培优01利用函数性质解不等式（四大题型）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优01利用函数性质解不等式 题型01分段函数解不等式 【例1】已知函数，则满足的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知函数，则不等式的解集为 ． 【变式1-1】定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【变式1-2】已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【变式1-3】若函数，则的解集为 . 【变式1-4】已知函数 (1)求； (2)若，求实数m的取值范围. 题型02利用抽象函数的性质解不等式 【例3】已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【例4】定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知定义在上的函数满足，且时，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【变式2-3】已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【变式2-4】定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 题型03利用具体函数的性质解不等式 【例5】已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【例6】已知函数，若满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知函数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 题型04利用单调性的定义构造函数解不等式 【例7】已知是定义域为的奇函数，函数，且当时恒成立，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．在上单调递增 D．的图象与轴有3个交点 【例8】已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续不断，对任意，有，且，则不等式的解集为 ． 【变式4-1】已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【变式4-3】已知定义在上的奇函数满足，且．若，，，，则不等式的解集为 ． 【变式4-4】已知函数的定义域为，且的图象关于点对称.若，当时，都有恒成立，则关于的不等式的解集为 . 1．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．已知函数，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在上的奇函数，且，若对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为(    ) A． B． C．(1，3) D．[1，3] 6．已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 8．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．设函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 11．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 12．已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 13．记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 14．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 15．已知函数，且满足，则实数的取值范围是 ． 16．已知函数若，则的取值范围为 . 17．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 18．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为 . 19．已知，当时，实数的取值范围为 . 20．若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 培优01利用函数性质解不等式 题型01分段函数解不等式 【例1】已知函数，则满足的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 故无解； 当时，， 故无解； 当时，要使，有两种情况， 第一种情况，，即时， 此时由于函数在上单调递增， 则，解得； 第二种情况，，即时， 此时， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点睛：根据分段函数解析式，找到临界点，从而分，和三种情况讨论，是解决本题的关键. 【例2】已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以； 当时，，， 得，所以无解； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 【变式1-1】定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令，解得或， 令，解得， 当或时，，由，可得：，所以； 当时，，由，可得：或，所以. 综上，由，可得． 故答案为： 【变式1-2】已知函数，则满足的的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，， 故， 故，不成立； 当时，，，不成立， 当时，要使得， 有两种情况：第一种情况，，即， 此时由于在上单调递增， 只需，解得， 第二种情况，，即时， 只需，解得， 与取交集得， 综上，的取值范围是． 故答案为： 【变式1-3】若函数，则的解集为 . 【答案】，或，或. 【详解】令， 当时，由解得或，可得， 所以当时，解得，无解， 时，解得，可得； 当时，，可得； 所以当时，解得，或，可得， 时，，解得； 综上所述，的解集为，或，或. 故答案为：，或，或. 【变式1-4】已知函数 (1)求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）由题意可得：①当时，，得； ②当时，，得. 综上所述：实数m的取值范围为：. 题型02利用抽象函数的性质解不等式 【例3】已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，则的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 又在上是增函数，， 当时，不成立； 当时，由，得，则，故或； 由，得，则，故或； 而由，得或，解得或， 即的解集为. 故选：A. 【例4】定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且， 所以在上单调递增，， 因为， 当，即时，，即， 所以，即，解得，故； 当，即时，，即， 所以，即或，解得或，故； 综上：或. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是充分利用偶函数的性质，从而简化运算得解. 【变式2-1】已知定义在上的函数满足，且时，，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设，由，可得，即函数在上单调递增， 又定义在上的函数满足，所以函数是偶函数， 所以函数在上单调递减， 所以或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【变式2-2】（多选）已知定义在上函数的图象连续不间断，且满足以下条件：①是偶函数；②，，且时，都有；③，则下列成立的是（    ） A． B．若， C．若，则 D．，，使得 【答案】CD 【详解】依题意，是偶函数，图象关于轴对称， 所以关于直线对称. ，，且时，都有， 所以在上单调递增，则在上单调递减， ，由此画出的大致图象如下图所示， 所以，A选项错误. 若，则，B选项错误. 若，则，即， 所以或，所以，C选项正确. 由于函数的图象连续不间断，结合图象以及单调性可知： ，，使得，D选项正确. 故选：CD 【点睛】形如的函数表达式，可根据函数图象变换的知识来进行分析，如与的图象关系是：的图象向左平移个单位长度得到的图象，所以的图象的对称性与的图象的对称性有关系. 【变式2-3】已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 【变式2-4】定义上单调递减的奇函数满足对任意，若恒成立，求的范围 . 【答案】 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 又因在R上单调递减， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立，所以， 设，对称轴， 所以当时，， 所以. 故答案为：. 题型03利用具体函数的性质解不等式 【例5】已知函数，则不等式的解集为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，定义域为，又，故为偶函数； 又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数； 又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数； ，即，则，即，， 也即，解得. 故选：A. 【例6】已知函数，若满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 的定义域为，， 为偶函数， ，， 当时，，，，， 在上单调递增， ， 即， 即，也就是， 在单调递增且为偶函数， ， ，即，解得. 实数的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，解答本题的关键是得出为偶函数和在上单调递增，由对数的性质结合函数为偶函数将不等式化为，再由单调性求解. 【变式3-1】已知函数，则满足不等式的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得的定义域为， 又，故为偶函数， 而当时，易知单调递增， 而对于，在上恒成立， 所以在上也单调递增， 故在上单调递增， 则由，得，解得或. 故选：D. 【变式3-2】已知函数，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数定义域为R，且在R上单调递增，值域为， ， 所以函数图象关于对称， 设函数，则函数图象关于原点对称 所以函数为R上的奇函数，且单调递增， 由，得， 即，得， 所以，解得，即原不等式的解集为. 故选：A． 【变式3-3】已知函数.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于，所以的定义域为， 所以， ， ， 所以是奇函数， 由于在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由得， 即， 所以， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 【点睛】判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再根据或来确定函数的奇偶性.求解含有函数符号的不等式时，可以考虑利用函数的单调性、奇偶性等知识去掉函数符号，由此来对问题进行求解. 【变式3-4】已知定义在上的偶函数，且． (1)求函数的解析式； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵ 是定义在上的偶函数， ∴ ，，即， 又，即 ，解得， 所以，经检验符合题意． （2）由（1）知：，∴在上为单调递减函数， 因为，即， 又∵为偶函数，可得， 综上可得：，  解得或， 所以不等式的解集为． 题型04利用单调性的定义构造函数解不等式 【例7】已知是定义域为的奇函数，函数，且当时恒成立，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．在上单调递增 D．的图象与轴有3个交点 【答案】A 【详解】对于A，令， 则，故A正确； 对于B，， ， 也就是说在单调递减，且为奇函数， 而，所以或，故B错误，C错误； 对于D，由以上分析可知，故D错误. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：判断B选项的关键是得出在单调递减，由此即可顺利得解. 【例8】已知函数是定义在上的奇函数，且其图象连续不断，对任意，有，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由， 即函数是上的单调增函数， 因为是定义在R上的奇函数，所以也是定义在R上的奇函数， 因此在上也是增函数，且，，， ，即， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-1】已知函数是定义在上的奇函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由于函数是定义在上的奇函数， 所以，所以是偶函数， 由于，且，都有成立， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 由 可知， ①当时，有，， 即，而， 所以，解得. ②当时，有，， 即，所以， 即或， 不等式组的解集为空集， 不等式组的解集为. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 【变式4-2】已知函数是定义在上的偶函数．若对于任意两个不等实数、，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】因为函数是R上的偶函数，则， 所以不等式可变形为， 因为对于任意两个不等实数、， 不等式恒成立， 所以不等式恒成立， 不妨设，则，可得， 则函数在上单调递增， 所以，，可得，即，解得或， 则原不等式的解集为． 故选：C． 【变式4-3】已知定义在上的奇函数满足，且．若，，，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，， 因为，，，， 即，，，， 所以在上单调递减， 又为定义在上的奇函数， 所以，所以， 所以为偶函数， 所以在上单调递增， 又，且， 所以，所以， 不等式（依题意，则）等价于， 即，所以，则且， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式4-4】已知函数的定义域为，且的图象关于点对称.若，当时，都有恒成立，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为的图象关于点对称， 所以即， 故为上的奇函数， 令， 因为，当时，都有， 故为上的减函数， 而，故为上的偶函数， 故为上的增函数， 而， 故当时，， 故时，，时，. 当时，， 故时，，时，. 故的解为， 故答案为： 1．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以， 当时，在上单调递增，且，， 当时，根据奇函数的性质可知在上单调递增，且， ， 所以. 故选：D. 2．已知函数，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由于，所以的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得，所以不等式的解集是. 故选：D 3．已知是定义在上的奇函数，且，若对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为对于，都有， 所以对恒成立， 设，则，对于，都有， 令，则在上单调递减， 因为，所以， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 故，所以是定义在上的偶函数， 所以在上单调递增，且， 所以不等式可化为， 所以，解得或. 故选：B 4．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，， 即函数是R上的偶函数，当时，， 函数在上单调递增，则在上单调递减， 在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增，而不等式， 于是，两边平方得，解得， 所以所求不等式的解集为. 故选：B 5．已知偶函数的图象经过点且当时， 不等式 恒成立，则使得 成立的x取值范围为(    ) A． B． C．(1，3) D．[1，3] 【答案】B 【详解】由题意知，偶函数的图象经过点， 所以点也在图象上，即， 当时，不等式恒成立， 则，所以函数在上单调递减， 所以等价于， 所以，解得或， 所以x的取值范围为. 故选：B. 6．已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为，且， 所以，函数为偶函数， 则不等式等价于， 因为函数、在上均为增函数， 当时，单调递增， 所以，，可得，解得， 故原不等式的解集为. 故选：A. 7．已知是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是（    ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】因为是奇函数， 所以， 因为在内是减函数，且是奇函数， 所以在内是减函数， 作出函数的大致图象如图所示 不等式等价于或， 结合的图象，解得或，即或， 所以的解集是或. 故选：D. 8．已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由于，所以的定义域为， 又 ，所以是奇函数， 当时，为增函数，为增函数， 所以是增函数，则，由是奇函数可知，在上单调递增， 由得，即， 则，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 9．设函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 所以恒成立， 则； 当时，， 所以恒成立， 则； 当时，， 所以， 解得，则. 综上所述，满足的实数的取值范围是. 故选：C. 10．（多选）设偶函数的定义域为，且满足，对于任意，都有成立则（    ） A．不等式的解集为 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【详解】AB选项，当时，， 即，故在上单调递增， 偶函数的定义域为，故在上单调递减， 又，故， 当时，，所以，解得， 当时，，此时，即， 当时，，由于在上单调递增， 故，故，解得，故； 当时，，由于在上单调递减， 故，故，解得，故； 综上，或或， 故不等式的解集为，A正确，B错误； CD选项，中， 令得， 设，则， 所以在上单调递增， 因为为上的偶函数， 故定义域为，且， 所以为偶函数， 因为，所以， 则等价于， 故，解得或，C正确，D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性和单调性解不等式， 若已知单调递增，，则， 若已知单调递减，，则， 若已知为偶函数，，通常将变形为， 将自变量均加上绝对值，结合函数在上的单调性得到不等式，求出解集， 也可画出函数图象，数形结合进行解答，无论哪种方法，均要优先考虑定义域. 11．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，， 则当时，，. 函数和在R上都单调递增，则在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，所以在R上单调递增， 由，得， 则，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：； 12．已知函数的定义域，对，，都有，且对，都有.若，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】在中， 令，得， 令，得， 令，，得， 又的定义域为，所以为偶函数， 又对，都有， 即对，都有， 所以在上为减函数，所以在上为减函数， 又，，为偶函数， 所以，解得或， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 13．记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【答案】 2 【详解】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，令，解得或； 令，解得；令，解得， 由图象知：当时，或或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2， 14．已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【详解】由， 得：， 令，则； 关于对称，， ， 为定义在上的奇函数； 又为上的增函数，为增函数， 在上单调递增， 则由， 得：， ，解得：， 即的解集为. 故答案为：. 15．已知函数，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】易知的定义域，关于原点对称， 又，故为奇函数， ，又均为上的增函数， 故为上的增函数，又为奇函数，故为上的增函数； 即，故． 故答案为：. 16．已知函数若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】对于函数 （i）当，则，解得，故此时不存在； （ii）当，则， 解得或，故此时的取值范围为； （iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 17．已知函数，若关于x的不等式恰有一个整数解，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】作出函数的图像，如图所示， 有，， 由，得， 当时，，不等式无解； 当时，由得，此时不可能只有一个整数解． 当时，由得， 若不等式恰有一个整数解，则整数解为， 又，，再结合图像知， 综上所述，实数a的取值范围为． 故答案为： 18．已知函数的定义域是，函数的图象的对称中心是，若对任意的，且，都有成立，，则不等式的解集为 . 【答案】 【详解】因为的图象是的图象向左平移1个单位长度得到，且函数的图象的对称中心是， 所以的图象的对称中心是，故是上的奇函数，所以， 对任意的，，且，都有成立， 所以， 令，所以根据单调性的定义可得在上单调递增， 由是上的奇函数可得是上的偶函数， 所以在上单调递减， 当时，不等式得到，矛盾； 当时，转化成即，所以； 当时，转化成，，所以， 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 19．已知，当时，实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】令，则即， 当时，，则，即， 由于时，，故，， 解得； 当时，，解得，即， 若，则，解得，则， 若，则，解得， 综合以上可得实数的取值范围为， 故答案为： 20．若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】由题意令得，，解得， 令得，，即，所以是奇函数， 当时，，且即，即是减函数， 又， 所以或. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$