精品解析：2024年湖北省武汉市江汉区中考二模数学试题

2024江汉区中考模拟数学试卷（二） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 3. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数．则下列事件中是随机事件的是（ ） A. 出现点数大于 B. 出现的点数是 C. 出现的点数是 D. 出现的点数小于 4. 如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ） A B. C. D. 7. 有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三、四把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（ ） A. 15.5cm B. 19.5cm C. 23cm D. 30cm 9. 如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数、在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 我国航天事业发展越来越吸引人们关注，刚返回地面的神舟号三名航天员接受采访的短视频最近在短视频平台的点赞量达到万次，数据万用科学记数法可表示是__________． 12. 写出一个反比例函数，在每一个象限内，使y随x的增大而增大，这个反比例函数的解析式可以是____________． 13. 计算的结果是__________． 14. 某型号飞机的机翼形状如图所示，，根据图中数据计算得到的长度是__________．（精确到米，参考数据：，） 15. 如图，把一张宽为的长方形纸片沿，折叠．顶点，，，的对应点分别为，，，，点与重合，点恰与，的交点重合．若，则的长为___________． 16. 已知抛物线中，满足．下列四个结论： ①若，则当时，都随的增大而减小； ②该抛物线与轴一定有两个交点； ③当时，最小值为，则； ④点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 18. 如图，和相交于点， ，，，分别是，的中线． （1）求证：； （2）连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 19. 小江为了解某小区居民的健身意识，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了人，她将部分调查数据绘制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄___岁 问题：你会主动了解健身知识吗？ .从不了解 .偶尔了解 .经常了解 问题：生活中你参加健身锻炼吗？ .从不参加 .偶尔参加 .经常参加 请根据统计图回答问题： （1）在小婷调查的人中，岁以下的有__________人，岁岁的有_________人，岁以上的有__________人． （2）小婷所居住的小区共有居民人，请你估计经常参加健身锻炼的有多少人？ 20. 如图，弦，交于点，且点是的中点，连接． （1）求证：； （2）如图，若是的直径，且，，求的长． 21. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，都是格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，完成画图． （1）在图（）中，先画关于的对称图形，再在上画点，使； （2）在图（）中，先将线段绕点逆时针旋转，先画出对应线段，连接，，再在上画点，使． 22. 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到． （1）当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； （2）已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 23. 问题提出 如图（1），四边上依次有，，，四点，连接，交于点，，，试用含的式子表示． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，且时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），求的值（用表示）． 问题拓展 （3）如图（3），在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，连接，交于点，且，若，，直接写出的值． 24. 抛物线交轴于点，，与轴交于点． （1）直接写出，的值和点的坐标； （2）如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标； （3）如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024江汉区中考模拟数学试卷（二） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. ﹣3的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3， 故选D． 【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键． 2. 下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是轴对称图形，故此选项合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数．则下列事件中是随机事件的是（ ） A. 出现的点数大于 B. 出现的点数是 C. 出现的点数是 D. 出现的点数小于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】、出现的点数大于是必然事件，此选项不符合题意； 、出现点数是是不可能事件，此选项不符合题意； 、出现的点数是是随机事件，此选项符合题意； 、出现的点数小于是不可能事件，此选项不符合题意； 故选：． 4. 如图是由5个相同小正方体搭成的几何体，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，底层是三个正方形，上层的中间是一个正方形． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算，即可得出答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算正确； D、，故该选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，， 两个三角板中有刻度的边互相垂直， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 7. 有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三、四把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，画出树状图即可根据概率公式求解． 【详解】将两把不同的锁分别用与表示，四把钥匙分别用表示，且钥匙能打开锁，钥匙能打开锁，画树状图得： 根据树状图可知共有种等可能的结果，一次打开锁的有种情况 所以一次打开锁的概率为： 故选：C． 8. 李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有（ ） A. 15.5cm B. 19.5cm C. 23cm D. 30cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系， 设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为，根据题意列方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设每两个碗叠放在一起比单独的一个碗增高，单独一个碗的高度为， 根据题意得： 解得： ． 则8个碗放在一起时，它的高度为． 故选B． 9. 如图， 内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 10. 函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置． 11. 我国航天事业发展越来越吸引人们关注，刚返回地面的神舟号三名航天员接受采访的短视频最近在短视频平台的点赞量达到万次，数据万用科学记数法可表示是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则． 【详解】解：万， ， 故答案为：． 12. 写出一个反比例函数，在每一个象限内，使y随x的增大而增大，这个反比例函数的解析式可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设该反比例函数的解析式是，再根据它在每个象限内，随增大而增大判断出的符号，选取合适的的值即可． 【详解】解：设该反比例函数的解析式是， ∵它在每个象限内，随增大而增大， ∴， ∴符合条件的一个反比例函数的解析式可以为： (不是唯一答案，只需即可)． 故答案为：(不是唯一答案)． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，不是唯一答案，只要写出符合条件的的反比例函数的解析式即可． 13. 计算的结果是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式运算以及因式分解，根据运算法则即可求解． 【详解】 故答案为： 14. 某型号飞机的机翼形状如图所示，，根据图中数据计算得到的长度是__________．（精确到米，参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，以及等腰直角三角形的性质，过点C作交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点F．由等腰三角形的性质可得出，由勾股定理求出，解求出，根据即可求出答案． 【详解】如图所示，过点C作交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点F． 在中，，， ∴． 在中，， ， ∴ 故答案为：． 15. 如图，把一张宽为的长方形纸片沿，折叠．顶点，，，的对应点分别为，，，，点与重合，点恰与，的交点重合．若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，证明得运用相似三角形的性质可得证明可求出，由勾股定理求出求出解出即可得出结论 【详解】解：∵， ∴设 由折叠得， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得， 经检验，是原方程的解， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， 又， ∴， ∴ ∴ ∴，即 ∴， 在中， 又 则 又 ∴， ∵ ∴ 解得，， ∴， 故答案为： 16. 已知抛物线中，满足．下列四个结论： ①若，则当时，都随的增大而减小； ②该抛物线与轴一定有两个交点； ③当时，的最小值为，则； ④点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是． 其中正确的结论是__________（填写序号）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴交点，二次函数的性质以及二次函数的最值，当时，求出b的值，从而求出抛物线对称轴，根据二次函数的性质即可判断①；根据，从而得出判别式，即可判断②；当y的最小值为时，分三种情况讨论即可得出结论；先根据点都在这个二次函数的图象上，得出b，c与n的关系，再根据在抛物线上，得出t与n的关系，然后根据对称轴是直线得出结论． 【详解】解：①若， ∵ ∴ ∴抛物线为，对称轴为，且开口向上， ∴当时，都随的增大而减小； 故①错误， ②当时，， 则 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴有两个不相等的实数根， ∴该抛物线与轴一定有两个交点； 故②正确； ③∵抛物线 ∵． ∴ ∴， 对称轴为， 当时，的最小值可能为时，时，时， 当时，， ∴ 则当时，最小值为，矛盾， 当时，， 解得， ∴， 当时，最小值为，矛盾， 当时，最小值为， 此时，，解得或， 当时，，抛物线为， 此时当时，最小值为，矛盾， 当时，，抛物线为， 此时当时，最小值为，符合题意，故③正确， ④∵点都在这个二次函数的图象上， ∴抛物线为的对称轴是直线． ∴. ∴． ∴抛物线为， 又在抛物线上， ∴， ∴， 由题意，，即， 又， ∴， 解得：或． 故④错误． 综上，正确的有②③． 故答案为：②③ 三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 求满足不等式组的整数解． 【答案】，0，1 【解析】 【分析】本题考查的是求解不等式组的整数解，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，最后确定符合条件的整数解即可. 【详解】解：， 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集是 是整数， 取值是，0，1， 18. 如图，和相交于点， ，，，分别是，的中线． （1）求证：； （2）连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明见解析 （2）（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握全等三角形和矩形的相关性质与判定是解题的关键． （1）证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再利用矩形的判定方法添加条件使四边形为矩形即可． 【小问1详解】 证明：在与中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 添加（答案不唯一），理由如下： ∵，分别是，的中线， ∴，， 由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 19. 小江为了解某小区居民的健身意识，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了人，她将部分调查数据绘制成如下两个统计图． 调查问卷 年龄___岁 问题：你会主动了解健身知识吗？ .从不了解 .偶尔了解 .经常了解 问题：生活中你参加健身锻炼吗？ .从不参加 .偶尔参加 .经常参加 请根据统计图回答问题： （1）在小婷调查的人中，岁以下的有__________人，岁岁的有_________人，岁以上的有__________人． （2）小婷所居住的小区共有居民人，请你估计经常参加健身锻炼的有多少人？ 【答案】（1），，； （2）估计经常参加健身锻炼的有人． 【解析】 【分析】（）根据扇形统计图中百分比分别乘以即可求解； （）先计算经常参加健身锻炼的所占百分比乘以即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，能从统计图表获取信息并正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：岁以下的有：（人）， 岁岁的有：（人）， 岁以上的有：（人）， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ∵小婷所居住的小区共有居民人， ∴经常参加健身锻炼的有（人）， 答：估计经常参加健身锻炼的有人． 20. 如图，弦，交于点，且点是的中点，连接． （1）求证：； （2）如图，若是的直径，且，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）由点是的中点，得，则，证明，根据相似三角形的性质即可求证； （）设，的半径为，则，由（）和勾股定理得，则，解得：，从而求出，连接交于点，由垂径定理推论得，根据三角形的等面积求出，垂径定理得出，再由勾股定理求出即可． 【小问1详解】 证明：∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，的半径为， ∵是的直径， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（）得， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 连接交于点， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理及推论，相似三角形的判定与性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点，，都是格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，完成画图． （1）在图（）中，先画关于的对称图形，再在上画点，使； （2）在图（）中，先将线段绕点逆时针旋转，先画出对应线段，连接，，再在上画点，使． 【答案】（1）作图见解析； （2）作图见解析． 【解析】 【分析】（）根据轴对称的性质可画出，再根据正方形的性质画出线段的垂直平分线即可找到点； （）根据网格特点及旋转的性质可画出线段，再由可得四点共圆，得到，过点作出的平行线与的交点即可点； 本题考查了轴对称的性质，正方形的性质，线段垂直平分线的性质，四点共圆，圆周角定理，作平行线，掌握正方形及圆周角定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，和点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，线段及点即为所求． 由旋转得： 四点共圆， 由图可得： ． 22. 有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到． （1）当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； （2）已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【小问1详解】 解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； 【小问2详解】 解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 23. 问题提出 如图（1），的四边上依次有，，，四点，连接，交于点，，，试用含的式子表示． 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，且时，直接写出的值； （2）再探究一般情形．如图（1），求的值（用表示）． 问题拓展 （3）如图（3），在四边形中，，，点，分别在，的延长线上，连接，交于点，且，若，，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，过点作于点N，根据正方形性质可证明，从而可得； （2）过点作于，过点作于点N，由平行四边形面积公式可得：，再证明，即可得； （3）连接BD，过点A作，过点D作，交于N，交延长线于，延长交延长线于K，构造（2）模型，可得：，再证明，，进而证明，再利用相似三角形的性质求出，，，在等腰构造直角三角形求出即可解题． 【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于点N， ∴， 又∵四边形是平行四边形，且，， ∴四边形是正方形， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于，过点作于点N， ∴， ∵是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）连接，过点A作，过点D作，交于N，交延长线于M，延长交延长线于K， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴平行四边形是菱形， 设，则， 由，得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质，解题关键是构造相似三角形转化线段比例关系，解（3）的关键是构造同（2）的模型线段之间的关系，再利用求解线段． 24. 抛物线交轴于点，，与轴交于点． （1）直接写出，的值和点的坐标； （2）如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标； （3）如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标． 【答案】（1），， （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解直角三角形，相似三角形的知识，解题的关键是掌握待定系数法求出参数，解直角三角形的运用，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，即可． （1）把点，的坐标代入，即可解出，；根据函数的对称轴：，即可； （2）根据，，推出，即，得到，设，则，求出点的坐标，根据点在抛物线，即可．； （3）根据平移得到抛物线的解析式，设点，，直线的解析式为：，过点作轴交于点，过点作轴交于点，根据相似三角形的判定和性质，则，求得，根据一次函数的性质，则直线的解析式为：；根据，则为直角三角形，斜边，即点在以为圆心，为半径的圆上，当时，最大，过点作轴交于点，设点，根据勾股定理，相等三角形的判定和性质，则，得到，即可． 【小问1详解】 ∵抛物线交轴于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； ∵二次函数的对称轴：， ∴， ∴， ∴点． 【小问2详解】 作轴于点， ∵点，点 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴点， ∵点在二次函数， ∴， 解得：（舍），， ∴． 【小问3详解】 ∵抛物线平移到顶点在原点的位置， ∴现抛物线解析式为：， 设点，，直线的解析式为：， 过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，在直线上， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴直线过点， ∵， ∴为直角三角形，斜边， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 当时，最大， ∴，，， 过点作轴交于点，设点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴此时点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$