精品解析：江苏省泰兴中学、泰州中学2023-2024学年高一下学期5月联合质量检测数学试卷

2023~2024学年春学期泰兴中学、泰州中学联合质量检测 数学学科试卷 命题人：王越 审题人：顾建军 刘鸿康 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 3. 若复数，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 9 D. 3 4. 设，则是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知为锐角三角形，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 在中，角、、所对的边分别为a、b、c．若，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与所成角的范围是 B. 存在点，使得 C. 平面截正方体所得截面面积为9 D. 平面与平面所成锐二面角的大小是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（为虚数单位），则_______． 13. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为_________． 14. 的内角的对边分别为，已知，则的最大值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数的值． 16. 如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）设平面与棱交于点，证明：． 17. 如图，在三棱柱中，，，且平面平面 （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正切值． 18. 某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计） （1）若，求景观欣赏区所在四边形的面积； （2）当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少? 19. 设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． （1）若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； （2）设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； （3）设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年春学期泰兴中学、泰州中学联合质量检测 数学学科试卷 命题人：王越 审题人：顾建军 刘鸿康 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式逆用得解. 【详解】 ， 故选：A 2. 如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先在直观图中求出，再还原为平面图形，即可求出平面图形的面积. 【详解】在直观图中过点作交于点，过点作交于点， 因为等腰梯形中，，则，又， 所以为等腰直角三角形，所以， 将直观图还原为平面图形如下所示： 且，，， 所以. 故选：B 3. 若复数，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 9 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求得，可得，可求最大值. 【详解】由复数，， 则， 所以 . 故选：D. 4. 设，则是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】举反例可否定ABD，由线面平行性质定理、面面垂直判定定理可知C正确. 【详解】对于A，直线可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故A错误； 对于B，直线可以平行平面，也可以在平面内，故B错误； 对于C，由∥，过作平面交于直线，即平面直线，由线面平行性质定理可知，直线∥直线， 又，所以直线，又直线，由面面垂直的判定定理得，故C正确； 对于D，若，直线可与平面平行或在平面内，故D错误. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦和差公式得到，再利用万能公式求出答案. 【详解】， 即， 所以， 故，故， . 故选：D 6. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【详解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B 7. 已知为锐角三角形，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角形及，得出角的范围，再利用正弦定理可得，由正切函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，即， 因为为锐角三角形， 所以，即，则， 由正弦定理， ， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为. 故选：C. 8. 棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证平面，再证据平面平面，由此有平面，又因为平面经过的中点，由已知可得点轨迹为四边形的边界（不包括内部和点），所以当点位于点时，取最大值，求即可. 【详解】取的中点的中点，连接，，，如图， 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为平面，所以平面， 平面，所以； ，，，所以， 所以，，， 所以；’ 所以，因为，平面， 所以平面， 取中点，中点，的四等分点满足， 的四等分点满足，，， 四边形为平行四边形，，平面， 平面，平面； 由已知有：，， 所以，， ，， 所以，所以，平面， 平面，平面； 平面，平面，可证平面平面， 所以平面，又因为平面经过的中点， 由已知可得点轨迹为四边形的边界（不包括内部和点）， 所以当点位于点时，取最大值，为. 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，是关于的方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】在复数范围内解方程求得，，然后根据共轭复数概念及复数运算判断各项. 【详解】由题意知，，则，不妨设，， 对于A项，，故A项正确； 对于B项，， 则，故B项不成立； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，当时，，， 则，， 所以， ， 所以，故D项正确. 故选：ACD. 10. 在中，角、、所对的边分别为a、b、c．若，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由辅助角公式化简即可判断A，结合正弦定理代入计算即可得到，从而判断B，由余弦定理代入计算即可判断D，再由三角形的面积公式即可判断C 【详解】因为，所以， 且、、为三角形的内角，所以， 则，所以，即，故A正确； 由可得， 由正弦定理可得，即，所以， 即，且，则， 所以，故B正确； 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍），故D错误； 因为， 则，故C正确； 故选：ABC 11. 如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与所成角的范围是 B. 存在点，使得 C. 平面截正方体所得截面面积为9 D. 平面与平面所成锐二面角的大小是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，作出平面截正方体的截面，进而确定点的轨迹，再逐项分析判断即得. 【详解】在正方体中，取的中点，连接， 四边形是正方体的对角面，则， 四边形是平面截正方体所得截面， 取的中点，连接，显然 ，， 则四边形为平行四边形，，平面，平面， 于是平面，而，平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 而平面，则平面，又平面，平面平面， 从而点的轨迹是线段， 对于A，在中，， 则，又，因此直线与所成角的范围是，A正确； 对于B，，当为线段的中点时，，又，因此，B正确； 对于C，四边形中，， 显然四边形为等腰梯形，高， ，C错误； 对于D，由平面，平面，得平面平面， 在平面内过作于，而平面平面， 则平面，连接，显然是平面与平面的交线， 于是，过作于，连接，而平面， 则平面，又平面，于是，是二面角的平面角， 又，在中，， 由余弦定理得，则，， 在中，，则， 所以平面与平面所成锐二面角的大小是，D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足（为虚数单位），则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的运算，得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 得到， 故答案为：. 13. 如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为： 14. 的内角的对边分别为，已知，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得①，② 由①②得， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，． （1）求的值； （2）若向量与夹角为，求实数的值． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平面向量坐标运算的模长公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平面向量坐标运算的夹角公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，， 所以， 故． 【小问2详解】 因为，且， 所以， 于是有， 即， 则，其中，解得或． 16. 如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）设平面与棱交于点，证明：． 【答案】（1） 连接，交于点，连接 因为，且， 则， 又， 则， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2） 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 则有，即． 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，通过证明与相似得即可； （2）先证明平面，再通过线面平行的性质得，得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在三棱柱中，，，且平面平面 （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1） 在中，由，， 则，∴，得到， ∴，∴， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2） 连接与，在中，由，， 则， ∴，∴， 在棱柱中，，由（1）知， ∴又，，，平面 ∴平面， 又平面，∴平面平面． AI （3）． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可求得，进而可证，结合已知可得平面． （2）由余弦定理可得，进而结合勾股定理逆定理可证，进而由已知可得平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面． （3）可得为直线与平面所成角，结合已知求解即可得直线与平面所成角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知平面，∴在平面内射影为 ∴为直线与平面所成角． 由（1）知平面，面，∴， 又，∴． 在中，，，则， 在中，，， ∴， 所以直线与平面所成角的正切值为． 18. 某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计） （1）若，求景观欣赏区所在四边形的面积； （2）当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少? 【答案】（1） （2）取，最短距离为． 【解析】 【分析】（1）由已知可得为中位线，由计算可得结论； （2）由正弦定理分别可得，，计算可求的最小值. 【小问1详解】 当时，，此时为中位线， 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，，∴． 在中，，，， 由正弦定理得，，∴ ∴ ，其中 令，∵，∴， 则 ∵在单调递增，在单调递减， ∴在单调递增，∴当，即，时， ， 所以当取时，可使快速通道路程最短，最短距离为． 19. 设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点． （1）若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标； （2）设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由； （3）设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件． 【答案】（1） （2） （3） 满足条件的一个有序实数对为，即，，证明如下： 设，则，， ∵，∴， ，即，满足条件①； 设，且，即，得， 由得， 则 ， 则，满足条件②， 综上，满足条件的一个有序实数对为. 【解析】 【分析】（1）根据题中的新定义求解即可； （2）由题意可得，进而由条件得出关于的方程组，求解即可； （3）满足条件的一个有序实数对为，即，，结合复数模的求法及复数的运算证明即可. 【小问1详解】 由知，则，故； 设，则， 由知，则，即. 【小问2详解】 直线l上的任意一点“对应”到点， ，且， ，即， 由题意，点仍在直线上，则，又， 则， 展开整理得， 则，解得， 所以，所求的有序实数对为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $