精品解析：云南师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题

数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为等差数列的前n项和，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 1080的不同正因子有（ ）个 A. 12 B. 16 C. 20 D. 32 6. 定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1的正方体中，P在侧面（含边界）上运动，Q在底面（含边界）上运动，则下列说法不正确的是（ ） A. 若直线与直线所成角为，则P点的轨迹为椭圆的一部分 B. 若过点Q作体对角线的垂线，垂足为H，满足，则点Q的轨迹为双曲线的一部分 C. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D. 若点P满足，则点P的轨迹为线段 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数满足（i是虚数单位），以下命题正确的是（ ） A. B. 虚部为i C. 复平面上对应的点在第二象限 D. 复数是方程的一个根 10. 已知函数是奇函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，得到的图象．若曲线的两条相邻对称轴之间的距离为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 若，则在区间上的最大值为 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为 B. C. 若，则 D. 若，则内切圆的半径为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲乙两名射击运动员进行射击训练．已知两名运动员射击的弹落点相对于靶心的左右偏差，都近似服从正态分布，，．如图为，的密度曲线，则甲乙二人中，成绩更稳定的是________． 13. 已知数列满足：，，，则的前n项积的最大值为________． 14. 已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员在一批产品中随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （1）求这组样本数据上四分位数； （2）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为优秀品，以频率估计概率．在这批产品中随机抽取5件产品，随机变量X表示：抽得的产品为优秀产品的个数，求X的分布列与数学期望． 16. 已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． （1）求抛物线C的方程； （2）若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 17. 已知等比数列的前n项和，其中λ为常数． （1）求λ的值； （2）设，求数列的前n项和． 18. 如图，已知四边形为矩形，，，E为的中点，将沿进行翻折，使点D与点P重合，且． （1）证明：； （2）设，的延长线交于点N，则线段上是否存在点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为． 19. 帕德近似是利用分式有理函数逼近任意函数的一种方法，定义分式函数为的阶帕德逼近，其分子是m次多项式，分母是n次多项式，且满足，，，…，时，为在处的帕德逼近． （1）求函数在处阶帕德逼近； （2）已知函数． ①讨论的单调性； ②若有3个不同零点，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用解一元二次不等式及求指数函数值域将集合进行化简后再判断交集. 【详解】依题意，，，故，故选C． 2. 已知为等差数列的前n项和，，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列性质，若，则. 【详解】在等差数列中，，．又，，故选D． 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：B． 4. 已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点A为圆心，半径为2作圆，根据点既在圆上，也在圆上，根据两圆有公共点的条件列不等式即可求的取值范围. 【详解】由，则点P在圆上， 又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)， 两圆半径分别为2、1， 所以， 所以. 故选：A． 5. 1080的不同正因子有（ ）个 A. 12 B. 16 C. 20 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，然后将问题可以转化成分步计数问题. 【详解】，1080的正因子可写为，其中k，，， 故根据分步计数原理可得1080的不同正因子可共有个， 故选:D． 6. 定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求得周期，再根据代入求解即可. 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，可得． 又因为，则， 所以，可得， 则，即， 所以. 故选：B． 7. 已知O为的内心，角A为锐角，，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先得到点O是内心的充要条件是：，其中，，，从而得到，求出，利用余弦定理得到，求出，由基本不等式求出最大值，得到答案； 方法二：作出辅助线，得到，得到方程组，得到，作出内切圆，根据，求出，设出内切圆半径，故，由图知，从而求出. 【详解】方法一：点O是内心的充要条件是：，其中，，， 理由如下：若，则， 整理得， 所以，即点在的角平分线上， 同理可证，点在，的角平分线上，即点为的内心. 故， 故． 因为角A为锐角，， 所以．由定理得到， 故． 又因为（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 故， 方法二：如图，延长，交于点D， 设，即，故， 设， 则， ， 作的内切圆与边切于点E，与切于点F， 设圆O半径为r， 且A为锐角， ， 故，解得或（舍去）， 故， 又，解得，负值舍去， ，即，由图知， . 故选：C． 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 8. 在棱长为1的正方体中，P在侧面（含边界）上运动，Q在底面（含边界）上运动，则下列说法不正确的是（ ） A. 若直线与直线所成角为，则P点的轨迹为椭圆的一部分 B. 若过点Q作体对角线的垂线，垂足为H，满足，则点Q的轨迹为双曲线的一部分 C. 若点P到直线的距离与点P到平面的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分 D. 若点P满足，则点P的轨迹为线段 【答案】B 【解析】 【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，得到，的坐标，通过直线与直线所成角为，得到的方程，即可判断A；设，由，通过向量运算可得，即可判断B；设点P到平面的距离为n，又点P到直线的距离为，两者相等，可得，即可判断C；由，即，通过向量运算可得，即可判断D. 【详解】 依题意，以A为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，假设， 则，，, 所以， 即，,故A正确； 设，，，， 为向量在向量上投影的长度，故， 由勾股定理，， 由得，，故B错误； 由条件得，点P到直线的距离为， 设点P到平面距离为n， 由，化简得，故C正确； ，，可得， ，由， 化简得，故D正确. 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数满足（i是虚数单位），以下命题正确的是（ ） A. B. 的虚部为i C. 复平面上对应的点在第二象限 D. 复数是方程的一个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由求出复数，然后逐个分析判断即可. 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为1，故B错误； 对于C，对应的点在第二象限，故C正确； 对于D，因为， 所以复数是方程一个根，故D正确， 故选：ACD． 10. 已知函数是奇函数，将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位长度，得到的图象．若曲线的两条相邻对称轴之间的距离为，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 的图象关于点对称 D. 若，则在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用三角函数的性质求出和的关系，进一步利用三角函数的性质求出结果. 【详解】由于函数是奇函数， 所以， 由于将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 再将图象向右平移个单位长度，得到的图象， 则， 对于A，因为曲线的两条相邻对称轴之间的距离为， 故，解得，故A正确； 所以函数， 则或， 或； 对于B，令， 解得， 所以当时，的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令，解得， 所以当时，所以的图象关于点对称，故C不正确； 对于D，当时，或， 所以，， 当，时，， 所以在上单调递增， 故函数的最大值为； 当，时，， 所以在上单调递减，故函数的最大值为，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. 双曲线C渐近线方程为 B. C. 若，则 D. 若，则内切圆的半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过双曲线第一定义、第二定义以及结合直角三角形及内切相关知识分析问题.A选项中运用用了双曲线C的渐近线方程为；B选项中由双曲线的第二定义可得：；C选项中由双曲线第一定义和直角三角形边长关系可进行计算；D选项中内切圆结合切线知识可得. 【详解】对于A，双曲线中，实半轴长，虚半轴长，半焦距，焦点，，双曲线C的渐近线方程为，A正确； 对于B，由于点A，B在双曲线的右支上，设直线的倾斜角为，则由双曲线的第二定义可得：，当时，，B错误； 对于C，由双曲线定义知，而，且，则， 即有，因此，C正确； 对于D，由双曲线定义知，因为，设内切圆的半径r，则由圆的切线性质知： ，D正确， 故选：ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 甲乙两名射击运动员进行射击训练．已知两名运动员射击的弹落点相对于靶心的左右偏差，都近似服从正态分布，，．如图为，的密度曲线，则甲乙二人中，成绩更稳定的是________． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据正态分布的图象特征得到，得到乙成绩更稳定. 【详解】由图知：，所以乙的成绩更稳定． 故答案为：乙 13. 已知数列满足：，，，则的前n项积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据递推公式，得到，数列是以3为周期的数列，再分类讨论当，时，当，时，当，时，的前n项积，从而得到最大值. 【详解】，，两式作差得：， 数列是以3为周期的数列，又，，， 设数列的前n项积为，， 则当，时，则； 当，时，则； 当，时，则 数列的前n项积的最大值为． 故答案为：. 14. 已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则a的取值范围是________． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】设出直线与函数的切点，利用，可求得切点坐标，再利用切点在直线上即可求得的值，继而列出方程组可求得的值；设出直线与两个函数的切点，利用条件列出方程组，整理后得，构造函数，利用导数考查单调性，即可求得的范围. 【详解】设直线与函数的切点为， 由，所以， 解得，所以切点为， 所以，解得，即切线方程为． 设直线与函数的切点为， 则，解得， 即，所以； 设切线方程l为，且l与的切点为， l与的切点为， 则，， 整理可得，， 所以， 整理可得， 设， 则 . 设，则， 所以在上为增函数，又因为， 所以在上，即，所以单调递减； 在上，即，所以单调递增， 所以， 即，解得． 故答案为：;. 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率，即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点 (不是切点) 求切点，设出切点利用求解． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员在一批产品中随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． （1）求这组样本数据的上四分位数； （2）当配件的质量指标值不小于80分时，配件为优秀品，以频率估计概率．在这批产品中随机抽取5件产品，随机变量X表示：抽得的产品为优秀产品的个数，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1）85 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得，再根据上四分位数的定义分析求解； （2）根据题意分析可得，结合二项分布求期望和分布列. 【小问1详解】 由题知：，解得； 设x为样本数据的上四分位数，则：， 解得，故这组样本数据的上四分位数为85． 【小问2详解】 设p表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取产品为优秀品的概率， 由题知：． 随机变量， 随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，4，5， ，， ，， ，． 故随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 随机变量X的期望. 16. 已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． （1）求抛物线C的方程； （2）若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合可求出的值，从而可求出抛物线方程； （2）由（1）知，，而，化简后可求出其最小值. 【小问1详解】 由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立抛物线的方程得：， 恒成立， 设，，所以，． 又， 即，所以，即， 所以抛物线C的方程为． 【小问2详解】 由（1）知：，，， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为10． 17. 已知等比数列的前n项和，其中λ为常数． （1）求λ的值； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由求出，根据通项公式求得， （2）先由第一问求出，这个新数列由等比数列、等差数列及常数数列组合而成，则进行分组求和. 【小问1详解】 ，当时，； 当时，， ． 数列是等比数列，对也成立， ，即． 【小问2详解】 由（1）知：， ， 令， ． 18. 如图，已知四边形为矩形，，，E为的中点，将沿进行翻折，使点D与点P重合，且． （1）证明：； （2）设，的延长线交于点N，则线段上是否存在点Q，使得平面与平面所成角的余弦值为． 【答案】（1）证明见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，取的中点M，连接，，由余弦定理可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而证明线线垂直； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及面面角的向量公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 证明：如图2，取的中点M，连接，， 由题意且，可得，且， 由余弦定理可得， ，． 由，，平面，可得平面． 又平面，． 又，由，、平面， 平面，又平面，． 【小问2详解】 如图3，以B为原点，，，过点B且与垂直的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，． 设， ． 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得． 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 可得， 即，， 两边同时平方，经整理化简可得， 解得或． 19. 帕德近似是利用分式有理函数逼近任意函数的一种方法，定义分式函数为的阶帕德逼近，其分子是m次多项式，分母是n次多项式，且满足，，，…，时，为在处的帕德逼近． （1）求函数在处的阶帕德逼近； （2）已知函数． ①讨论的单调性； ②若有3个不同零点，，，证明：． 【答案】（1） （2）①当时，在上单调递增；当时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意设，然后由，，可求出，从而可求出； （2）①对求导后，然后分，和三种情况讨论的正负，从而可求出的单调区间；②当时，在上单调递增，则存在唯一零点，不合题意；当时，可证得的极大值，极小值，则由零点存在性定理，有3个不同零点，，，且，要证，即证，转化为时，，构造函数，利用导数可证得，再由即可得结论. 【小问1详解】 解：设， ，， ，，． ，， ，，． ，，， ． 【小问2详解】 ①解：． 当时，令，，对称轴，，恒成立， 在上递增； 当时，，，在上单调递增； 当时，，令，解得，，且， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； ②证明：，，，． 当时，在上单调递增，则存在唯一零点，不合题意； 当时，，所以， 极大值， 欲证，可证． 令，， 则， 在上单调递减，，即， 同理可得，极小值． 由零点存在性定理，有3个不同零点，，，且， 要证：，即证． 由（1）得，当时，． 下证：时，， 令，， ，， ，所以． 由，， 即，，， 又有， 所以，故． 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求解函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，第（2）②问解题的关键是构造，，利用导数可证得，再由，将问题转化为，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$