精品解析：2024年河南省信阳市平桥区九年级中考三模数学试题

2024年河南省中招第三次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2024的相反数是（ ） A. 2024 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相反数的概念，理解并掌握相反数的概念是解题的关键． 根据“只有符号不同的两个数互为相反数”的概念即可求解． 【详解】解：2024的相反数是， 故选B． 2. 2024年1月，国家统计局公布了2023年全年出生人口数约为9020000，其中数字9020000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．根据用科学记数法表示较大的数时，比原来的整数位数少1，即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握：俯视图是从上面看到的图形．据此可得答案． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且四条线段连接对应顶点， A．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； B．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； C．该图形是“斗”的俯视图，故此选项符合题意； D．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法分别计算，进而得出答案． 【详解】解：A、，错误，此选项不符合题意； B、，正确，此选项符合题意； C、，错误，此选项不符合题意； D、，错误，此选项不符合题意； 故选∶B． 5. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出方程的解即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴二元一次方程组的解为， 故选C． 6. 如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使A、D分别落在A′和D′处，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A. 65° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得到∠AEF＝∠A′EF，再根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】由折叠的性质得，∠AEF＝∠A′EF， ∵∠1＝50°， ∴∠AEF＝∠A′EF＝＝65°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠2＝∠AEF＝65°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形中折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠的性质，是解题的关键． 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解∶∵一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， 故选：B． 9. 如图，、是的切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ） A. 60° B. 20° C. 30° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线性质得出，根据，得出，证明是等边三角形，得出，根据圆周角定理即可得答案． 【详解】解：设交于，连接， ∵、是的切线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查切线的性质、直角三角形斜边中线的性质、等边三角形的判定与性质及圆周角定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 10. 如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为3，点Q为中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先算出，根据的面积为3，可得P点到AC的距离，画出P点所在直线l，作B关于直线l的对称点E，连接，交直线l于点P，即的最小值，因为点Q为中点，可得，由三线合一可得的长，由勾股定理得的长，由勾股定理可得的长，即的最小值． 【详解】解：∵，，， ∴， 过P作，交于点D， ∵的面积为3，， ∴， 作直线，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，B到直线l的距离为7， 作B关于直线l的对称点E，连接，交直线l于点P， ∴，， ∴，即的最小值， 过Q作，交于点F， ∵点Q为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，关键是掌握将军饮马模型． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论． 【详解】解：要使式子有意义，则 ， 解得：． 故答案为：． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ______度 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查的是旋转的性质，旋转角的定义，根据旋转角的含义可得，再利用角的和差运算可得答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故答案为：． 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 【答案】2 【解析】 【详解】如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E， ∵点A在双曲线上，∴四边形AEOD的面积为1 ∵点B在双曲线上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3 ∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2 15. 如图，在矩形中，，．点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D的对应点恰好落在直线上，则的长为_________． 【答案】4或16 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质． 分点Q在线段上，由翻折得；和点在的延长线上，由翻折得，两种情况讨论，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：①当点Q在线段上时，如图1， 四边形是矩形， ， ． 由翻折得， ． ． 在中，， ． ②当点在的延长线上时，如图2， 四边形是矩形， ， ． 由翻折得， ， ． 在中，， 综上所述，的长度为4或16 故答案为：4或16． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）先算绝对值、0指数幂与负指数幂，再算加减； （2）先利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法计算，再进一步合并化简即可． 【详解】解：（1）原式＝4-1+3＝6； （2）原式. 【点睛】此题考查实数的运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17. 问题情境：某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件满足公司需求，该公司准备择优购买． 实践发现：测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． B款软件每段短文中识别正确的字数折线统计图 实践探究：A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 7.7 a b 问题解决： （1）上述表格中： ， ． （2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了400段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 【答案】（1）8；8 （2）会向公司推荐A款软件，理由见解析 （3）估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有140段 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计总体，看懂统计图，灵活运用所给数据求解是解答的关键． （1）直接根据所给数据，以及众数和中位数的求法解答即可； （2）根据表格中两款统计数据求解即可； （3）分别用两款软件识别的总段数乘以各自样本中一字不差地识别正确的段数所占的比例求解即可． 【小问1详解】 解：由折线统计图知，B款软件每段短文中识别正确的字数8出现段数最多，故众数； 处于第10和11位的数据都为8，故中位数； 故答案为：8；8； 【小问2详解】 解：会向公司推荐A款软件 理由如下：A款语音识别输入软件更准确，因为在识别正确9字及以上段数所占百分比中，A款是50%，大于B款的30%，说明A款识别准确率更高，所以会向公司推荐A款软件； 【小问3详解】 解：A款软件识别完全正确的百分比是， B款软件识别完全正确的百分比是， （段）． 答：估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有140段． 18. 如图，是矩形的对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点关于的对称点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按作过外一点的垂线的尺规作图方法作出的垂线，垂足为O，再以O为圆心，在射线上的另一侧截取，即得点关于的对称点； （2）由线段垂直平分线性质得，由等腰三角形的性质得；再由矩形的性质及平行线的性质即可得，从而证得结论成立． 【小问1详解】 解：如图所示，点E即为所求．（作法不唯一） 【小问2详解】 证明：由对称的性质，可知垂直平分线段， ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，对称的性质，垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作图是解题的关键． 19. 如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． （3）若，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、切线的判定与性质、圆周角定理、扇形面积的求法、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． （1）如图：连接，利用垂径定理的推论得到，再利用得到，然后利用角度的代换可证明则从而证明结论； （2）设的半径为r，则，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （3）先根据勾股定理求得,再利用圆周角定理得到，则，接着在中计算出，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积即可解答． 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：设的半径为r，则， 在中，，解得：或（舍去）， ∴的半径为6． 【小问3详解】 解：设的半径为r，则 ∵，， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴，， ∴阴影部分的面积． 故答案为． 20. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的 1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 【答案】（1）《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元． （2）《朝花夕拾》最多购买50本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元，列出关于x的分式方程求解即可； （2）设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围． 【小问1详解】 设《西游记》的订购单价是元，则《朝花夕拾》的订购单价是元．由题意得． 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． （元）． 答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元． 【小问2详解】 设再订购本《朝花夕拾》，则再订购本《西游记》． 由题意得． 解得． 答：《朝花夕拾》最多购买50本． 21. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】（1）遮阳篷前端到墙面的距离约为（2）挡沿部分的约为． 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的相关知识． （1）作于，由，，可得，即可求解； （2）作于，于，延长交于，则，可得四边形、四边形是矩形，在中，由，求出，根据，求出，然后根据，求出，最后由线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）如图，作于， ，． 在中，，即， ， 答：遮阳篷前端到墙面的距离约为； （2）解：如图，作于，于，延长交于，则， 四边形、四边形是矩形， 由（1）得， ， 在中，，即， ， 由题意得：， ， 在中，，即， ， ， 答：挡沿部分的长约为． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】（1） （2）①7 ②或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线方程，配方即可求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴方程，结合的取值范围，可确定在对称轴处取得最小值，代入即可求解；②根据题意，先表示出，结合的取值范围，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 ①由（1）知， 抛物线开口向上，其对称轴为， ， 当时，取得最小值为， 又的最小值是， ， ， 抛物线表达式为， 又， ； ②因为点在抛物线上， 所以， 因为对于，都有， 所以， 或， 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 当时， ， ， 又， ， ； ， ， 又， ， ， ， 即； 综上所述，t的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，利用配方法求顶点坐标，对称轴，最值，根据函数值的关系求参数的范围，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 23. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明．小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （1）证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明 （2）运用：如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长． （3）拓展：如图4，是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，则线段的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 分析】（1）根据材料提示，证明，即可求解； （2）由（1）的结论可得，，根据平行线分线段成比例即可求解； （3）根据等弧所对圆周角相等可得是角平分线，根据（1）中的结论可得的值，设，用含的式子分别表示出长，根据直径所对圆心角为直角，运用勾股定理可得的值，由此可求出的长，再证，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是的角平分线， ． 为的中点， ． ， ， ，，． 平分，． ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵是半圆的中点， ∴， ∴，即平分， 由（1）的结论可得，， 设，则，， ∴，则， ∵是直径， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，． ∴线段的长为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形综合，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，直径所对圆周角为直角，勾股定理求线段长等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年河南省中招第三次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 2024的相反数是（ ） A 2024 B. C. D. 2. 2024年1月，国家统计局公布了2023年全年出生人口数约为9020000，其中数字9020000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，E、F分别是矩形ABCD边AB、CD上的点，将矩形ABCD沿EF折叠，使A、D分别落在A′和D′处，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　） A. 65° B. 60° C. 50° D. 40° 7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A B. C. D. 8. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，、是切线，切点分别为、，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于（ ） A. 60° B. 20° C. 30° D. 45° 10. 如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为3，点Q为中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使式子 有意义，则x的取值范围是_______． 12 因式分解：__________． 13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则 ______度 14. 如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为__． 15. 如图，在矩形中，，．点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D的对应点恰好落在直线上，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 问题情境：某公司计划购入语音识别输入软件，提高办公效率．市面上有A、B两款语音识别输入软件满足公司需求，该公司准备择优购买． 实践发现：测试员小林随机选取了20段短文，其中每段短文都有10个文字．他用标准普通话以相同的语速朗读每段短文来测试这两款软件，并将语音识别结果整理数据如下． A款软件每段短文中识别正确的字数记录为：5，5，6，6，6，6，6，6，6，7，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10． B款软件每段短文中识别正确的字数折线统计图 实践探究：A、B两款软件每段短文中识别正确的字数分析数据如表： 软件 平均数 众数 中位数 识别正确9字及以上的段数所占百分比 A款 7.7 6 8 B款 7.7 a b 问题解决： （1）上述表格中： ， ． （2）若你是测试员小林，根据上述数据，你会向公司推荐哪款软件？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若会议记录员用A、B两款软件各识别了400段短文，每段短文有10个文字，请估计这两款软件一字不差地识别正确的短文共有多少段？ 18. 如图，是矩形的对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点关于的对称点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点．求证：． 19. 如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为上一点，于点O，连接交于F，． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． （3）若，，则阴影部分的面积为 ． 20. 为培养学生的阅读能力，某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》订购单价的 1.4倍，并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本． （1）求该校八年级订购两种书籍的单价分别是多少元． （2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，且两种书总花费不超过1200元，求《朝花夕拾》最多购买多少本． 21. 数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 遮阳篷前挡板的设计 问题背景 我们所在的社区服务中心在墙外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够．现在为使房前的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度的长． 测量数据 抽象模型 我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地高为．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）最小为，若假设此时房前恰好有宽的阴影，如图3，求出的长即可． 解决思路 经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题： （1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端到墙面的距离； （2）继续构造直角三角形，求出为时，的长度． 运算过程 ．．．．．．．． 该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到，参考数据：，，， 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点在抛物线上，其中． ①若的最小值是，求的值； ②若对于，都有，求t的取值范围． 23. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明．小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （1）证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明 （2）运用：如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长． （3）拓展：如图4，是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，则线段的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$