精品解析：2024年河南省周口市郸城县考前热身联考三模数学试题

2024年河南省普通高中招生考试 考场热身卷·数学（一） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 绝对值是的数是（ ） A. B. C. D. 2. 锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为152pm，已知．则锂的原子直径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一个三棱柱沿三条棱的中点切割掉一部分后的立体图，则该立体图的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于矩形的性质，以下说法正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 有一组邻边相等 7. 若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列函数图象不过第一象限的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，边在x轴上，边在y轴上，且点，．将先沿x轴向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，延长交x轴于点C，则点C的横坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，平行四边形中，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的周长y随时间变化的关系图象，则平行四边形的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式有意义时，字母x的取值范围是______． 12. 某地中考体育加试球类测试有篮球（类）、足球（类）、排球（类）三类，每人可以自由选取其中一项进行测试，则小明和小红恰好选取同一球类进行测试的概率是________． 13. 不等式组的最小整数解是________． 14. 如图，在中，，，，点D是的中点，将绕点D顺时针旋转得到，连接，，，则的周长为________． 15. 如图，等边三角形的边长为10，点D，E分别是，上的动点，沿所在的直线折叠，使点C的对应点落在边上，若点把线段分成的两部分，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简；． 17. 某校组织社团活动，准备开展兴趣小组，在自愿参加社团活动的学生里面随机抽取若干名进行了问卷调查（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 社团课——你喜欢哪一项？（单选） ．武术 ．健美操 ．阅读 ．民族乐器 ．其他 调查结果条形统计图 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有_________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，扇形的圆心角度数为_________； （4）如果全校参加社团活动的学生有人，且社团课的喜欢比率超过时才开课，请估计有多少同学能参加自己喜欢的延时课． 18. 数学兴趣小组的同学对一居民楼的高度进行测量，如图所示．居民楼正南方有一幢综合楼，数学兴趣小组的同学在综合楼顶部D处观察居民楼顶部A的仰角为，居民楼底部B的俯角为，已知居民楼和综合楼之间的水平距离为16米（图中A，B，C，D在同一平面内）． （1）求居民楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，）； （2）测量计算后，小明提出异议，说测量时忽略了人的身高，所以本次求得的居民楼的高度不准确．请你判断小明的说法是否正确，并给出理由．为了使测量结果更加准确，请你对本次测量活动提出合理可行的建议． 19. 如图，是半圆O的直径，是半圆O的切线，点C是上不与点A，B重合的任意一点，连接，点E是的中点，连接并延长交于点D，交于点F． （1）求证：； （2）填空： ①若，，则_________； ②连接，当__________时，四边形是正方形． 20. 某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示． 甲 乙 进价（元/千克） a b 售价（元/千克） 20 22 若该超市第一次购进30千克甲种水果和40千克乙种水果共花费1090元，第二次购进50千克甲种水果和50千克乙种水果共花费1550元． （1）求a，b的值； （2）若不考虑损耗，该超市两次购进的水果均售罄，则两次一共赚了多少钱？ （3）若该超市第三次购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 21. 如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 22. 小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，等边三角形中，，点D为边上一动点（不与两端点重合），连接，E为边上一点，和交于点P，且满足． 小亮尝试结合学习函数的经验对线段的长度之间的关系进行了探究，请将下面的探究过程补充完整： （1）和的数量关系是 ； （2）根据点D在上的不同位置，画出相应图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 6.5 7.0 7.5 7.5 7.0 6.4 5.9 5.0 5.0 5.9 6.4 7.0 7.5 ①表格中的________（精确到0.1，）； ②将线段的长度作为自变量x，的长度为x的函数，记为，请在平面直角坐标系中描出表格中的点，并绘制函数的图象； （3）观察图象，请写出函数的两条性质； （4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合函数图象直接写出：当时，线段长度的近似值（精确到0.1）． 23. （1）问题发现 如图1，在等边三角形中，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等边三角形，连接．填空： ①的值为________； ②的度数为________． （2）类比探究 如图2，在等腰直角三角形中，，，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等腰直角三角形，，连接．请判断的值与的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，在正方形和正方形中，，点E在对角线上，请直接写出面积的最大值及此时线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省普通高中招生考试 考场热身卷·数学（一） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 绝对值是的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值的定义：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值．理解绝对值的定义是解题的关键． 【详解】根据绝对值的定义可知，和的绝对值都是． 故选择：C 2. 锂是一种银白色、质较软、密度最小的金属．锂的原子半径为152pm，已知．则锂的原子直径用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数整数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，本题考查用科学记数法表示较小的数，解题的关键是：注意直径和半径的区别． 【详解】解：由题意可得：， 直径为：， 故选：B． 3. 如图是一个三棱柱沿三条棱的中点切割掉一部分后的立体图，则该立体图的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据图形的摆放位置，判断俯视角度，进而可以判断出俯视图． 【详解】解：该立体图的俯视图可能是 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键．由同底数幂相乘、积的乘方、幂的乘方、完全平方公式、同底数幂相除的运算法则，分别进行计算和判断，即可得到答案． 【详解】解： A、，故A选项不正确，不符合题意； B、，故B选项不正确，不符合题意； C、，故C选项不正确，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 如图，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，熟练掌握相关定理即可解题． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：B． 6. 关于矩形的性质，以下说法正确的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 有一组邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的性质：四条边不一定相等，故该选项是错误的； B、矩形的性质：对角线相等，故该选项是正确的； C、矩形的性质：对角线不一定互相垂直，故该选项是错误的； D、矩形的性质：一组邻边不一定相等，故该选项是错误的； 故选：B． 7. 若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 时，方程无实数根，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案． 【详解】原方程可变形为， 方程有实数根， ， 故选：B 8. 下列函数图象不过第一象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数和二次函数的性质，根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】A.是一次函数，，，图象过一、二、三象限； B.是反比例函数，，图象的两个分支位于第一、三象限； C.是一次函数，，，图象过二、三、四象限； D.是二次函数，，图象必过一、二象限． 故选：C． 9. 如图，在中，，边在x轴上，边在y轴上，且点，．将先沿x轴向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到，延长交x轴于点C，则点C的横坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，平移的性质，勾股定理等知识． 由勾股定理求出，，延长与x轴交于点D，证明，由相似三角形的性质可得出，由平移的性质可得出，，，即可得出，进一步即可求出，即可得出点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴ ∴． 如图，延长与x轴交于点D， 由题意可得： ∴， ∴， 由平移的性质可得出，，， ∴， 解得：， ∴， ∴点C的横坐标为． 故选：A． 10. 如图1，平行四边形中，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点B，图2是点P运动时，的周长y随时间变化的关系图象，则平行四边形的面积为（ ） A. 8 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，先根据图2得出，，根据直角三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：由运动规律及题图2可知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式有意义时，字母x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．根据题意可得，，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：，， 且， 即自变量x的取值范围是且． 12. 某地中考体育加试球类测试有篮球（类）、足球（类）、排球（类）三类，每人可以自由选取其中一项进行测试，则小明和小红恰好选取同一球类进行测试的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率，概率公式计算是本题解题的关键．列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 小明/小红 篮球（类） 足球（类） 排球（类） 篮球（类） 足球（类） 排球（类） 由上表可知，共有种等可能结果，其中小明和小红恰好选取同一球类进行测试的有种结果，所以小明和小红恰好选取同一球类进行测试的概率为：， 故答案为： 13. 不等式组的最小整数解是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则，求出不等式组的解集是解题的关键．求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出最小整数解． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得， 不等式组的解集为， 最小整数解是2． 故答案为：2． 14. 如图，在中，，，，点D是的中点，将绕点D顺时针旋转得到，连接，，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，根据旋转性质，证明是等边三角形，灵活运用勾股定理，解直角三角形是解题的关键．根据旋转性质，得到，，故是等边三角形，在中，解直角三角形得到，再利用勾股定理，即可求得的周长． 【详解】解：由旋转的性质可知． ∵旋转角是， ∴ ， ∴是等边三角形． ∵，，， ∴． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 15. 如图，等边三角形的边长为10，点D，E分别是，上的动点，沿所在的直线折叠，使点C的对应点落在边上，若点把线段分成的两部分，则线段的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是翻折的性质、等边三角形的性质，以及相似三角形性质和判定，根据点把线段分成的两部分，分以下两种情况讨论，：①当时，，．设，，则，．利用等边三角形的性质和折叠的性质得到，根据相似的性质建立等式求解，即可解题，②当时，则，．解题方法与①类似． 【详解】解：等边三角形的边长为10，， ，， ， 分情况讨论：①当时，，． 设，，则，． 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ，解得； ②当时，则，． 设，，则，． 由①同理可证证， ， ， 解得． 综上，的长为或． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简；． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）首先计算负整数指数幂，零指数幂，化简二次根式，然后计算加减； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 某校组织社团活动，准备开展兴趣小组，在自愿参加社团活动的学生里面随机抽取若干名进行了问卷调查（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图． 社团课——你喜欢哪一项？（单选） ．武术 ．健美操 ．阅读 ．民族乐器 ．其他 调查结果条形统计图 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查的学生共有_________人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，扇形的圆心角度数为_________； （4）如果全校参加社团活动的学生有人，且社团课的喜欢比率超过时才开课，请估计有多少同学能参加自己喜欢的延时课． 【答案】（1） （2） 补全的条形统计图如图： （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图和利用样本估计总体，解题的关键是数形结合． （1）用选项的人数除以其百分比即可； （2）求出选项的人数，再补全统计图即可； （3）用乘以选项的占比即可； （4）用乘以接受调查的学生人数中喜欢比率超过的占比即可求解． 【小问1详解】 解：本次接受调查的学生共有（人）． 故答案为：； 【小问2详解】 选项的人数为（人）， 【小问3详解】 扇形统计图中，扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 【小问4详解】 由题意可知，占比超过（即人以上）的社团课有，，， 估计能参加自己喜欢的社团课的同学约有（人）． 18. 数学兴趣小组的同学对一居民楼的高度进行测量，如图所示．居民楼正南方有一幢综合楼，数学兴趣小组的同学在综合楼顶部D处观察居民楼顶部A的仰角为，居民楼底部B的俯角为，已知居民楼和综合楼之间的水平距离为16米（图中A，B，C，D在同一平面内）． （1）求居民楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，）； （2）测量计算后，小明提出异议，说测量时忽略了人的身高，所以本次求得的居民楼的高度不准确．请你判断小明的说法是否正确，并给出理由．为了使测量结果更加准确，请你对本次测量活动提出合理可行的建议． 【答案】（1）居民楼的高度约为31米 （2） 解：小明的说法不正确． ∵在点处只测量俯角和仰角，计算时并不涉及的高度（或人的身高）， ∴计算的高度时，不受身高的影响，故小明的说法不正确． 合理可行的建议如下： ①邀请指导老师对实践方案进行优化指导； ②适当选取精密仪器测量数据； ③多次测量数据求平均值； ④有条件的可以采取多种方案测量计算，并比较其优劣．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）过作于点，分别在和中，解直角三角形求出的长，由此即可得； （2）在点处只测量俯角和仰角，计算时并不涉及的高度（或人的身高），据此提出合理建议即可． 【小问1详解】 解：如图，过作于点，则米， 在中，∵， ∴米． 在中，∵米，， ∴米， ∴米． 答：居民楼的高度约为31米． 【小问2详解】 略 19. 如图，是半圆O的直径，是半圆O的切线，点C是上不与点A，B重合的任意一点，连接，点E是的中点，连接并延长交于点D，交于点F． （1）求证：； （2）填空： ①若，，则_________； ②连接，当__________时，四边形是正方形． 【答案】（1）证明：∵是半圆O 的直径， ∴． ∵是半圆O 的切线， ∴． ∵ 点E 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①；②45° 【解析】 【分析】（1）先分别证明，，再由垂径定理得到，进而推出，即可证明； （2）①由勾股定理得，由垂径定理可得，利用相似三角形的性质即可得到；②当时，四边形是正方形， 先证明，得到是等腰直角三角形，则，再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，由勾股定理得， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：； ②当时，四边形是正方形，理由如下： ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，直径所对的圆周角是直角，正方形的判定，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，切线的性质，勾股定理等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 20. 某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲种水果和乙种水果的进价与售价如下表所示． 甲 乙 进价（元/千克） a b 售价（元/千克） 20 22 若该超市第一次购进30千克甲种水果和40千克乙种水果共花费1090元，第二次购进50千克甲种水果和50千克乙种水果共花费1550元． （1）求a，b的值； （2）若不考虑损耗，该超市两次购进的水果均售罄，则两次一共赚了多少钱？ （3）若该超市第三次购进这两种水果共300千克，其中甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）两次一共赚了940元 （3）购进甲种水果225千克，乙种水果75千克时，能获得最大利润，最大利润是1575元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，列方程组和函数表达式； （1）根据两次购进的甲和乙的总花费，列方程组并求解即可； （2）由利润售价进价求解即可； （3）根据题意求得函数表达式，再根据不等式关系求出自变量的范围，再根据一次函数的增减性求解即可； 【小问1详解】 解：由题意得， ，解得； 【小问2详解】 （元）， ∴该超市两次一共赚了940元． 【小问3详解】 设购进甲种水果m千克，则购进乙种水果克，利润为w， 由题意可知，， ∵甲种水果的质量不低于乙种水果质量的3倍， ∴， 解得， ， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w有最大值，最大值为（元）， ∴购进甲种水果225千克，乙种水果75千克时，能获得最大利润，最大利润是1575元． 21. 如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围； （3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点，三种情况讨论求解即可； （3）根据对称性可知，连接交对称轴于点P，此时的周长最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点A，C的坐标代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 将点A，C的坐标代入直线的解析式，得， 解得 ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：①当点D在线段上时， ∵点A和点C的水平距离是3，且与抛物线只有一个交点， ∴； ②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点； ③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴点D的纵坐标为， 在中，当时，， ∴此时． 综上所述，或． 【小问3详解】 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴连接交对称轴于点P，此时的周长最小， 将代入，得， ∴点P的坐标为． 22. 小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，等边三角形中，，点D为边上一动点（不与两端点重合），连接，E为边上一点，和交于点P，且满足． 小亮尝试结合学习函数的经验对线段的长度之间的关系进行了探究，请将下面的探究过程补充完整： （1）和的数量关系是 ； （2）根据点D在上的不同位置，画出相应图形，测量线段的长度，得到下表的几组对应值． 0.5 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 6.5 7.0 7.5 7.5 7.0 6.4 5.9 5.0 5.0 5.9 6.4 7.0 7.5 ①表格中的________（精确到0.1，）； ②将线段的长度作为自变量x，的长度为x的函数，记为，请在平面直角坐标系中描出表格中的点，并绘制函数的图象； （3）观察图象，请写出函数的两条性质； （4）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合函数图象直接写出：当时，线段长度的近似值（精确到0.1）． 【答案】（1） （2）①； ②如图1所示. （3） 解：由函数图象可得， ①此函数图象关于直线对称; ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大； ③当时，函数有最小值. (答案不唯一) （4）（答案不唯一，左右） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形，函数图象的绘制和分析，熟练掌握相关性质和判定，函数图象的画法，根据函数图象进行分析是解题的关键． （1）证明，即可得到； （2）①当时，可得点为中点，点为中点，根据三线合一，得到，，，在中，，即可求解；② 利用描点法，先描点，再用平滑的曲线连接各点，即可画出函数的图象； （3）结合函数图象，分析可得函数性质，①此函数图象关于直线对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大；③当时，函数有最小值．(答案不唯一) （4）当时，得到，即是求两个函数图象交点的纵坐标，画出函数图象，由图象可得（答案不唯一，左右）． 【小问1详解】 解： 为等边三角形， ，， 又 ， ， ， ． 【小问2详解】 解：① 当时，即点为中点， ， 点为中点，如图所示， 为等边三角形，点为中点，点为中点， ，，，， ，，， ， ， 在中，， ． ． ② 先描点，再用平滑的曲线连接各点画出函数的图象，略； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：当时， ， ， 画出的图象，如图2. 当时，即是求两个函数图象交点的纵坐标，由图象可得（答案不唯一，左右）． 23. （1）问题发现 如图1，在等边三角形中，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等边三角形，连接．填空： ①的值为________； ②的度数为________． （2）类比探究 如图2，在等腰直角三角形中，，，是边上的中线，点D是线段上一动点（不与点A重合），以为边作等腰直角三角形，，连接．请判断的值与的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 如图3，在正方形和正方形中，，点E在对角线上，请直接写出面积的最大值及此时线段的长度． 【答案】（1）①1；②． （2）解：，，理由如下： ∵等腰直角三角形中，，，是边上的中线， ∴，， ∵以为边作等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∴， ∴，； （3）当时，有最大值 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）证明，即可得出结果； （3）过点作，过点作，易得为等腰直角三角形，先证明，得到，推出为等腰直角三角形，再证明，得到，设，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）∵等边三角形中，是边上的中线， ∴， ∵以为边作等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：①1②； （2）略 （3）过点作，过点作，如图：则： ∵四边形，均为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则：，， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为， 此时，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $