精品解析：重庆市綦江区联盟校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

重庆市綦江区联盟校2023-2024学年（下）八年级半期 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号正确答案对应的方框涂黑. 1. 下列式子中，一定属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，被开方数大于等于0进行判断即可得到结果． 【详解】解：A、被开方数为非负数，所以A不合题意； B、x≥﹣2时二次根式有意义，x＜﹣2时没意义，所以B不合题意； C、为三次根式，所以C不合题意； D、满足二次根式的定义，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的定义，注意选项中各式的形式及未知数取值范围是解本题的关键． 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 6、8、10 B. 1、、2 C. 2、3、4 D. 7、24、25 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； D、，符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知该定理的内容是解题关键，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 3. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和7，则字母A所代表的正方形的面积是（ ） A. 2 B. 10 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理和正方形的面积公式，得字母A所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差． 【详解】解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面积． 故选：D． 4. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定方法逐一判断即可解答． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B选项错误； C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项正确； D、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解题的关键． 5. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等，求出，对边平行，得到，进而可求出． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及无理数的估算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先算出，结合，则． 详解】解：， ∵， ∴， 则， 故选：D． 7. 如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　） A. 29 B. 32 C. 37 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，观察图中铜币的数量增加规律可以发现：第n个图形总是比前一个图形增加n个铜币，根据此规律即可求出第n个图形的铜币数量代数式，再将代入即可求解． 【详解】解：当时，铜币的个数， 当时，铜币个数， 当时，铜币的个数， 当时，铜币的个数， …… 第n个图案需要铜币的个数为， 第8个图案需要铜币的个数为， 故选C． 8. 如图，的周长是，的周长是，E、F分别是边的中点，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及中位线的性质，先根据的周长是，的周长是，得出，因为E、F分别是边的中点，所以，即可作答． 【详解】解：∵的周长是，的周长是 ∴ ∴ ∵E、F分别是边的中点， ∴是的中位线 ∴ 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查翻折变换性质和矩形性质，三角形面积公式，勾股定理．根据题意连接，根据三角形面积公式求出，得到，根据直角三角形判定得到，再根据勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解：连接交于点， ， ∵，点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 依次排列的两个整式，，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第二次操作，得到第4个整整式；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第三次操作，得到第5个整式；……以此类推，下列4个说法： ①第6个整式为； ②第13个整式中的系数的绝对值比系数的绝对值大1； ③第8个整式与第9个整式所有系数的绝对值之和为255； ④若，则第98次操作完成后，所有整式之和为100． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查的是数字变化规律的问题．根据题目给出的一次操作的定义再求出第6个整式、第7个整式、第8个整式、第9个整式，进一步发现规律，然后根据①②③④要解决的问题进行判断即可． 【详解】解：由题意可知，第6个整式为：，故①正确； 以此类推可以得到第7个整式为：，第8个整式为：，第9个整式为：， 由以上列举可知规律：序号为偶数时的系数为负数，的系数为正数，系数的绝对值比系数的绝对值小1；序号为奇数时的系数为正数，的系数为负数，系数的绝对值比系数的绝对值大1， 13为奇数，故②正确； 第8个整式与第9个整式所有系数的绝对值之和为：，故③错误； 若，则每次操作后都是1，第98次操作完成后，共有100个1，所以所有整式之和为100，故④正确． 所以正确的有：①②④，3个正确，C选项符合题意． 故选：C． 二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件即可求解，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意可得：， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：∵在中，，D为的中点，， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分． 14. 如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为____°． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，熟知菱形的对角线平分一组对角且菱形的对角相等是解题的关键；先根据作图方法证明四边形ABCD是菱形，再根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的对角相等进行求解即可； 【详解】解：由作图方法可知，， ∴四边形是菱形， ， ， 故答案为：30． 15. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作交于，交于，若，，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】由矩形的性质可证明S矩形AEGM=S矩形CFGN=2×5=10，即可求解． 【详解】解：作GM⊥AB于M，延长MG交CD于N． 则有四边形AEGM，四边形DEGN，四边形CFGN，四边形BMGF都是矩形， ∴AE=BF=2，S△ADB=S△DBC，S△BGM=S△BGF，S△DEG=S△DNG， ∴S矩形AEGM=S矩形CFGN=2×5=10， ∴S阴=S矩形CFGN=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质与判定、矩形的面积公式、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S矩形AEGM=S矩形CFGN． 16. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵M，N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴当最大时，最大，此时最大， ∵点E是上的动点， ∴当点E和点C重合时，最大，即的长度， ∴此时， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且式子有意义，则所有满足条件的整数的值之和为____________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组，二次根式和分式有意义的条件，根据不等式组的解集确定的取值范围，再根据二次根式和分式有意义的条件确定的值即可，掌握一元一次不等式组的解法，二次根式和分式有意义的条件是正确解答的关键． 【详解】解：，解得 ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 解得； ∵式子有意义， ∴ ∴ ∴所有满足条件的整数a的值有7，8 ∴所有满足条件整数a的值之和为， 故答案为：15． 18. 一个四位数，且满足各数位上的数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求______；若是“善雅数”，当最大时，______． 【答案】 ①. 138 ②. 1289 【解析】 【分析】本题考查了新定义，理解新定义，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据“善雅数”的定义直接进行求解即可； （2）根据当最大时，则最大，可以确定出，时，最大，即可求出结果． 【详解】解：根据题意“善雅数”定义， ， 当最大时，则最大， ∴当，时，最大， 故答案为：，． 三、解答题（本题8个小题，其中19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0； （2）6． 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先将除变为乘，然后根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算；熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据完全平方公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案. 【详解】解：原式 ， ∵a，b满足， ∴，， ，， 原式． 【点睛】本题考查平方差公式、完全平方公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握完全平方公式和二次根式的性质. 21. 如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，，，．求BD的长． 【答案】8 【解析】 【分析】运用勾股定理分别求出AO、OD，根据BD=OD-OB即可求得． 【详解】解：在Rt△AOB中，，AB＝25，OB＝7， ∴， ∴， 在Rt△COD中，，， ∴， ∴ ， ∴BD的长为8． 【点睛】本题考查了勾股定理．掌握勾股定理是解题的关键． 22. 如图，的对角线，交于点O， （1）用尺规完成以下基本作图：过O点作AC的垂线分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问的条件下，连接，，求证：四边形为菱形 并将下面的证明过程补充完整 证明：∵ ∴ ∴___________①___________ ∴ 在和中 ， ∴___________③___________ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵___________④___________ ∴四边形为菱形 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的方法解答即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形及菱形的判定即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵ ∴ ∴， ∴ 在和中 ， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵， ∴四边形为菱形， 故答案为：①；②；③；④． 【点睛】本题考查了尺规作线段垂直平分线、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握上述知识是解答本题的关键． 23. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】（1）海里 （2）最多能收到29次信号 【解析】 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【小问1详解】 由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； 【小问2详解】 过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 24. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为6． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线四边形的性质可以得出，，再利用线段和差证明，即可得出结论；（2）由（1）得：，，再由平分，得到，再得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴的长为6． 25. 如图1，在四边形中，， 点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． （1）当四边形为平行四边形时，求t的值． （2）如图2，将沿翻折，得，当四边形为正方形时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，，根据条件证明矩形，即可表示出；然后依据平行四边形性质即可求解； （2）根据正方形性质可得，进而得到，即可求出． 【小问1详解】 解：由题意得：，， ， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， ， 四边形为平行四边形时，， ， 解得：； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 26. 如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，点E为AB上一动点，DE与AC相交于点G，CH⊥DE，垂足为H，CH的延长线与AB相交于点F，点P在边AB上 （1）若DG=，AG=1，求AB的长 （2）求证DG=CF+FG （3）若AP=1，AD=，请直接写出PH的最小值 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求得，再在中，求出即可解决问题； （2）如图1，延长交的延长线于，利用全等三角形的性质证明即可； （3）如图2中，取的中点，连接，过点作与,过点作与,交于，则是的中位线，根据勾股定理和直角三角形的性质求得再根据求得的最小值． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． （2）如图1中，延长交的延长线于， ， ， ， ， ， （ASA）， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， （SAS）， ， ． （3）如图2中，取的中点，连接，过点作与,过点作与,交于，则是的中位线， ， 四边形是矩形， ,， ， ， ， , AD=， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市綦江区联盟校2023-2024学年（下）八年级半期 数学试题 （总分：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号正确答案对应的方框涂黑. 1. 下列式子中，一定属于二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. 6、8、10 B. 1、、2 C. 2、3、4 D. 7、24、25 3. 如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和7，则字母A所代表的正方形的面积是（ ） A. 2 B. 10 C. D. 4 4. 在下列命题中，正确的是（ ） A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5. 已知中，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　） A. 29 B. 32 C. 37 D. 46 8. 如图，的周长是，的周长是，E、F分别是边的中点，则的长为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，则的长为（　　） A B. C. D. 10. 依次排列的两个整式，，将第1个整式乘以2再减去第2个整式，称为第一次操作，得到第3个整式；将第2个整式乘2再减去第3个整式，称为第二次操作，得到第4个整整式；将第3个整式乘以2再减去第4个整式，称为第三次操作，得到第5个整式；……以此类推，下列4个说法： ①第6个整式为； ②第13个整式中的系数的绝对值比系数的绝对值大1； ③第8个整式与第9个整式所有系数的绝对值之和为255； ④若，则第98次操作完成后，所有整式之和为100． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 如果有意义，那么x的取值范围是__________． 12. 如图，在中，，D为的中点，，则的长是 _____． 13. 如图，四边形是边长为菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________． 14. 如图，①以点A为圆心长为半径画弧分别交的两边、于点B、；②以点B为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；③分别连接、、，若，则的大小为____°． 15. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点作交于，交于，若，，则图中阴影部分的面积为_________． 16. 如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______． 17. 若关于的一元一次不等式组的解集为，且式子有意义，则所有满足条件的整数的值之和为____________． 18. 一个四位数，且满足各数位上数字互不相同，且都不为零．若将的个位数字与千位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到新的一个数，记，若为整数，我们称为“善雅数”．例如：，为“善雅数”．求______；若是“善雅数”，当最大时，______． 三、解答题（本题8个小题，其中19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 21. 如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，，，．求BD的长． 22. 如图，对角线，交于点O， （1）用尺规完成以下基本作图：过O点作AC的垂线分别交、于点E、F（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问的条件下，连接，，求证：四边形为菱形 并将下面的证明过程补充完整 证明：∵ ∴ ∴___________①___________ ∴ 在和中 ， ∴___________③___________ ∵ ∴四边形为平行四边形 ∵___________④___________ ∴四边形为菱形 23. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 24. 如图，在中，点B，E分别在AC，DF上，分别交于点M，N． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知，连接，若平分，求的长． 25. 如图1，在四边形中，， 点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接，设运动时间为t秒． （1）当四边形为平行四边形时，求t的值． （2）如图2，将沿翻折，得，当四边形为正方形时，求的长． 26. 如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥AC，AD=AC，点E为AB上一动点，DE与AC相交于点G，CH⊥DE，垂足为H，CH的延长线与AB相交于点F，点P在边AB上 （1）若DG=，AG=1，求AB的长 （2）求证DG=CF+FG （3）若AP=1，AD=，请直接写出PH的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $