精品解析：2024年甘肃省定西市岷县九年级下学期第三次学情检测数学试题

2023-2024学年度第二学期教学质量检测九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田开平南油田，探明油气地质储量亿吨油当量．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ） 甲 乙 丙 丁 平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在反比例函数的图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 0.5 D. 2 8. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 10. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ） A. B. C. 17 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：_________． 12. 如图，一个母线长为6，底面圆半径为2的圆锥，展开后得到扇形，则扇形的面积是_______． 13. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 14. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 15. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是_______． 16. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是________． 19. 化简：． 20. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接，若，求的长度． 21. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________． （2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率． 22. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 25. 如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 26. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 27. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期教学质量检测九年级数学试卷 考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D 【点睛】此题考查了积的乘方，积的乘方等于各因数乘方的积，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键． 3. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可得． 【详解】解：由俯视图的定义得：这个几何体的俯视图为， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题关键． 4. 2024年3月8日，我国在南海珠江口盆地发现首个深水深层大油田开平南油田，探明油气地质储量亿吨油当量．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行求解即可． 【详解】解：亿用科学记数法表示为． 故选：A． 5. 第十四届全国冬季运动会已成功举办，山西某运动俱乐部赛前预备在三位短道速滑运动员中选取一名发挥优秀且稳定的运动员参赛．他们的训练成绩如下表所示，那么派出的队员应为（ ） 甲 乙 丙 丁 平均时间（s） 50.1 51.3 50.1 50.0 方差 0.9 0.9 1.3 57.8 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平均数和方差，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求出答案． 【详解】解：由表可知从平均时间看，丁的成绩最好，其次是甲与丙，乙的成绩最低， 从方差看，丁成绩波动幅度太大，甲与乙成绩最稳定， ∴结合平均时间与方差看，甲发挥优秀且稳定， 故选：A． 6. 将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 7. 在反比例函数的图象的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（ ） A. -1 B. 0 C. 0.5 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当k<0时，在各个象限内y随x的增大而增大，则1-k<0，求出k的取值范围即可． 【详解】∵y都随x的增大而增大 ∴1-k<0，解得：k>1 故选：D 【点睛】本题主要考查了反比例函数得图像和性质．当k<0时，在各个象限内y随x的增大而增大；当k>0时，在各个象限内y随x的增大而减小．熟练地掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 8. 为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可． 【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键． 9. 如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求得，在中，利用勾股定理即可求解. 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握“直角三角形斜边中线的长等于斜边的一半”是解题的关键. 10. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ） A. B. C. 17 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知时，点与点重合，得到，进而求出点从点运动到点所需的时间，进而得到点从点运动到点的时间，求出的长，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图象可知：时，点与点重合， ∴， ∴点从点运动到点所需的时间为； ∴点从点运动到点的时间为， ∴； 在中：； 故选C． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出的长，是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 12. 如图，一个母线长为6，底面圆半径为2的圆锥，展开后得到扇形，则扇形的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算和扇形面积的计算，根据扇形面积公式计算可得，熟练掌握扇形的面积公式是关键． 【详解】解：扇形的面积是． 故答案为：． 13. 若七边形的内角中有一个角为，则其余六个内角之和为________． 【答案】##800度 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式即可得． 【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为， ∴其余六个内角之和为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键． 14. 已知关于x的一元二次方程没有实数根，那么a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 15. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合图形，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，首先根据直径所对的圆周角是直角得，然后再中利用勾股定理即可求出的长，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角． 【详解】解：依题意得：为的直径， ， 在中，寸，寸， 由勾股定理得：． 的长为24寸． 故答案为：． 16. 毛主席在《七律二首•送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 _____万里． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案． 【详解】解：设地球的半径为万里， 则， 解得， ∴火星的半径为万里， ∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为万里． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键． 三、解答题：本大题共6小题，共32分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 18. 解不等式组请按下列步骤完成解答． （1）解不等式①，得________； （2）解不等式②，得________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集是________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）直接解不等式①即可解答； （2）直接解不等式①即可解答； （3）在数轴上表示出①、②的解集即可； （3）数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ． 故答案为：． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：由图可知原不等式组的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是解答本题的关键． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算括号内的减法，再计算除法即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． 20. 如图，在中，． （1）请用尺规作图法，在边上求作一点P，使（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）连接，若，求的长度． 【答案】（1） 如图所示，点P就是所求的点． （2） 【解析】 【分析】（1）根据可知点P在线段的垂直平分线上，由此只需要作出线段的垂直平分线，其与线段的交点P即为所求； （2）根据等边对等角结合三角形外角的性质得到，则，根据含30度角的直角三角形的性质得到，由此根据线段之间的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点P就是所求的点． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，推出是解题的关键． 21. 为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票． （1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是_________． （2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）画出树状图，得出总的结果数和恰好抽到景区A和景区B门票的情况，即可求解. 【小问1详解】 解：∵共有4张相同的卡片且任意抽取一张卡片，记录后放回， ∴每张卡片抽到的概率都是， 设小明恰好抽到景区A门票为事件，则, 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： ∴一共有16种等可能的情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种， ∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为； 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 22. 年月日点分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面处发射，当飞船到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角为；后飞船到达处，此时测得仰角为． （1）求点离地面的高度； （2）求飞船从处到处的平均速度．(结果精确到，参考数据：) 【答案】（1） （2）飞船从处到处的平均速度约为 【解析】 【分析】（1）根据含度角的直角三角形的性质即可得到结论； （2）在中，根据直角三角形的性质得到，在中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 【小问2详解】 在中，，，， ， 在中，，， ， ， ， 飞船从处到处的平均速度． 【点睛】本题考查了解直角三角形-俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】（1）7.5； （2）解：甲公司，理由如下： ∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司； （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可； （2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可； （3）根据题意求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，， ， ∴， 故答案为：7.5；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．（，，为常数） （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图像直接写出不等式的解集； （3）为轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或， （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出函数解析式； （2）根据图像位置关系即可得解； （3）设，当点P在直线下方时，画出图形，根据关系列方程，然后解方程即可得解，同理，当点P在直线上方时，画出图形，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将点代入得， ∴， 将点、分别代入得， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 根据图像可知，当时，直线在反比例函数图像的上方，满足， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 如图过点作轴平行线与交于点，分别过点，作直线垂线，垂足分别为点、， 设，则， ∴， 则， ， ， ， ， ∵的面积为， ∴， ∴， 即点的坐标为． 如图，过作轴于点，过作轴于点，设， 由（1）得：，， ∴，， ∴，，， 则 ， ， ∴， 即点的坐标为， 综上所述：或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合、待定系数法求函数解析式、利用图像解不等式、坐标与图形等知识，掌握反比例函数与一次函数图像与性质是解题关键． 25. 如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，，如图所示， ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线． （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线． （2）根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示， 由（1）得，， ， ， ． ， ． 设则， 在中，， ． 在中，． ， ， ． ． ， ． ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度． 26. 数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有角的三角尺放在正方形中，使角的顶点始终与正方形的顶点重合，绕点旋转三角尺时，角的两边，始终与正方形的边，所在直线分别相交于点，，连接，可得． 【探究一】如图②，把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上．求证：； 【探究二】在图②中，连接，分别交，于点，．求证：； 【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线与三角尺角两边，分别交于点，．连接交于点，求的值． 【答案】[探究一]证明：∵把绕点C逆时针旋转得到，同时得到点在直线上， ∴， ∴， ∴， 在与中 ∴ ∴ [探究二]证明：如图所示， ∵四边形是正方形， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵公共角， ∴； [探究三] 【解析】 【分析】[探究一]证明，即可得证； [探究二]根据正方形的性质证明，根据三角形内角和得出，加上公共角，进而即可证明 [探究三]先证明，得出，，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上．得出，根据全等三角形的性质得出，进而可得，证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出结论． 【详解】[探究一]略 [探究二]略 [探究三] 证明：∵是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，则点在直线上． ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 27. 如图，抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标； （3）若点是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平面内一点，是否存在以为边，点为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为， （3）存在，或或， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果； （3）分两种情况进行分析：若为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设直线的解析式为，将点B、C代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大面积为， ， ∴ 【小问3详解】 存在，或或，，证明如下： ∵， ∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为：， 设点， 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 若为菱形的边长，菱形， 则，即， 解得：，， ∵， ∴， ∴，； 综上可得： 或或，． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题及特殊四边形问题，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $