精品解析：2024年河南省周口市沈丘县押题密卷联考中考三模数学试题

2024年河南省中招模拟冲刺考试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页满分120分． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 如图，这是小明同学在数学实践课上所设计的正方体盒子的平面展开图，每个面上都有一个汉字，则正方体盒子上与“创”字相对的面上的字是（ ） A. 感 B. 恩 C. 苦 D. 干 3. 如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 小时候我们用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，将数据0.000326用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点M是菱形边的中点，点E在边上，连接，过点M作交对角线于点Q，交于点N．已知菱形的周长为32，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，的取值范围是(　　) A. B. C. D. 8. 2023年全国两会期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，如图所示的扇形统计图描述了该校学生在一周内阅读关于两会文章的篇数情况，则阅读篇数的众数为（ ） A. 18篇 B. 13篇 C. 15篇 D. 40% 9. 已知抛物线，则它的顶点M一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ） A. 2 cm B. cm C. 1 cm D. 3 cm 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象经过第一、第三象限的一次函数关系式_____．（写出一个即可）． 12. 不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 13. 一个不透明的箱子里装有三个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3，随机摸出一个，记下数字后不放回，再从中随机摸出一个，则两次摸出的小球数字和为奇数的概率为____． 14. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中涂色部分的面积为______（结果保留）． 15. 用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点D（不与点A，B重合），将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 学期即将结束，王老师对自己任教的两个班（每个班均为人）的数学成绩进行质量检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．其中，成绩均为整数，满分分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（），合格（），不合格（60分以下）．（2）班中良好这一组学生的成绩分别是：，，，，，，，，，． （1）班成绩数据 平均数 众数 中位数 优秀率 人数 根据以上信息，回答下列问题， （1）写出（2）班良好这一组成绩的中位数和众数； （2）已知（1）班没有人的成绩相同，则成绩是分的学生，在哪个班的名次更好些？请说明理由； （3）根据上述信息，推断______班整体成绩更好，并从两个不同角度说明推断的合理性． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点；（不写作图过程，需保留作图痕迹） （2）若点到的距离为，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 20. 如图，一座古塔坐落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小明站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点）出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为米/秒，，求小明到古塔的水平距离即的长．（结果保留根号） 21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 22. 一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 23. 在矩形中，点E为射线上一动点，连接． （1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，当，且时，求的长． （2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年河南省中招模拟冲刺考试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页满分120分． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组数中，互为相反数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、相反数等知识点，掌握乘方的运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘方以及相反数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，，相等，不是相反数，不符合题意； B． ，，相等，不是相反数，不符合题意； C．，，是相反数，符合题意； D．，，相等，不是相反数，不符合题意． 故选：C． 2. 如图，这是小明同学在数学实践课上所设计的正方体盒子的平面展开图，每个面上都有一个汉字，则正方体盒子上与“创”字相对的面上的字是（ ） A. 感 B. 恩 C. 苦 D. 干 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 在正方体盒子上与“创”字相对的面上的字是“干”． 故选D． 3. 如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据垂线的定义，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据对顶角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，二次根式化简是解题的关键．根据运算法则逐项计算即可． 【详解】A、，故该选项运算错误； B、，故该选项运算错误； C、，故该选项运算错误； D、，故该选项运算正确； 故选：D． 5. 小时候我们用肥皂水吹泡泡，泡沫的厚度约为0.000326毫米，将数据0.000326用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握表示形式为的形式，其中，n为整数是关键． 6. 如图，点M是菱形边的中点，点E在边上，连接，过点M作交对角线于点Q，交于点N．已知菱形的周长为32，，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、平行线的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键．菱形的性质得，，再证是中位线，得，然后证是的中位线，得，即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，周长为32， ∴，， 是菱形边的中点，， 是的中点， 是中位线， ， ， ， ∵， ∴， 是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：． 7. 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把方程化为一般式，再利用判别式的意义得到Δ＝12−4（−k）＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：原方程可化为： 根据题意得Δ＝12−4（−k）＞0， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；反过来也成立． 8. 2023年全国两会期间，某校组织开展了以“聚焦两会，关注祖国发展”为主题的阅读活动，如图所示的扇形统计图描述了该校学生在一周内阅读关于两会文章的篇数情况，则阅读篇数的众数为（ ） A. 18篇 B. 13篇 C. 15篇 D. 40% 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数的定义即可得出答案． 【详解】解：由扇形统计图，可知学生在某一周阅读篇数为15的学生人数最多，故阅读篇数的众数为15篇， 故选C． 【点睛】本题考查了确定一组数据的众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 9. 已知抛物线，则它的顶点M一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．利用二次函数的性质判断抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，然后求得，即可判断顶点一定在第一象限． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， ， 对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴有两个交点， 顶点一定在第一象限， 故选：A． 10. 如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（ ） A. 2 cm B. cm C. 1 cm D. 3 cm 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G，证明△ACE为等边三角形，根据y的最大值求得△ACE的边长，再在直角三角形ABG中用三角函数求得AB的长即可． 【详解】】解：如图，连接BE，AE，CE，BE交AC于点G 由正六边形的对称性可得BE⊥AC，△ABC≌△CDE≌△AFE ∴△ACE为等边三角形，GE为AC边上的高线 ∵动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1cm/s的速度匀速运动 ∴当点P运动到点E时△ACP的面积y取最大值3 设AG=CG=a（cm），则AC=AE=CE=2a（cm），GE=a（cm） ∴2a×a÷2=3（cm） ∴a2=3 ∴a=（cm）或a=-（舍） ∵正六边形的每个内角均为120° ∴∠ABG=×120°=60° ∴在Rt△ABG中，=sin60° ∴ ∴AB=2（cm） ∴正六边形的边长为2cm 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，以图中y值的最大值为突破口，求得等边三角形△ACE的边长，是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个图象经过第一、第三象限的一次函数关系式_____．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据正比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限， ∴所填函数x的系数大于0，常数项为0． 如：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握和运用正比例函数的图象和性质是解决本题的关键． 12. 不等式组的解集是，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式组得到关于a的不等式进行求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， ∵不等式组的解集为x＜a﹣4， ∴3a+2≥a﹣4， 解这个不等式得a≥﹣3， 故答案为：a≥﹣3． 【点睛】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键． 13. 一个不透明的箱子里装有三个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3，随机摸出一个，记下数字后不放回，再从中随机摸出一个，则两次摸出的小球数字和为奇数的概率为____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图知，共有种等可能结果，两次摸出的小球数字和为奇数有4种， 则两次摸出的小球数字和为奇数的概率， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，则图中涂色部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，三角函数，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．根据题意可得，，进而得到是正三角形，推出，根据三角函数求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在中，，，， ， ，， ，， 是正三角形， ， ， ， 故答案为：． 15. 用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．第一步，在边上找一点D（不与点A，B重合），将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】分两种情形解答：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：，则，；垂直平分线段；利用，可求得，则，解可求线段；②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：，则，，；在中，利用所对的直角边等于斜边的一半可得结论． 【详解】解：①点恰好落在直角三角形纸片的边上时，设交边于点E，如图， 由折叠的性质得，，垂直平分线段． 则，； ∵， ∴．， ∵ ． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ②点恰好落在直角三角形纸片的边上时，如图， 由题意：，； 则，， ∵， ∴， ∴． 综上，线段的长为：1 或． 故答案为：1 或． 【点睛】本题主要考查了翻折问题，含角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式乘除加减混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、零次幂、负整数指数幂，再把除法化为乘法，然后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法转化为乘法，然后根据分式性质化简，即可作答． 【详解】解:（1）原式； （2）原式． 17. 学期即将结束，王老师对自己任教的两个班（每个班均为人）的数学成绩进行质量检测，并对成绩进行统计，得出相关统计表和统计图．其中，成绩均为整数，满分分，成绩等级分为：优秀（80分及以上），良好（），合格（），不合格（60分以下）．（2）班中良好这一组学生的成绩分别是：，，，，，，，，，． （1）班成绩数据 平均数 众数 中位数 优秀率 人数 根据以上信息，回答下列问题， （1）写出（2）班良好这一组成绩的中位数和众数； （2）已知（1）班没有人的成绩相同，则成绩是分的学生，在哪个班的名次更好些？请说明理由； （3）根据上述信息，推断______班整体成绩更好，并从两个不同角度说明推断的合理性． 【答案】（1）中位数和众数分别是73.5、73 （2） 成绩是分的学生，在（2）班的名次更好，理由如下： ∵（1）班成绩的中位数是，（1）班没有人的成绩相同， ∴（1）班成绩是分的学生，名次最好可能是名， ∵（2）班成绩是分的学生，名次是名， ∴成绩是分的学生，在（2）班的名次更好； （3）（1），理由： （2）班成绩的中位数是第、个数据的平均数， 所以（2）班成绩的中位数， （2）班的优秀率， ，， ∴（1）班成绩的中位数大于（2）班成绩的中位数，（1）班的优秀率大于（2）班的优秀率， ∴（1）班整体成绩更好． 故答案为：（1）． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得出答案； （2）分别确定成绩是分的学生在两个班级中的名次即可得出答案； （3）求出（2）成绩的中位数和优秀率，然后与（1）的中位数和优秀率比较得出答案． 【小问1详解】 （2）班良好这一组成绩的中位数是第、个数据的平均数， 所以中位数， （2）班良好这一组成绩出现次数最多的是， 所以众数是； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了统计表，条形统计图，中位数及众数的意义，解题的关键是根据表格和统计图得出解题所需的数据，以及对中位数和众数意义的运用． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作的角平分线交于点；（不写作图过程，需保留作图痕迹） （2）若点到的距离为，求的长． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）过点作于点，则，由角平分线的性质可得，在中，，可得，最后根据即可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点 作于点 是的平分线， ， 在中， 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形．点，在坐标轴上．反比例函数的图象经过点． （1）求反比例函数的表达式； （2）点D在反比例函数图象上，且横坐标大于2，．求直线的函数表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是边长为的正方形求出点的坐标，代入求出k； （2）设，过点D作轴，根据面积列方程，求出点D坐标，再由待定系数法求出直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：四边形是边长为的正方形， ， ； 即反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设，过点D作轴， 点，，， ∴ ， ， 解得：，，经检验，是符合题意的根， 即点， 设直线的函数解析式为，得∶ ，解得：， 即：直线的函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上任意一点做x轴、y轴的垂线，组成的长方形的面积等于，灵活运用几何意义是解题关键． 20. 如图，一座古塔坐落在小山上（塔顶记作点，其正下方水平面上的点记作点），小明站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底（记为点）出发向右上方（与地面成，点，，，在同一平面）的方向匀速飞行秒到达空中点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为米/秒，，求小明到古塔的水平距离即的长．（结果保留根号） 【答案】米 【解析】 【详解】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：控制无人机从脚底（记为点）出发向右上方方向匀速飞行秒到达空中点处，匀速飞行秒到达塔顶，无人机的速度为米/秒，作交的延长线于点，作交于点，如图： （米），（米），，， ， ， ， 在中，（米）， 在中，（米）， 米， 米， ∴小李到古塔的水平距离即的长为米． 21. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？ 【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； （2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 【解析】 【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解； （2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可． 【小问1详解】 解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； 【小问2详解】 解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本， 依题意得，， 解得， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时（元）， （本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键． 22. 一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）． 【答案】（1）该抛物线的解析式； （2）水面宽度为米． 【解析】 【分析】（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a，c的值即可； （2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， ∴桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面高度为4米， ∴点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：∵船宽5米， ∴当时，， 若该渔船能安全通过，此时水面高为米， ∴当时，， 解得， ∴水面宽度为米． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 23. 在矩形中，点E为射线上一动点，连接． （1）当点E在边上时，将沿翻折，使点B恰好落在对角线上点F处，交于点G． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，当，且时，求的长． （2）在②所得矩形中，将矩形沿进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】（1）①120°；②4 （2）4+4或4﹣4 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得，利用特殊角的三角函数值得，再根据等边三角形的判定及性质即可求解． ②根据折叠的性质得，再根据矩形的性质及相似三角形的判定及性质即可求解． （2）分类讨论：i如图3，利用矩形的性质及全等三角形的判定及性质得，再利用勾股定理即可求解，ii如图4，根据矩形的性质及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， 是等边三角形， ， ； ②由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ∵四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ，， 解得：或（舍去）， 即的长为 【小问2详解】 当点E，，D三点共线时，分两种情况： i如图3： 由②可知，， ∵四边形是矩形， ，，，， ，， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， ， ； ii如图4： 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、等边三角形的判定及性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、特殊角的三角函数值求锐角、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关判定及性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $