精品解析：河北省石家庄市河北赵县中学、高邑县第一中学2023-2024学年高二下学期5月质量检测数学试题

2023~2024学年高二年级质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色鉴字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5，本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 4. 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ） A. 1600 B. 1800 C. 2100 D. 2400 5. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 6. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆M：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 圆M关于直线对称 C. 圆M的半径为2 D. 直线与圆M相切 10. 关于的展开式的说法中正确的是（ ） A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为64 C. 展开式中无常数项 D. 第4项的系数最大 11. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏. 13. 已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________. 14. 有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________. ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为. （1）求数列的通项公式： （2）已知，求数列的前项和. 16. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 17. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 18. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年高二年级质量检测 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区城内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色鉴字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5，本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的简单几何性质计算可得； 【详解】解：因为椭圆方程为，焦点在轴上，且，，因为，所以，所以焦点坐标为、 故选：A 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】因为函数在处的导数为3， 所以， 所以． 故选：B. 3. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种. 故选：B． 4. 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ） A. 1600 B. 1800 C. 2100 D. 2400 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正态分布的对称性求出成绩在80分到100分的概率，即可求解作答. 【详解】依题意，随机变量，有，即正态曲线的对称轴为， 由，得， 80分到100分（含80分和100分）之间的人数为800， 所以设参加本次联考的总人数约为， 则，解得：. 故选：D. 5. 一个盒子里装有相同大小的白球､黑球共20个，其中黑球6个，现从盒中随机的抽取5个球，则概率为的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至多有2个黑球 C. 至少有2个白球 D. 至少有2个黑球 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的公式结合排列组合知识直接求解 【详解】表示任取5个球中，有2个黑球的概率， 表示任取5个球中，有1个黑球的概率 表示任取5个球中，没有黑球的概率 所以表示任取5个球中，至多有2个黑球的概率． 故选：B． 6. 设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，得到，从而得到，结合倾斜角的范围，求出α的取值范围. 【详解】， ∵点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 7. 已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或1 C. 或2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式列方程求解即可 【详解】因为 所以， 因为平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或1． 故选：B 8. 已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及指数函数的单调性，结合不等式的性质即可求解. 【详解】由，得， 令，，则 ， 所以在上恒成立， 所以在上为减函数， 因为，且在上单调性递增； 所以， 所以， 所以， 所以，即． 故选：A. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用导数法求函数的单调性，结合指数函数的单调性及不等式的性质即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆M：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内 B. 圆M关于直线对称 C. 圆M的半径为2 D. 直线与圆M相切 【答案】BD 【解析】 【分析】将圆的方程化成标准方程，根据点与圆心距离和半径的比较判断点位置，通过判断圆心在直线上得出圆关于直线的对称性，以及圆心到直线距离等于半径判断直线与圆相切. 【详解】将圆M：化成标准方程：知圆心坐标为圆的半径为1. A项中，由点到圆心的距离：知点在圆外，A项错误； B项中，因圆心在直线上，而圆是轴对称图形，故圆M关于直线对称，B项正确； C项中，显然错误，C项错误； D项中，由圆心到直线的距离为：知直线与圆M相切，D项正确. 故选：BD. 10. 关于的展开式的说法中正确的是（ ） A. 各项的系数之和为 B. 二项式系数的和为64 C. 展开式中无常数项 D. 第4项的系数最大 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式展开式公式、二项式系数和以及各项系数的性质逐项验证即可. 【详解】由，令得：， 即各项的系数之和为，故A正确； 由二项式系数的和为：，故B错误； 因为， 所以当时，不符合题意，所以无常数项，故C正确； 在中，当时系数最大，即第5项的系数最大，故D错误． 故选：AC． 11. 一个盒子中装有3个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由独立事件与条件概率的概率公式计算判断即可. 【详解】由题意，， 因为在“第一次取得黑球”的前提条件下，盒子中还有2个黑球，4个白球，共6个球， 所以,, 因为在“第一次取得白球”的前提条件下，盒子中还有3个黑球，3个白球，共6个球， 所以, 第一次取得黑球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得黑球，第二次取得白球的概率为：，故A错误； 第一次取得白球，第二次取得黑球的概率为：， 第一次取得白球，第二次取得白球的概率为：， 第二次取得黑球的概率为， 第二次取得白球的概率为， 所以，故B正确； ，， 故，故C正确； ，，故D错误； 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一座六层高的商场，若每层所开灯的数量都是下面一层的两倍，一共开了1890盏，则底层所开灯的数量为______盏. 【答案】30 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等比数列，再利用等比数列列n项和公式计算即得. 【详解】依题意，从下往上每层灯的数据构成等比数列，公比，，前6项和， 于是，解得， 所以底层所开灯的数量为30盏. 故答案为：30 13. 已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设命中的次数为，则，，根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得. 【详解】设命中的次数为，则，所以， 又，所以. 故答案为： 14. 有甲､乙两个班级共计100人进行物理考试，按照大于等于80分为优秀，80分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表： 优秀 非优秀 总计 甲班 10 乙班 30 已知在全部100人中随机抽取1人，成绩非优秀的概率为，则下列说法正确的是__________. ①列联表中的值为的值为40； ②列联表中的值为的值为50； ③根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； ④根据列联表中的数据，若按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 附：，其中. 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据题中条件计算可判断选项①、②；根据列联表计算出的值，即可判断选项③④. 【详解】由题意知，成绩非优秀的学生数是， 成绩非优秀的学生数是70，所以， 选项①正确、②错误； 根据列联表中的数据， 得到 因此没按的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”. 故③错误，④正确， 故答案为：①④. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为. （1）求数列的通项公式： （2）已知，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据条件得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）裂项得到，进而求和即可. 【小问1详解】 设公差为，则， 解得， 故； 【小问2详解】 ， 故. 16. 已知焦点位于x轴的抛物线C过点． （1）求抛物线C的方程，并求其准线方程； （2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】（1），准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）设出抛物线方程，代入，得到，得到抛物线方程和准线方程； （2）设出直线AB：，联立抛物线方程，得到两根之和，由抛物线焦点弦长公式进行求解. 【小问1详解】 由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，， 由，得：， 则， 则． 17. 某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格： 用户一个月月租减免的费用x（元） 4 5 6 7 8 用户数量y（万人） 2 2.1 2.5 2.9 3.2 已知x与y线性相关. （1）求y关于x的经验回归方程（，）； （2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？ 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）5.10万人 【解析】 【分析】（1）分别求出，的值，再由公式可计算得，继而易得，从而得出答案； （2）代入（1）得到的回归方程即可得出结论. 【小问1详解】 由， ， 有， ， 故y关于x的经验回归方程为； 【小问2详解】 由（1）知经验回归方程为，当时，， 所以预测该月的用户数量为5.10万人 18. 某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是大集团的概率为． （1）在取出的2个集团是同一类集团的情况下，求全为小集团的概率； （2）若一次抽取3个集团，假设取出大集团的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算全为小集团的概率值； （2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【小问1详解】 由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是大集团的情况有，故全是大集团的概率是， 整理得到，解得． 若2个全是大集团，共有种情况； 若2个全是小集团，共有种情况； 故全为小集团的概率为． 【小问2详解】 由题意知，随机变量的可能取值为， 计算，，， ，； 故的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为． 19. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有两个极值点． ①求实数a的取值范围； ②若（为自然对数的底数，且…），求的取值范围． 【答案】（1） 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负与函数的单调性的关系及对参数讨论即可求解； （2）①利用导数法求函数的极值的步骤及参数的讨论即可求解； ②根据已知条件及韦达定理构造函数，，利用导数法求出函数的最值即可求解. 【小问1详解】 由题知，函数的定义域为， ， 当时，对任意的，在上恒成立不恒为零， 故在上单调递减； 当时，令，则，解得， 当时，； 当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上， 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ①由题知，， 函数的定义域为，， 当时，对任意的，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，，且不恒为零， 故在上单调递增，没有极值点； 当时，令，解得，，则， 当时，； 当时，； 所以函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为． 综上，当时，有两极值点； ②由①可知，，， 所以， 设，，其中， 所以， 又因为，可知， 所以在上单调递减． ∴，即， 所以的取值范围为． 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问是利用导数法求函数的单调性的步骤，注意对参数进行讨论即可，第二问第一小问利用导数法求出函数的极值的步骤，注意对参数的讨论即可，第二小问利用韦达定理及已知条件构造函数，利用导数法求函数的最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $