精品解析：2024年河南省信阳市罗山县中考三模数学试题

2024年河南省中招第三次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数：，3.14，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 代数式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（ ） A. B. C. D. 6. 如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在的正方形网格中，已经填涂了5个小正方形，要求再填涂一个小正方形，与原来的5个小正方形组成正方体的展开图，四名同学分别填涂了A，B，C，D所在的正方形，其中错误的是（ ） A. A所在的正方形 B. B所在的正方形 C. C所在的正方形 D. D所在的正方形 8. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线过点，，，且，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. “化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（ ） A. 4 B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 因式分解：____________． 13. 如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为______． 14. 小天想要计算一组数据的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据，记这组新数据的方差为，则______．（填“”、“”或“”） 15. 如图，在直角坐标系中，第一象限内的点，都在反比例函数的图象上，横坐标分别是和，点在轴的正半轴上，满足．且，则的值是_______________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 17. 为推进特色学校创建工作，丰富学生们的体育活动，某校准备成立四个球类活动社团：A．篮球；B．乒乓球；C．足球；D．羽毛球．为了解学生对四个球类活动社团的喜爱情况，随机选取学校部分学生进行调查，要求每名学生从中选择一个最喜爱的社团．根据调查结果，绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查中，抽查的学生总数是______人，扇形统计图中m的值是______； （2）补全条形统计图； （3）现从参加羽毛球社团的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机选取两名同学参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出，使与关于原点O成中心对称； （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出； （3）连接，过点B作，垂足为点H．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 20. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 21. 广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案． 22. 在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． （1）c的值为__________，B点的坐标是__________． （2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． （3）在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 23. 综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，点E，F，G，H分别在边，，，上，且于点O．试猜想线段与的数量关系为__________； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，连接，，且，垂足为O．试写出线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点M，N分别在边，上，连接，，且，垂足为O．已知，，若点M为的三等分点，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省中招第三次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 下列各数：，3.14，中，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的识别，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数；据此进行判断即可． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无理数； 是有理数； 为无限不循环小数，属于无理数； 综上，无理数有和共2个， 故选：B． 2. 亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 根据轴对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】A.是轴对称图形，符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意； 故选A． 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：218000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 代数式化简结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通分化简，再根据分式乘除约分即可得到答案. 【详解】解：原式， 故选A； 【点睛】本题考查分式化简，解题的关键是熟练掌握分式的四则运算法则． 5. 如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，如果这个正六边形的周长是，则这个正六边形的外接圆半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；连接，相交于点，根据题意得出是等边三角形是解题关键．由正六边形的性质证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，即可解题． 【详解】解：连接，相交于点， 由正多边形性质可知，， 为等边三角形， 正六边形的周长是， ， ． 这个正六边形的外接圆半径是． 故选：C． 6. 如图．将沿过点A的直线l折叠，使点D落到边上的中点处，直线l交边于点E，连接．若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，先由平行四边形的性质和折叠的性质证明得到，再由线段中点的定义得到，根据等边对等角和三角形内角和定理证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． 7. 如图，在的正方形网格中，已经填涂了5个小正方形，要求再填涂一个小正方形，与原来的5个小正方形组成正方体的展开图，四名同学分别填涂了A，B，C，D所在的正方形，其中错误的是（ ） A. A所在的正方形 B. B所在的正方形 C. C所在的正方形 D. D所在的正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方体的展开图，正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“” 型，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“” 型，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“” 型，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“” 型，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 根据正方体展开图的11种特征， A、B属于正方体展开图的“”型；C不属于正方体展开图；图D属于正方体展开图的“”型． 【详解】解：A、A所在的正方形与原来的5个小正方形组成的图形，属于正方体展开图的“”型，故此选项不符合题意； B、B所在的正方形与原来的5个小正方形组成的图形，属于正方体展开图的“”型，故此选项不符合题意； C、C所在的正方形与原来的5个小正方形组成的图形，不属于正方体展开图，故此选项符合题意； D、D所在的正方形与原来的5个小正方形组成的图形，属于正方体展开图的“”型，故此选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查余角的性质与对顶角性质，熟练掌握余角的性质与对顶角性质是解题的关键． 延长交于点F，利用余角的性质和对顶角的性质求解即可． 【详解】如图1，延长交于点F， 则． 则与互余； 又与互余，， 所以． 故选：B． 9. 已知抛物线过点，，，且，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握抛物线的对称性和增减性，开口方向，是解决问题的关键． 根据抛物线的开口向下，对称轴是直线，得到抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就越大，由，，，知，与在对称轴两侧，可得，解此不等式即得． 【详解】∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值就越大， ∵， ∴离对称轴最近，次之，离对称轴最远， 且与在对称轴两侧， ∴对称轴在直线和之间， 即， ∴． 故选：． 10. “化积为方”是一个古老的几何学问题，即给定一个长方形，作一个和它面积相等的正方形，这也是证明勾股定理的一种思想方法．如图所示，在矩形中，以为边作正方形，在的延长线上取一点，使得，过点作交于点，过点作于点．若，则为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，证明四边形是矩形，再证明，得，则四边形是正方形，所以，而，则，所以，由，得，，，所以，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：，，， ， 四边形是矩形， 四边形是矩形，四边形是正方形， ，， 点在边上，点在边上， ， ， ， ，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得或， 若，则， 不符合题意，舍去， 故选：B． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是解答本题的关键． 13. 如图，将折叠，使点A落在边上的点F处，折痕为．已知，则四边形的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 14. 小天想要计算一组数据的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据，记这组新数据的方差为，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变．根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变， ． 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中，第一象限内的点，都在反比例函数的图象上，横坐标分别是和，点在轴的正半轴上，满足．且，则的值是_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】作AD⊥x轴，BE⊥x轴，由AC丄BC，利用各角之间的关系，先证明，然后利用全等的性质，得到二元一次方程组，即可求出答案． 【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BE⊥x轴， 设反比例函数为 ∵点A，B都在反比例函数的图象上，横坐标分别是3和1， ∴设点，， ∴点，， 点C在x轴的正半轴上，满足AC丄BC， 则设点C为（m，0）， ∴，，，； ∵AC丄BC，AD⊥x轴，BE⊥x轴， ∴，，， ∴， 在与中， ∴， ∴，， 即：， 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）； （2）2． 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，熟知0指数幂的运算法则、负指数幂运算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键． （1）根据0指数幂运算法则，负指数幂运算法则，完全平方公式及二次根式的混合运算法则，计算各部分的值，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． （2）先根据0指数幂运算法则、特殊角的三角函数值、绝对值的性质及负指数幂运算法则计算各部分的值，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 17. 为推进特色学校创建工作，丰富学生们的体育活动，某校准备成立四个球类活动社团：A．篮球；B．乒乓球；C．足球；D．羽毛球．为了解学生对四个球类活动社团的喜爱情况，随机选取学校部分学生进行调查，要求每名学生从中选择一个最喜爱的社团．根据调查结果，绘制如下两幅不完整的统计图． 请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）本次调查中，抽查的学生总数是______人，扇形统计图中m的值是______； （2）补全条形统计图； （3）现从参加羽毛球社团的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机选取两名同学参加比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）50；36 （2） 补全条形统计图如下图所示： （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，解题的关键是掌握列表或画树状图的方法求出所有的结果数． （1）由“D”有10人占被调查的可得本次调查的学生总数，由“A”有18人，本次调查的学生总数50人，求出扇形统计图中m的值； （2）求出“B”的人数，再补全条形统计图即可； （3）列树状图求出所有结果数，再用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：抽查的学生总数是人， 扇形统计图中m的值是， 故答案为：50，36； 【小问2详解】 解：选择B的学生人数为：（人）． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，一共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的情况有2种， ∴恰好选中甲和乙两名同学的概率为． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）画出，使与关于原点O成中心对称； （2）将绕原点O顺时针旋转得到，画出； （3）连接，过点B作，垂足为点H．（用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 解：如图所示； （2） 解：如图所示； （3） 解：点H即为所作． ． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）以B为锐角顶点构造直角边为3，4的，交于点H，点H即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的x的取值范围； （3）若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，图象法解不等式． （1）把坐标代入可得解析式，继而求出n，用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出的x的取值范围即可； （3）设点P坐标为，直线与x轴交于点C．令，得，得到．利用，即建立方程求出x即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． ∴反比例函数的解析式为． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴． ∵一次函数的图象过点，， ∴， ∴． ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由函数图象可得：时，即反比例函数图象在一次函数图象上方， 或． 【小问3详解】 解：设点P坐标为，直线与x轴交于点C． 令，得， ∴． ∵， ∴， ∴或． ∴点P的坐标为或． 20. 为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高为，，支架为，面板长为，为厚度忽略不计) （1）求支点C离桌面l的高度为多少？（结果保留根号） （2）当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，保护视力的效果较好．当从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）厘米 （2）7.9厘米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键． （1）过点C作于点F，过点B作于点M，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点C离桌面l的高度； （2）过点C作过点E作于点H，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端E离桌面l的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点C作于点F，过点B作于点M， ∴． 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 答：支点C离桌面l的高度为； 【小问2详解】 解：过点C作过点E作于点H， ∴． ∵， ∴， 当时，； 当时，； ∴， ∴当α从变化到的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了约． 21. 广西平陆运河北起横州市西津水电站库区平塘江口，南止于钦江出海口沙井港航道，在一航道建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方．已知5辆大型渣土运输车与2辆小型渣土运输车一次共运输土方60吨，6辆大型渣土运输车与4辆小型渣土运输车一次共运输土方80吨． （1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？ （2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与把156吨土方全部运走，若一辆大型渣土运输车耗费600元，一辆小型渣土运输车耗费400元，请你设计出最省钱的运输方案． 【答案】（1）一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨 （2）最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组，二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨，根据题意累出二元一次方程组，解方程组即可作答； （2）设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆，根据题意列不等式组求解，设总共费用为w，根据题意表示出费用，根据一次函数的性质分析，随着a的增大而增大，问题随之得解． 【小问1详解】 解：设一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨， ，解得． 即一辆大型渣土运输车一次运输吨，一辆小型渣土运输车一次运输吨； 【小问2详解】 设该渣土运输公司决定派出辆大型号的渣土运输车，则小型号的渣土运输车为辆， 根据题意有：，且为正整数， 解得，且为正整数， 设总共费用为w， 根据题意有：， ∵， ∴总共费用w，随着a的增大而增大， ∴当时，最小，且最小为：（元）， 此时最佳派车方案：大型运输车辆，小型运输车辆． 22. 在一次全国自由式滑雪比赛项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止，某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，如图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在的进水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，飞行轨迹呈抛物线形，过点B作轴于点E，且，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其关系式为． （1）c的值为__________，B点的坐标是__________． （2）进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．求x关于t的函数关系式． （3）在（2）的条件下，当：t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？ 【答案】（1）65， （2） （3）当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40 【解析】 【分析】（1）根据，得出当时，，将代入二次函数解析式，求出，即可得出B点的坐标； （2）用待定系数法求出函数解析式即可； （3）先求出直线的解析式为，表示出，根据二次函数的性质得出当时，取得最大值，此时，把代入中，解得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：， 当时，， ． 将代入二次函数解析式得： ， 点的坐标为． 故答案为：65；． 【小问2详解】 解：设关于的函数解析式是， ∵点，，在该函数图象上， ∴， 解得， 关于的函数解析式是． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 点，点在该直线上， ∴， 解得：， 直线AB的解析式为． ． 当时，取得最大值，此时． 将代入中，解得，即当为2时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是40． 【点睛】本题考查二次函数的应用，属抛物线与一次函数的综合题目，熟练掌握用待定系数法求抛物线的解析式、一次函数解析式，二次函数的图象性质是解题的关键． 23. 综合与实践 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，点E，F，G，H分别在边，，，上，且于点O．试猜想线段与的数量关系为__________； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，连接，，且，垂足为O．试写出线段与的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在四边形中，，，点M，N分别在边，上，连接，，且，垂足为O．已知，，若点M为的三等分点，直接写出线段的长． 【答案】（1）相等 （2）， 理由：过点H作交于Q，过点G作交于P， ∴， 由（1）同理可得，， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ； ∴； （3）或 ． 【解析】 【分析】（1）过点H作交于N，过点G作交于M，证明即可求解； （2）过点H作交于Q，过点G作交于P，由（1）可得，再结合相似三角形的性质可得结论； （3）如图3，过点D作于S，根据垂直的定义得到，根据已知条件得到或，根据勾股定理得到或 ，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：相等，理由如下： 过点H作交于N，过点G作交于M， ∵四边形是正方形， ∴，四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：相等； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点D作于S， ∴， ∵，， ∴， ∵点M为的三等分点，， ∴或， ∵， ∴或 ， 由（2）同理可得：， ∴ ， ∴ 或， 解得：或 ． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $