满足，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，已知． （1）求 ． （2）若 ， 的平分线交于点，求 ． 16. 如图，平行六面体中，侧面为矩形，底面 是边长为2的菱形，且为线段上一点，满足． （1）求证：平面平面 ； （2）若，求二面角的正弦值． 17. 已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布，并把质量差在内的产品称为优等品，质量差在内的产品称为一等品，优等品与一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理．现从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为 的估计值，记质量差服从正态分布，求该企业生产的产品为正品的概率P；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表） 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． （2）假如企业包装时要求把2件优等品和n（，且）件一等品装在同一个箱子中，质检员从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A，否则该箱产品记为B． ①试用含n的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率p； ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为，求当n为何值时，取得最大值． 18. 已知圆和点，点是圆上任意一点，线段 的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）点在直线上运动，过点的动直线 与曲线相交于点 . （ⅰ）若线段上一点 ，满足，求证：当的坐标为时，点 在定直线上； （ⅱ）过点 作 轴的垂线，垂足为 ，设直线的斜率分别为，当直线 过点时，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中.对正整数，称为数列的 阶差分数列，其中已知数列的首项，且为的二阶差分数列. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的一阶差分数列，对，是否都有成立？并说明理由；（其中为组合数） （3）对于（2）中的数列，令，其中 .证明：. 永春一中2024届高三年最后一卷数学科试卷 2024．06 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 1 ②. －2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）； （2）． 【16题答案】 【答案】（1） 证明：取 的中点 ，连接，由 是边长为2的菱形，得， 又 ，则为等边三角形，即有， 由，则， 即，，由，得 ， 而平面 ，因此平面 ，又平面 ， 所以平面平面 （2） 【17题答案】 【答案】（1）0.8186； （2）①；② 3 【18题答案】 【答案】（1） （2） （ⅰ）因为直线 的斜率一定存在，设直线 的方程为 ， 因为在 上，所以， 由得， ，设， 则，由得， 化简得，则， 化简得，又因为，所以， 所以点 在定直线上. （ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 因为为数列的一阶差分数列，所以 ， 故成立，即为.① 当 时，①式成立； 当时，因为，且， 所以①成立，故对都有成立. （3）证明：，因为 ，所以， 故 ，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 永春一中2024届高三年最后一卷 数学科答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [0] [o] [0] [0] [0] [o] [0] [1 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 回回 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [3] [3] [3] 31 [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] 4] [4] [4] [4] [4] [51 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [6 (67 [6] [6 [6] [6] [6] [6] 正确填涂■缺考标记 ▣ [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题：911为多选题) 1[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 1 ■ 囚囚■ 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) A D B D C ■ 17.(15分 1 囚■囚 18.(17分) 囚■囚 ▣ 19.(17分)永春一中2024届高三年最后一卷数学科试卷2024.06 考试时间120分钟，试卷总分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合A=1,2},B={x2+mx-3=0},若AnB={},则AUB=() A.{-31,2} B.{1,2 C.{-3,2} D.{1,2,3} 2.已知复数=9+，则（) A.1 B.-1 C.-i D.i 3。已知不，5分别是双商线C善芳-1b~0的左、右焦点，是M双南线C右支上的一个动点， 且MF-MFP”的最小值是8√6，则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±2 B.y=√2x C.y x 2 D.y= x 2 4.已知圆O:x2+y2=1,过点A(2,0)的直线1与圆O交于B,C两点，且AB=BC,则BC=() A.2 6月 C.√2 D.6 2 5.工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y(单位：gL)与过滤 时间t小时的关系为y=ye(yo,a均为正的常数).已知前5小时过滤掉了I0%污染物，那么当 污染物过滤掉50%还需要经过()（最终结果精确到1h,参考数据：1g2≈0.301,1g3≈0.477） A.43h B.38h C.33h D.28h 6.甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组计分组“宣传组”三个岗位中 随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为() A动 B. 50 C.25 6 D.号 7.己知圆台OO,存在内切球O(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球)，若圆台O,O,的上、下底 知与它的侧面积之比为5：8，设圆台0O,与球0的体积分别为V,V2,则 A.5 B. 、6 D. 11 13 C. 4 8.已知直线y=ax+b与曲线y=e相切于点(x,e6),若x∈(-m,3),则a+b的取值范围为() A.(-n,e] B.（-e,e] c.(0,e) D.(0,e] 高三年数学科试卷，第1页（共4页） 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是() A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同 B.线性回归直线y=bx+a一定过样本点中心(x,y) C.线性相关系数”越大，两个变量的线性相关性越强 D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 10.在平面直角坐标系xOy中，点F是抛物线T:y=ax(a>0)的焦点，F到T的准线l的距离为2， 点A是上的动点，过点A且与T相切的直线m与y轴交于点B,C是准线I上的一点，且AC⊥I, 则下列说法正确的是() A.a=4 B.当点A的横坐标为2时，直线m的斜率为1 C.设D(3,0),则AD+AC的最小值为√10 D.|OB,AB,BC成等差数列 1.棱长为万的正四面体ABCD中，AP-AB,A0-写AC,A顶-D,点K为△BCD的重 心，则下列说法正确的是() A.AK⊥BK B.四面体PQR的体积是 36 C.四面体ABCD外接球的表面积是√3π D.若直线AK与平面PQR的交点为M,则AM=AK 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.将函数f(x)=tan2x的图像向左平移t(t>0)个单位长度，得到函数g(x)的图像，若g 2 =1, 则t的最小值是 13.甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差 别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用 A、A表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步 由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 14.设函数f(y)=1nx的极值点为，则f()=一已知数列{a,}满足a=e4,若 x+1 x(a2+1)=lna4,则a+a=一 高三年数学科试卷，第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，已知sin(∠BAC-∠B)=sinB+sinC. (1)求∠BAC (2)若AC=2AB,∠BAC的平分线交BC于点D,求COS∠ADB 16.(15分) 如图，平行六面体ABCD-ABCD中，侧面AABB,为矩形，底面ABCD是边长为2的菱形，且 ∠ABC=60°，P为线段AB上一点，满足∠APA=∠PBB,PC=2. (I)求证：平面PAB⊥平面ABCD: (2)若PA=PB,求二面角A-PC-D的正弦值. 17.(15分) 已知某精密制造企业根据长期检测结果，得到生产的产品的质量差服从正态分布N(山，。)，并把质 量差在(u-o,u+σ)内的产品称为优等品，质量差在（山+o,4+2σ）内的产品称为一等品，优等品与 一等品统称为正品，其余范围内的产品作为废品处理.现从该企业生产的正品中随机抽取1000件， 测得产品质量差的样本数据统计如下： 频率/组距 0.045 0.020 0.010 质量差 0.005:- (单位：mg) 0465666768696 (1)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的标准差s近似值为10，用样本平均数x作为儿的近似 值，用样本标准差s作为0的估计值，记质量差服从正态分布X~N(4,σ)，求该企业生产的产品 为正品的概率P；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表) 参考数据：若随机变量服从正态分布N4,σ2)，则P(u-σ<号≤u+σ)≈0.6827， P(u-2o<5≤u+2o)≈0.9545，P(-3σ<5≤+3o≈0.9973. (2)假如企业包装时要求把2件优等品和n(n≥2，且n∈N)件一等品装在同一个箱子中，质检员 从某箱子中摸出两件产品进行检验，若抽取到的两件产品等级相同则该箱产品记为A,否则该箱产 品记为B. ①试用含的代数式表示某箱产品抽检被记为B的概率P; ②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率为∫(p),求当n为何值时，f(p)取得最大值. 高三年数学科试卷，第3页（共4页） 18.(17分) 已知圆A:(x+1)2+y2=16和点B(1,0),点P是圆上任意一点，线段PB的垂直平分线与线段PA相交 于点Q,记点Q的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程： (2)点D在直线x=4上运动，过点D的动直线l与曲线C相交于点M,N. MEMD (i)若线段MN上一点E,满足 求证：当D的坐标为(4,1)时，点E在定直线上： (i)过点M作x轴的垂线，垂足为G,设直线GW,GD的斜率分别为k,k2,当直线l过点(1,0)时， 是否存在实数，使得k=认？若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由. 19.(17分) 对于数列{a},称{Aan}为数列{a}的一阶差分数列，其中△a,=a+1-an(n∈N)对正整数k(k≥2)， 称{△an}为数列{an}的k阶差分数列，其中A*an=△（△an)=△an1-△-an已知数列{a}的首项 a1=1,且{Aa+1-a,-2}为{an}的二阶差分数列. (I)求数列{am}的通项公式： (2②)设b,=-n+2)c}为数列私}的一阶差分数列，对vm∈N，是否都有了C=a成立？ 并说明理由；（其中C为组合数） 8对于2)中的数列.令%，其中宁<2证明：会<”- 2 高三年数学科试卷，第4页（共4页）永春一中2024届高三年最后一卷数学科参考答案及评分标准2024.06 1.A【详解】因为AnB={,A={1,2},B={xx2+mx-3=0}, 所以方程x2+x-3=0有一个根是1，且2一定不是它的根， 则12+m-1-3=0,解得m=2, 当m=2时，方程x2+2x-3=(x+3)(x-1)=0的根是1和-3， 所以B={礼，-3}，满足AOB=, 即AUB={1,2}U1,-3}={L,2,-3}.故选：A. 2A【f解1因为：号-，所以-0++刊1，所以-严-=1故运：A 3.C【详解】解法一：不妨设E(-c,0)，F(c,0),M(x,,),且x≥2， 则MEf-MEf=(+c)'+y-[(。-c)2+]=4cx≥8c, 所以8c=86,解得c=6,b=V反，故双曲线C的渐近线方程为)=± -x 解法二：MEP-MEP=(MF-MFMF+MED=4(ME+ME) =4(4+2MF)≥4[4+2(c-2)]=8c, 所以8c=86,解得c=6,b=V反，故双曲线C的渐近线方程为y=±5x故选：C 2 4.D【详解】如图，在0AC中，BD/OC,BD=0C= CoS∠ODB ED4'co∠C0A=-cos∠0DB=- BD 1 4 AC=OC-O=oc+0-20c.OCOs COA=6, 所以B=故适：D 5.D【详解】，废气中污染物含量y与过滤时间t小时的关系为y=y,e“, 令t=0,得废气中初始污染物含量为y=%, 又.前5小时过滤掉了10%污染物， 9 In 10 ∴.(1-10%)%=yea,则。 In a=-10=9, 55 ∴.当污染物过滤掉50%时，(1-50%)%=e“, 1 则1=2-n2_51n2-5lg2.51g2 In ≈33h, -a 9g1 10 In 101-21g3 9 ∴.当污染物过滤掉50%还需要经过33-5=28h.故选：D. 6.C【详解】若人数配比为3：1：1时，则有CA=60种不同安排方法： 若人数配比为2：2：1时，则有C,CC=90种不同安排方法： 所以共有60+90=150种不同安排方法 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3：1：1时，则有CA=18种不同安排方法； 高三年数学科试卷，第1页（共8页） 若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为2：2：1时，则有CA=18种不同安排方法； 所以共有18+18=36种不同安排方法. 所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为P三祁=故选：C 7.B【详解】设圆台OO的上、下底面半径分别为，(>5>0)，母线长为1，高为h,内切球0 的半径为R, 显然圆台轴截面等腰梯形的内切圆是球的截面大圆，则1=r+5,2R=h, (+）_5,整理得3-10r5+3G=0,而>，解得5=3新，1=4， 由 (5+5)18 因此圆台的高h=V2-(2-)}=23,R=V5, 则圈台00的体积y-写+53新+(6门25-265配。 3 内切球0的体积-言，-45，所以兰-合故选：B T2 8.B【详解】因为y=e,所以y'=e*,.a=e. 又：切点(，e)在直线y=ar+b上， ..e=axo+b=xe+b,b=(1-x)e...a+b=(2-)e. 令g(x)=(2-x)e,则g(x)=(1-x)e,xe(-o,3), 令8'(x)>0,解得：x<1;令8(x)<0,解得：1<x<3; 可得g(x)在(-∞，)上单调递增，在(1,3)上单调递减， x<2时，8(x)>0,2<x<3时，g(x)<0, 当x趋近负无穷时，8(x)趋近0,8(3)=-e;g(x)x=g()=e, 故a+b的取值范围为(-e,e.故选：B. 9.ABD 【详解】对A：由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后， 新数据的方差与原数据方差相同，故A正确： 对B:由a=y-bx,故线性回归直线y=bx+a一定过样本点中心(，)，故B正确； 对C:线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故C错误； 对D:在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 其模型的拟合效果越好，故D正确. 故选：ABD 10.BC 【详解】对于A:抛物线r:y=ara>0)化为标准方程为x2=二y,因为F到T的准线1的距离为2， a 所以。=2，所以a=年故A错误： 高三年数学科试卷，第2页（共8页） 对于B:由a=子相，r的方程为P=, 4 所以y=2X,所以直线m的斜率k=2×2=1,故B正确： 对于C:AD+AC=|AD+AF≥FD=VP+32=Vo, 当且仅当点A是线段DF与T的交点时，等号成立，故C正确； 对于D:不纺设点A在第一象限，则点A名>0，所以广五 所以直线m的斜率k=乡，所以直线m的方程为y-士=多(x-), 4 化简可得，24-4yG=0,令=0，则y=草所以0草)月 因为AC⊥1，所以C(x,-1), f-〔)-手om普c-1--1等 所以2h(0O8+C)2+于至123+手-10，放D错误 44 故选：BC. I1.ABD【详解】由于点K为△BCD的重心，所以点K为△BCD的中心， 故AK⊥平面BCD,BKC平面BCD,所以AK⊥BK,A正确， 由于P是AB的中点，所以Vn-AOR LVB-AOR 由选项B,AM-AK可知AM=M风，所以VoR=2o,所以 kac-R-99 RE 人-0R=2Vp0R=2x。X×VAcm2 一X一X 243 V-RCD=12X3 3=36 B正确， 由于该正四面体的棱长为√2，将该正四面体放入棱长为1的正方体中，则正方体的外接球即为四 面体的外接球，故外接球的直径为正方体的体对角线，故R=5,故表面积是4R2=3元，C错误， 由于B,C,D三点共面，点K为△BCD的重心，所以 AK-AC+CK-AC+CB+CD)-AC+(AB-AC+AD-AC)-(AB+AC+AD). 又M.PQ.R四点共面，所以A丽=P+yA0+0--)丽-aB+aC+0--)D, 高三年数学科试卷，第3页（共8页） 2 由于AM,AK共线，所以2= -x- 4 12 1 1 ,解得y=3x 9 33 故AM=AK,D正确，故选：ABD 3 B- 12. 【详解】函数f(x)=tan2x的图像向左平移t个单位长度，得到函数g(x)=tan(2x+2t)的图像， 又8月)-1，所以1=m(+2.所以x+2-+xeZ. 又t>0, 故可解得1-经低∈2刃，当k=0时，得冬放答案为： 十 82 8 17 13. 42 【详解1因为4)一PA-号到A-是-贵EA)一是-分号 所以PB=PAB+PAB=RAPBIA+PA)PB1A)-)9x号-.故答案为： 17 8218742 42 14.1:-2 【解】W为f包0所以r(= 1(x+1)-Inx (x+1) 由了s0)hx>0设a)c)hx,则i()是0恒成立. 所以a()在(Qo)上单调递减，又he)e+1)-lne-。0,A(e)。(e+-1ne-1<0. 所以唯一存在x∈(e,e2),使得h(x)=0. 则f(x)在(0，x)上单调递增，在(x,+∞)上单调递减 所以x=x为函数fx)的极大值点，且1=1血所以f()=七 In xo =1. +1 因为anH=e→lna=an+l.所以ha4=a+l,lha=a2+1. 又因为x(a42+l)=lna4→lna,=a+1,即lna,-a-1=0. 又h(x)=(+)-lnx有唯一的解，所以xnx-x-1=0有唯一解，所以a,=. 所以a42=lnx-1=,a,=ln4-1=-lnx-1, 所以a,+a2= -1nx-1=-2.(因为无n6-名-1=0⊙n-1--0→-1n6=-1). Xo 故答案为：1；-2 15. 【详解】(I)解：因为sin(∠BAC-∠B)=sin∠BAC cos B-cos∠BACsin B=sinB+sinC,----l分 又sinC=sin(π-C)=sin(∠BAC+∠B)=sin∠BAC cos B+cos∠BAC sin B,---- ----2分 高三年数学科试卷，第4页（共8页） 所以-2cos∠BAC sin B=sinB, -3分 又0<B<π，所以sinB>0,所以cos∠BAC=- -4分 因为0<∠BAC<元，所以∠BAC=2 -5分 (2)解：设AB=t,则AC=2t. 由余弦定理，得BC2=AC2+AB2-2AC.AB cos.∠BAC=42+2+212=7t2,故BC=√7t.---7分 由角平分线的性质及三角形的面积公式，知肥C分，放0-C t------9分 DC AC 2t 3 3 在△ABD中，由正弦定理，得 AB BD -10分 sin∠ADB sin∠BAD 万 因为∠BAD=子所以n sin∠ADB、 所以sin∠ADB=3N2 -----------11分 14 2 因为AC>AB,所以B>C,所以B+ +5,即ADC>ADB. >C+ -12分 3 3/2 又∠ADC+∠ADB=元，所以∠ADB为锐角，故coS∠ADB ---13分 14 14 16. 【详解】(1)取AB的中点O,连接CO,PO, 由ABCD是边长为2的菱形，得AB=BC=2,- --1分 又∠ABC=60°，则△ABC为等边三角形，即有C0⊥AB,C0=√5， -3分 由∠APA=∠PBB,则∠BPB,+∠APA=∠BPB+∠PBB=90°， 即PA⊥PB,-- -5分 0P=AB=1,由0P2+0C2-P+(52=2=PC2,得C010P, --6分 而AB∩OP=O,AB,OPC平面PAB,因此CO⊥平面PAB, 又OCC平面ABCD, 所以平面PAB⊥平面ABCD.--- -7分 (2)由PA=PB,得PO⊥AB,- -8分 又平面PABL平面ABCD, 平面PABO平面ABCD=AB,POC平面PAB, 于是POL平面ABCD,直线OC,OB,OP两两垂直， -9分 以O为坐标原点，直线OC,OB,OP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系0-2， 则0(0,0,0)，A(0,-1,0),P(0,0,1),B(01,0),C(V3,0,0),D(V3,-2,0), PC=（3,0,-1,AP=(0,1,1),DC=(0,2,0), -10分 设平面APC的一个法向量为乃=(x,y,z), 平面DPC的一个法向量为n=(a,b,c), 由 -Pc-v5x-2-0'令x=l,得元=，-5月. nAP=y+z=0 -12分 高三年数学科试卷，第5页（共8页） n2·DC=2b=0 Z 由 ----13分 n·PC=3a-c=0 令a=1,得n=1,0,V5), a: 因此c0s,乃)= n1几2 =4_27 ----14分 B n‖%1V7×271 所以二面角A-PC-D的正弦值为1-( 25- 7 .-15分 17. 【详解】(1)由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取1000件的平均数为： 00s10,462i6102010,56104s10.6t76, 2 2 0020x10x76+86+005×10×86196-70,即4=x=70, -2分 2 2 o≈s≈10，所以X~N(70,102), -3分 则优等品为质量差在(u-6,u+σ)内，即(60,80)： 一等品为质量差在(u+σ，u+2o)内，即(80,90)， 所以正品为质量差在(60,80)和(80,90)内，即(60,90)， 4分 所以该企业生产的产品为正品的概率： P=P60<X<90=Pr60<X<80+P80<X<90=2x06827+09545)=08186; -5分 (2)①从n+2件正品中任选两个，有C+2种选法，其中等级相同有C+C2种选法， ----7分 “某箱产品抽检被记为B的概率为：D=1-C+C-1-心-n+2 4n n2+3n+2n2+3n+2 -9分 ②由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为P,则5箱产品恰有3箱被记为B的概率为 f(p)=Cp31-p)2=10p31-2p+p2)=10(p3-2p4+p),- -10分 所以f'(p)=103p2-8p3+5p)=10p2(3-8p+5p2)=10p2(p-10(5p-3), -11分 所以当p引.f(列>0，函激)单训适常. 当p怎到时，p)0,函数f(P)年调道减。 -12分 3 所以当p=时，f(p)取得最大值，最大值为 )1 -13分 An 3 此时p+3n+2亏，解得：n=3, --14分 ∴.=3时，5箱产品恰有3箱被记为B的概率最大，最大值为 216 --15分 625 18. 【详解】(1)由题意知圆心A(-1,0),半径为4， 且lQPl=|QB,AB=2, --1分 A+B=QA+OP=PA=4>AB=2, 所以点Q的轨迹为以AB为焦点的椭圆，- -2分 设验线的方程为豆芳-。小6>0. 高三年数学科试卷，第6页（共8页） 则2a=4,2c=2,解得a=2,c=1, -3分 所以6=a-c2=3,所以曲线C的方程为+广=1： -4分 43 (2)(i)因为直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为y=cx+m, -5分 因为D(4,)在l上，所以4k+m=1,--- -6分 y=kx+m 由+y-1得(3+4k)r+8m+4(m-3)=0, -7分 4+3 △=(86m)}2-16(3+4k2)(m2-3)=48(4k2-m2+3)>0,设M(x,y),N(x,y2),E(x,y), -8km 4(m2-3) -----8分 3+4k2 网 化简得4(x+)-2xx=[8-(:+x)门x, --9分 则4× -8kam）-2 4(m2-3) 8km × 8+ 3+4k2 3+4k2 3+4k2 化简得kx+m+3x-3=0, 10分 又因为yo=kx+m,所以3x+yo-3=0, 所以点E在定直线3x+y-3=0上. --11分 (i)因为直线y=kx+m过(1,0)，所以k+m=0,直线方程为y=kx-k, -12分 从而得D(4,3k),G(x,0), -13分 由（知，+x353 4(k2-3) 3+4k2 D k=2.k=3%】 E ----14分 X2-x 4-x 所心哈产-训.“ x三4 3(x2-x)k 3(x2-x) 4(k2-3）,8k2 4x2-4- 3+4k2 3+4k25 (3+4k2)x-4k2 82 2 -16分 3 3+4k2-5 2[(3+4k2)x-4k2 所以存在实数1=7使得k=2人 -17分 19. 【详解】【详解】(1)因为{△a+-an-2}为{a}的二阶差分数列， 所以△a+1-an-2”=△2， -1分 将△2an=△a+1-△a,代入得△an+1-a。-2"=△an+1-△an,- -2分 高三年数学科试卷，第7页（共8页） 整理得△n-an=2”,即an+1-2an=2", -3分 所以学号器号=方故数列侵}是首项为时，公老为时的守益数别， --4分 因比，受a-分a=n2z --5分 (2)因为{xn}为数列{也}的一阶差分数列，所以x,=b+-bn=n, -6分 故空C=a成立，即为C+2C++nC=n20- -7分 当n=1时，①式成立；- -8分 当n≥2时，因为n.2m-=n-(1+1)-1=n(C91+C1+…+Cm),且nC=kC,-10分 所以①成立，故对neN都有∑xC=a,成立. --11分 8)=,因为12，所以2旷≥1r<2 -12分 故e+2）t）2e-f儿2r-刂0， --13分 即t”+t"<2”+2n, -14分 所以 总→… =-小+0别2-0+2)232=2-2 ---16分 所以<2-2。 -17分 高三年数学科试卷，第8页（共8页）