精品解析：广东省湛江市某校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

高二数学 一、选择题（每题5分共60分） 1. 若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 2. 设命题：存在，使得，则为（ ） A. 对于任意，使得 B. 存在，使 C. 对于任意，使得 D. 存在，使 3. 给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 7. 在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）. ①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 10. 在中，角、、对应的边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 12. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 100 二、填空题（每题5分共20分） 13. 若、满足约束条件，则的最大值为_____________． 14. 若向量、满足＝1，＝2，且与的夹角为，则＝_________. 15. 已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为______． 16. 已知，非空集合.若是的必要条件，则实数m的取值范围为______. 三、解答题（共70分） 17. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 18. 命题：方程有两个不相等的正实根，命题：方程无实根，若“或”为真命题，“且”为假命题，求的取值范围． 19. 的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求角； （2）若，，求的周长. 20. 在正四棱柱中，，为棱中点． （1）证明平面． （2）求二面角的正弦值． 21. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式． （2）设，求的前项和． 22. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． （1）求到平面的距离． （2）与平面平行吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题（每题5分共60分） 1. 若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，结合对数函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】由＜＜0，可知b＜a＜0. ①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确； ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； ③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故③正确； ④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0， 而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误. 由以上分析，知①③正确. 故选：. 【点睛】本题考查利用不等式的基本性质比较代数式的大小，涉及对数函数的单调性，属综合基础题. 2. 设命题：存在，使得，则为（ ） A. 对于任意，使得 B. 存在，使 C. 对于任意，使得 D. 存在，使 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定写出结论并判断得解. 【详解】命题：存在，使得是存在性量词命题，其否定是全称量词命题， 所以：对于任意，使得. 故选：C 3. 给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题. 故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C． 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B 【解析】 【详解】设塔顶有盏灯，由题意是公比为2的等比数列， ∴，解得. 5. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原不等式转化为或，再由二次不等式和一次不等式的解法，即可得到解集． 【详解】不等式化为，即有0， 于是或，解得或， 所以原不等式的解集为. 故选：B 6. 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为在条件中，△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 故角C为钝角，故△ABC是钝角三角形，选A． 考点：余弦定理的运用． 点评：解决该试题的关键是利用余弦定理来得到角A，以及边的关系式，进而判定形状，属于基础题． 7. 在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）. ①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的基底的概念，逐个判断可得答案. 【详解】①正确，作为基底的向量必须不共面； ②正确； ③错误，因为，，共面，所以不能构成基底. 故只有①②正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了空间向量的基底的概念，属于基础题. 8. 在数列中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式列出数列的前几项，找到规律，即可判断. 【详解】因为且， 所以，， ，，，， 所以是以为周期的周期数列，所以. 故选：C 9. 已知直线和平面，且，的方向向量为，平面的一个法向量为，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法解决线面平行，得到，再利用代换1法，来求最小值. 【详解】由得：， 所以 因为，所以， 所以，当且仅当等号成立， 故选：A. 10. 在中，角、、对应的边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理. 故选：A 11. 直线的方向向量与共线，平面的一个法向量为，则直线和平面的夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量求出直线与平面夹角的正弦即可. 【详解】设直线和平面的夹角为，则， 所以直线和平面的夹角的余弦值是. 故选：B 12. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 二、填空题（每题5分共20分） 13. 若、满足约束条件，则的最大值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点的坐标代入目标函数解析式，求得最大值. 【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示： 由，可得， 画出直线，将其上下移动， 结合的几何意义，可知当直线在轴截距最大时，取得最大值， 由，解得，此时. 14. 若向量、满足＝1，＝2，且与的夹角为，则＝_________. 【答案】 【解析】 【分析】由夹角为，利用平面向量数量积公式，求得平方的值，从而可得结果. 【详解】夹角为， 所以 所以，故答案为. . 15. 已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形的中位线得到平行关系，将异面直线和所成的角转化为相交直线所成的角，再求解即可. 【详解】连接，，交点即为正方形的中心，连接， 在中，分别为的中点， 则，又，所以即为直线和直线所成的角， 在中，，所以，即和所成角大小为. 故答案为：. 16. 已知，非空集合.若是的必要条件，则实数m的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可得集合，采用等价转化的思想，可得，简单计算，可得结果. 【详解】由 所以，则 又是的必要条件，所以 由，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据充分、必要条件求参，掌握从集合的角度看待充分、必要的问题，本题关键在于，化繁为简，属基础题. 三、解答题（共70分） 17. 已知点，，，设，，． （1）若实数使与垂直，求值． （2）求在上的投影向量． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得. （2）利用投影向量的定义求解即得. 【小问1详解】 依题意，，， 由与垂直，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以在上的投影向量为. 18. 命题：方程有两个不相等的正实根，命题：方程无实根，若“或”为真命题，“且”为假命题，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、一个为真命题、一个为假命题，分两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后再取并集. 【详解】若命题：方程有两个不相等的正实根为真命题， 则，解得； 若命题：方程无实根为真命题， 则，解得； 又“或”为真命题，“且”为假命题，所以、一个为真命题、一个为假命题； 若真、假，则，解得； 若假、真，则，解得； 综上可得. 19. 的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求角； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 【小问1详解】 由已知可得 【小问2详解】 又 ， 的周长为 【点睛】考点：正余弦定理解三角形. 20. 在正四棱柱中，，为棱中点． （1）证明平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 因为是正四棱柱，所以侧面， 而平面，所以 又，，平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正四棱柱的性质，得到侧面，利用线面垂直的性质可以证明出，结合，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，则，，设，则， 所以，， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 则，，， 设是平面的法向量， 所以取， 设是平面的法向量， 所以取， 设二面角为，则， 所以二面角的正弦值为. 21. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式． （2）设，求的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合求出数列的通项. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 数列中，，，当时，， 两式相减得，整理得， 而，因此，又，即，解得， 因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，令数列的前项和为， ， 于是， 两式相减得， 所以. 22. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． （1）求到平面的距离． （2）与平面平行吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 由（1）知，，而平面的法向量为 由，得与不垂直， 所以与平面不平行. 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解. （2）由（1）中坐标系，求出，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【小问1详解】 显然直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，同理，即四边形为平行四边形，有， 即，解得，即，则， 设平面的法向量，则，取，得， 而，则点到平面的距离为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $