精品解析：2024年重庆市育才中学校九年级下学期中考模拟(二）四诊数学试题

重庆育才中学教育集团初2024届初三（下）模拟自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线（）的顶点坐标是（，），对称轴是直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 在，，0，这四个数中，属于负整数的是（ ） A B. C. 0 D. 2. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何图形，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 下列图形都是用同样大小的闪电图案按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个闪电图案，第②个图形中共有9个闪电图案，第③个图形中共有13个闪电图案，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中闪电图案的个数为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 8. 如图，是的直径，切于点A，，交于点C，若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 3 9. 如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中错误的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是_______. 13. 某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 14. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图像上一点，点B是反比例函数在第一象限内图像上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是________． 15. 在矩形中，以D为圆心，为半径画弧，交于点E，再以为直径作半圆交弧于点F，连接，若，则图中阴影部分的面积为________． 16. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，为的中点，连接，若，则的长度为________． 17. 若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 18. 一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则________；同时，若、还满足，则所有可能值中的最大值与最小值的差为________． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点D作的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）． （2）证明：∵， ∴． ∵ ∴①． 平分， ∴② 在和中， ∴． ∴④ ∵， ， ∴． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于________________． 21. 某校想了解八年级学生对食品安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，测试成绩（百分制）整理如下： 信息一： 抽取学生测试成缋分布表 组别 成绩/分 频数 合计 信息二： 组的成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息回答下列问题： （1）填空：________，_________，_________%； （2）本次所抽取学生成绩的平均分为分，小邕说：“我的成绩是分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由； （3）成绩不低于分的学生食品安全知识掌握情况良好，若八年级学生约有人，试估计八年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数． 22. 某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ （2）若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 23. 如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y． （1）求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； （2）根据函数图象，写出该函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围． 24. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，） （1）求长度（结果精确到米）； （2）小沙准备从点跑步到点去见小渝，小沙决定选择一条较短线路，请计算说明小沙应选择路线，还是路线？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 26. 已知为等边三角形，D是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图1，延长交于点F，若，，求的长； （2）如图2，将绕点C顺时针旋转到，延长至点H，使得，连接交于点N，求证； （3）如图3，，点H是上一点，且，连接，点K是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆育才中学教育集团初2024届初三（下）模拟自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线（）的顶点坐标是（，），对称轴是直线． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑． 1. 在，，0，这四个数中，属于负整数的是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小于零的整数是负整数，依次判断即可． 【详解】解：选项A：是负分数，故不符合题意； 选项B：是正分数，故不符合题意； 选项C：0是整数，不是负整数，故不符合题意； 选项D：是负整数，故符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数，小于零的整数是负整数，解答本题的关键是掌握负整数的定义． 2. 如图是由6个大小相同的正方体搭成的几何图形，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了小立方体搭建的几何体的三视图，根据三视图的画法判断即可，熟练掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：从正面看到的平面图形是， 故选：B． 3. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ，A说法正确，不符合题意； 是高， ， ，B说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，而与不一定相等，C说法错误，符合题意； ， ，D说法正确，不符合题意； 故选：C． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数定义，将点的坐标逐个代入函数解析式检验即可． 【详解】解：A、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； B、当时，，此函数图象经过，故本选项符合题意； C、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； D、当时，，此函数图象不经过，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，与位似，点为位似中心，相似比为，若的周长是，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长是， ∴的周长， 故选：． 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，熟练掌握二次根式的混合运算法则和无理数估算的方法是解题的关键． 先计算出原式，再估算出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 7. 下列图形都是用同样大小的闪电图案按一定规律组成的，其中第①个图形中共有5个闪电图案，第②个图形中共有9个闪电图案，第③个图形中共有13个闪电图案，按此规律摆放下去，则第⑦个图形中闪电图案的个数为（ ） A. 29 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律探究，正确理解图形的变化规律得到计算规律是解题的关键，根据前三个图形中闪电的数量得到计算规律，据此解答． 【详解】解：第①个图形中共有个闪电图案， 第②个图形中共有个闪电图案， 第③个图形中共有个闪电图案， ， ∴第⑦个图形中闪电图案的个数为， 故选A． 8. 如图，是的直径，切于点A，，交于点C，若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形，含度角的直角三角形的性质等知识，根据切线的性质得出，在中，根据正切定义求出，即可求出，在中，根据含度角的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵切于点A， ∴， 又，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据SAS证明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根据三角形的面积公式求出AD，根据勾股定理求出BD即可． 【详解】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF， 在△BAF和△EAF中， ， ∴△BAF≌△EAF(SAS)， ∴BF=EF， ∴AF⊥BE， 又∵AF＝4，AB＝5， ∴， 在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BDF中，，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换、三角形的面积、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，运用三角形的面积求出AD的长度是解答本题的关键． 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中错误的个数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键． 根据题中所给新定义运算，得，，，所以，，为0、4、6三个数中的一个数，故，，三个数中最大的数是6，可判定①错误；根据当时，当时，当时，求出x值，即可判定②错误；根据题中所给新定义运算，计算出，，，…，，即可判定③正确． 【详解】解：①若，，，则有：，，，所以，，为0、4、6三个数中的一个数，故，，三个数中最大的数是6，说法错误； ②若，，， 当时，即，则，所以原方程无实数根； 当时，即，则，所以原方程无实数根； 当时，即，解得：，； 综上所述：若，，，且，，中最小值为，则，；故原说法错误； ③依题意可设，，， ∴， 同理：，，， ， 同理：， ∴ … ∴ ∵，，是给定的三个数， ∴是定值，即的值为定值， ∴给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第次操作的结果是，，，则的值为定值，说法正确； ∴错误的有①②，共2个． 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算法则，掌握零指数幂的运算性质是解本题的关键． 化简绝对值，零指数幂，然后再计算即可． 【详解】解：， 故答案为：3． 12. 中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解. 【详解】解：将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D， 用列表法列举出从4部名著中选择2部所能产生的全部结果： A B C D A BA CA DA B AB CB DB C AC BC DC D AD BD CD 由表中可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即DB，BD， 所以恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率是＝， 故答案为. 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比. 13. 某县开展老旧小区改造，2020年投入此项工程的专项资金为1000万元，2021、2022年投入资金一共为3440万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据2020年投入此项工程的专项资金及该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率，可得出2021、2022年投入此项工程的专项资金，结合2021、2022年投入资金一共为3440万元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：年投入此项工程的专项资金为1000万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为， 年投入此项工程的专项资金为万元，2022年投入此项工程的专项资金为万元． 根据题意得：． 故答案为：． 14. 如图，点A是反比例函数在第二象限内图像上一点，点B是反比例函数在第一象限内图像上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC=BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是________． 【答案】3 【解析】 【分析】分别过、两点作轴的垂线，构成直角梯形，根据，判断为直角梯形的中位线，得出，根据双曲线解析式确定、两点的坐标及、的长，根据求解． 【详解】解：分别过、两点作轴，轴，垂足为、， ， ， 设，所以， ． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合运用，关键是作辅助线构造直角梯形，根据AC=BC，得出OC为直角梯形的中位线，利用面积的和差关系求解． 15. 在矩形中，以D为圆心，为半径画弧，交于点E，再以为直径作半圆交弧于点F，连接，若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆中阴影面积的求法，涉及矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和熟记扇形面积求法是解题的关键．连接，过点作于点，先证明是等边三角形，再利用求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 根据两次画弧分别得：，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，，分别为，的中点，与交于点，为的中点，连接，若，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解决本题的关键． 由已知及正方形的性质可求，证明后可得，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果． 【详解】解：正方形， ，， ，分别为，的中点， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 故答案为：． 17. 若整数a使关于x的不等式组有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，掌握一元一次不等式组解集的计算方法以及分式方程的解、增根的定义是正确解答的关键． 根据分式方程的解，增根的定义以及一元一次不等式组整数解的定义进行计算即可． 【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 当时，即， 解得， 又关于的分式方程有整数解， 为偶数， 不等式的解集为， 不等式的解集为， 由于关于的不等式组有且只有2个偶数解， 所以， 即， 为偶数， 或， 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：10． 18. 一个四位正整数m，如果m满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称m为“对称数”，将m的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：对称数时，，则．已知s、t都是“对称数”，记s的千位数字与百位数字分别为a，b，t的千位数字与百位数字分别为x，y，其中，，，a，b，x，y均为整数．若能被8整除，则________；同时，若、还满足，则所有可能值中的最大值与最小值的差为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据对称数定义表示出， 得到， 根据能被8整除， ，得到同理得 ，根据条件得到，由得到得到根据x，y均为整数，分别列举出x，y的值代入求和即可． 本题考查了新定义，因式分解的应用，数的整除性，关键是正确理解新定义，利用代数式的值进行相关分类讨论，把新知识转化为熟悉的知识进行解答． 【详解】解： ∵的千位数字与百位数字分别为， ∵能被8整除， 且 ， ， 同理得 ， ， 即 ∵均为整数， 当时， 符合题意，此时 当 时， ，不符合题意， 当 时，符合题意，此时 当 时，，不符合题意； 当 时，，不符合题意； 当 时，符合题意，此时 当 时，，不符合题意； 当 时，，不符合题意， 当 时，符合题意，此时 ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为： 故答案为：，． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是整式混合运算，分式的混合运算，熟练掌握单项式乘多项式法则、完全平方公式、分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先算乘法，再算加减即可； （2）先算括号里面的，再算除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点D作的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点D作垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）． （2）证明：∵， ∴． ∵ ∴①． 平分， ∴② 在和中， ∴． ∴④ ∵， ， ∴． 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比等于________________． 【答案】（1）见解析 （2）；；；这个内角的两条邻边边长之比 【解析】 【分析】（1）根据尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线作法，作图即可； （2）根据，再找一条公共边，证明，得到，进而将面积之比转化为相应边的比．对于任意，是的内角平分线，则过点D作于E，于F，利用证明，得到，进而将面积之比转化为相应边的比，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，直线为所作垂段； 【小问2详解】 证明：， ． ∵∠B=90°， ∴， 平分， ． 在和中， ， ． ． ，， ． 所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 已知：在中，是的内角平分线， 求证：． 证明：过点D作于E，于F，如图， ∵是的角平分线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图-作垂线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握三角形全等的判定和性质和角平分线的性质是解题的关键． 21. 某校想了解八年级学生对食品安全知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行测试，测试成绩（百分制）整理如下： 信息一： 抽取学生的测试成缋分布表 组别 成绩/分 频数 合计 信息二： 组的成绩（单位：分）分别为：，，，，，，，，，，，，，，，． 请根据以上信息回答下列问题： （1）填空：________，_________，_________%； （2）本次所抽取学生成绩的平均分为分，小邕说：“我的成绩是分，比平均分高，所以我的成绩超过了一半的同学．”你认为他的说法正确吗？请说明理由； （3）成绩不低于分的学生食品安全知识掌握情况良好，若八年级学生约有人，试估计八年级食品安全知识掌握情况良好的学生人数． 【答案】（1），，； （2）他的说法是错误的，理由见解析； （3）估计本年级中食品安全意识良好的学生人数为人． 【解析】 【分析】本题考查了统计表和扇形统计图综合运用，样本估计总体． （1）根据组的频数和所占是百分比求，根据组所占的百分比计算的值，根据组的频数计算即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用总人数乘以成绩不低于分的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：依题意，，，； 故答案为：，，． 【小问2详解】 他的说法是错误的． 理由如下： ∵在参加测试的40名学生测试成绩中，排在最中间的两个分数都是85， ∴中位数为． , ∴有一半以上的同学成绩超过了84分． 【小问3详解】 解：（人） 答：估计本年级中食品安全意识良好的学生人数为350人 22. 某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的倍，若甲施工队单独修建这项工程，那么他比乙施工队单独修建这项工程提前4天完成． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ （2）若甲施工队每天的工人工资为2万元，乙施工队每天的工人工资为万元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？ 【答案】（1）甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米 （2）共需修建费用元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米，列方程并进行计算，注意验根； （2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为20000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：设乙施工队每天修建的长度为千米，则甲施工队每天修建千米， 依题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（千米）， ∴甲施工队每天修建千米，乙施工队每天修建1千米； 【小问2详解】 解：设甲施工队单独修建天， 依题意，得， 解得， ∴甲施工队单独修建5天， 则（元）， ∴共需修建费用元． 23. 如图，在矩形中，．动点P从点A出发，沿折线运动（运动路线不包含点A、点C），当它到点C时停止，设点P运动的路程为x，连接、．设的面积为y． （1）求出y与x的函数关系式，并注明x的取值范围，在x的取值范围内画出该函数图象； （2）根据函数图象，写出该函数的一条性质； （3）若直线与该函数图象有两个交点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】此题考查了动点问题，画函数图象，求一次函数的解析式，正确理解动点问题求出函数解析式是解题的关键： （1）由题意知，当时，，则；当时，，则；然后作图象即可； （2）根据图象作答即可； （3）将；分别代入，求出m的值，结合图象进而可得取值范围． 【小问1详解】 解：由题意知，当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴； 作图如图2； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； 【小问3详解】 当时，， 将代入，得，解得； 将代入，得，解得； ∴时，直线与该函数图象有两个交点 24. 为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边形循环步道，如图，经勘测，点在点的正南方，点在点的正东方，点在点的东北方向，点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向米处．（参考数据：，，） （1）求的长度（结果精确到米）； （2）小沙准备从点跑步到点去见小渝，小沙决定选择一条较短线路，请计算说明小沙应选择路线，还是路线？ 【答案】（1）米； （2）小沙应选择路线． 【解析】 【分析】（）过点作交于点，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （）根据正切的定义求出，根据余弦的定义求出，分别求出路线和的距离，判断即可； 本题考查是解直角三角形的应用一方向角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 过点作交于点，如图， 由题意，得 ， 在中，， ∴， 在中，，且， ∴， 又∵， ∴的长度为米； 【小问2详解】 由（）得：，， ∴， 在中，，且， ∴， ， ∴路线长为：， 路线长为：， ∴小沙应选择路线． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，平移后抛物线上一点G，使得，请写出所有符合条件的点G的坐标．并写出求解点G的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）有最大值，此时 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，分别求得，，则，设，则，可得，当时，有最大值，此时； （3）平移后的抛物线解析式为，在轴上取点，连接，能推导出，过点作交于点，利用等积法能求，则，可得，过点作轴交于点，设，由方程，求得或． 【小问1详解】 解：将，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交直线于点，交轴于点，过点作交于点，如图1， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵ ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， ， ， 当时，有最大值，此时； 【小问3详解】 解：原抛物线沿射线方向平移个单位长度， 抛物线沿着轴负半轴平移2个单位长度，沿着轴正半轴平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 在轴上取点，连接，过点作交于点，如图2， ， ， ， ， ， ，， ， 解得， ， ， ， 过点作轴交于点，设， ， 解得或， ∴或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 26. 已知为等边三角形，D是边上一点，连接，点为上一点，连接． （1）如图1，延长交于点F，若，，求的长； （2）如图2，将绕点C顺时针旋转到，延长至点H，使得，连接交于点N，求证； （3）如图3，，点H是上一点，且，连接，点K是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，过点作于点，利用等腰直角三角形的性质求得，再解直角三角形求解即可． （2）如图2，延长到，使，连接，过点作，交于点，先后证明，，，，利用三角形全等的性质和线段的和差求解即可． （3）过点，分别作的垂线，分别交于点，交于点，作，交于点，证明，可得，，，再证明，可得，设，可得，得到当的周长最小值时，的值最小，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，延长到，使，连接，过点作，交于点， 为等边三角形， ， ， 由旋转的性质得，， ，，， ， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又，， ， ，， 同理，， ， ； 【小问3详解】 解：如图3，过点，分别作的垂线，分别交于点，交于点，作，交于点， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ． 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 的周长， 的周长最小值时，的值最小， 当时，的值最小，此时， 即点，点重合，如图4， 的面积． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次函数解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$