精品解析：福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考（2）数学试题

连城一中2023—2024学年下期高二年级月考2 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 函数的极大值点是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，得到函数的单调性，结合极值点的定义即可求解. 【详解】，时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极大值点是. 故选：C. 2. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若随机变量满足且，则 B. 已知随机变量～，若，则 C. 若事件相互独立，则 D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根据相关系数的概念判断D. 【详解】对于A：因为且，所以，故A正确； 对于B：随机变量～，则，解得：，故B正确； 对于C：若事件、相互独立，则， 所以，故C正确； 对于D：若、两组成对数据的相关系数分别为、， 因为，所以组数据的相关性更强，故D错误. 故选：D 4. 如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意可知，， 因为，，，， 所以. 故选：A. 5. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，质点P移动六次后位于点，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案． 【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P移动六次后位于点，在移动过程中向上移动4次向右移动2次， 则其概率为. 故选：C． 【点睛】本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题. 6. 已知随机变量的分布列如下， 若，则下列结论正确的是（ ） -2 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质和期望公式，列出方程组，求得，再利用方差的公式和方差的性质，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，且， 可得，解得， 所以， 所以 故选：D. 7. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 8. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数单调性，需要构造函数，例如，想到构造.一般：（1）条件含有，就构造,（2）若，就构造，（3），就构造，（4）就构造，等便于给出导数时联想构造函数. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是的零点 C. 的极小值为 D. 是奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】借助导数的正负来分析原函数的单调性，从而解决问题，对于奇偶性判断，首先看定义域，再验证恒等式是否成立，就可作出判断. 【详解】对于A，，当时，，， 所以，故在上递减，故A是错误的； 对于B，当时，，故B是正确的； 对于C，当时，，，，所以， 故在上递增，又由在上递减，所以的极小值为，故C是正确的； 对于D，由于的定义域为，定义域不关于原点对称，故D是错误的； 故选：BC． 10. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布求得特定区间的概率，不在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率. 【详解】由，则， 则，故A正确； 不在的概率为，则， 则，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为E，F，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若存在λ使得，则 B. 若，则平面 C. 三棱锥体积的最大值为2 D. 二面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由平面平面，根据向量法得出点G的轨迹，由向量共线可判定A，根据线面平行的判定定理可判定B，根据棱锥体积公式可得C，由向量法求面面角可得D. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，依题意，，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则，即， 设平面的一个法向量，则， 所以，令，则 即，因为平面平面，所以，即，所以， 选项A：若存在λ使得，则点G在线段上，所以，即， 所以G为的中点，即，故A错误； 选项B：若，则，即，所以G为的中点， 因为E为的中点，所以,故四边形为平行四边形， 所以，平面，平面，所以平面，故B正确； 选项C：因为，设平面的一个法向量为， 则，所以，令，则， 即，设G到平面的距离为， 又为等边三角形且边长为，则， 所以，又， 所以当时，三棱锥体积的最大值为2，故C正确； 选项D：因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 则， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】利用空间向量解决立体几何中的动点问题及求角和距离是常用方法. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 13. 某企业有两条生产某种零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产线的生产效率的两倍．若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015，第 2 条生产线出现废品的概率约为 0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，则该零件为废品的概率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式即可求解. 【详解】设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， “随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， “随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，，又，， 于是 . 故答案为：. 14. 已知函数，，若，且，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据的单调性及特值，求得，再由，找到和满足的等量关系，再以此化简得到，构造函数，借用导数求最值即可. 【详解】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于找到和满足的等量关系，进而在化简时减少参数的个数，才容易构造出新的函数. 四、解答题：（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)将点坐标代入函数解析式得到关于的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于的另一个方程，即可求出，即可确定函数的解析式; (2)求出函数的单调区间，利用可求解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点,所以, 又因为,且点P处的切线恰好与直线垂直, 所以, 由解得,所以. 【小问2详解】 由(1)知， 令，即，解得或， 令，即，解得， 所以在单调递增，单调递减， 单调递增， 根据函数在区间上单调递增， 则有或，解得或. 16. 为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 （2）若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0.100 0.050 0025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）无关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题中的数据可得列联表，由列联表可求得，从而可判断结果； （2）根据题意，所有可能的值为，再分别求出概率后可得分布列及数学期望. 【小问1详解】 抽取的该校100名高中学生中感兴趣的人数为人， 列联表补充如下： 感兴趣 不感兴趣 合计 男 女 合计 零假设学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． 则， 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分的证据推断不成立， 因此可以认为学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别无关． 【小问2详解】 所有可能的值为. ，， ，， 的分布列为： 3 的数学期望：. 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）作于，于，利用勾股定理证明，根据线面垂直的性质可得，从而可得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案. 【小问1详解】 证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因为平面， 所以； 【小问2详解】 解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ， 则， 则， 设平面的法向量， 则有，可取， 则， 所以与平面所成角的正弦值为. 18. 近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格： 大学 大学 大学 大学 当年毕业人数（千人） 3 4 5 6 自主创业人数（千人） 0.1 0.2 0.4 0.5 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴． （ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额； （ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为． 【答案】（1） （2）（ⅰ）万元（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）首先求，再根据参考公式求，，即可求得回归直线方程； （2）（ⅰ）根据（1）的结果，代入，求得，即可求得总金额； （ⅱ）首先列出随机变量X的所有可能值为0，1，2 ，并求解对应的概率和数学期望，并求，即可求解. 【小问1详解】 由题意得， ， 所以 故得关于线性回归方程为 【小问2详解】 （ⅰ）将代入, 所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元） （ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X,则X的所有可能值为0，1，2 ， ∴ ,故的取值范围为 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 【答案】（1）, （2） （3）0 【解析】 【分析】（1）求导即可得结论; （2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解; （3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值. 【小问1详解】 求导易知. 【小问2详解】 构造函数，，由（1）可知， ①当时，由, 可知，，故单调递增， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知单调递增， 由与可知， 存在唯一，使得， 故当时，， 则在内单调递减， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． 【小问3详解】 ，， 令，则； 令，则， 当时，由（2）可知，， 则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 则，故在内单调递增， 因为， 即为偶函数，故在内单调递减， 则，故当且仅当时，取得最小值0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 连城一中2023—2024学年下期高二年级月考2 数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 函数的极大值点是（　　 ） A. B. C. D. 2. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误是（ ） A. 若随机变量满足且，则 B. 已知随机变量～，若，则 C. 若事件相互独立，则 D. 若两组成对数据的相关系数分别为、，则组数据的相关性更强 4. 如图，在三棱柱中，为的中点，若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 位于坐标原点一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是，则质点P移动六次后位于点的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量分布列如下， 若，则下列结论正确的是（ ） -2 1 2 A. B. C. D. 7. 如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 是的零点 C. 的极小值为 D. 是奇函数 10. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为2，棱的中点分别为E，F，点G在底面上，且平面平面，则下列说法正确的是（　　） A. 若存在λ使得，则 B. 若，则平面 C. 三棱锥体积最大值为2 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为_____________. 13. 某企业有两条生产某种零件的生产线，其中第 1 条生产线的生产效率是第 2 条生产线的生产效率的两倍．若第 1 条生产线出现废品的概率约为 0.015，第 2 条生产线出现废品的概率约为 0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，则该零件为废品的概率为_____________. 14. 已知函数，，若，且，则的最大值为_________． 四、解答题：（共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直． （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围． 16. 为贯彻落实全国教育大会精神，全面加强和改进新时代学校体育工作，某校开展阳光体育“冬季长跑活动”．为了解学生对“冬季长跑活动”的兴趣度是否与性别有关，某调查小组随机抽取该校100名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占80%． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析学生对“冬季长跑活动”的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男 12 女 36 合计 100 （2）若不感兴趣的男学生中恰有5名是高三学生，现从不感兴趣的男学生中随机抽取3名进行二次调查，记选出高三男学生的人数为，求的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 18. 近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格： 大学 大学 大学 大学 当年毕业人数（千人） 3 4 5 6 自主创业人数（千人） 0.1 0.2 0.4 0.5 （1）已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程； （2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴． （ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额； （ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为． 19. 固定项链两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）类比正、余弦函数导数之间的关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $