精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题

大庆中学2023----2024学年度下学期期中考试高 二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）. 1. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【详解】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 2. 已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ） A. 245 B. 244 C. 242 D. 241 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为成等差数列， 所以，即，① 又因为，所以，② 由①②解得，， 所以. 故选：B 3. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得函数在点处的切线方程，得到切线与坐标轴交点坐标，由面积求得. 【详解】易知，，且， 所以直线， 它与两坐标轴的交点坐标分别为和， 可得，又， 解得. 故选：C 4. 小张、小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球、绘画、书法、游泳、钢琴”这五个随机选择一个，记事件：“两人至少有一人选择篮球”，事件：“两人选择的兴趣班不同”，则概率（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型公式及条件概率公式进行计算即可. 【详解】由题意可知：， 而事件表示：有一个选择篮球，另一个选择其他兴趣班， 则， 所以， 故选：. 5. 设是等比数列，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，整理得：，根据等比数列通项公式，可求得，代入所求，即可得答案. 【详解】解：设等比数列的公比为， 由，可得，整理得：， 所以，解得：， 所以， 故选：B． 6. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象判断函数值的正负，根据函数的单调性判断导数值的正负，即可求得答案. 【详解】由函数图象可知当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 故的解集是， 故选:C. 8. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“均倒数”的定义得，然后利用前n项和的关系求得，从而得，最后利用裂项相消法求和即可. 【详解】根据“均倒数”的定义，有， 故， 故，两式相减得， 当时，也符合上式，故. 所以，注意到， 故. 故选：D 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分）. 9. 某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（ ） A. 至多有1件不合格品的抽法种数为 B. 都是合格品的抽法种数为 C. 至少有1件不合格品的抽法种数为 D. 至少有1件不合格品的抽法种数为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：分只有1件不合格品，没有不合格品两种情况解答；对于B：都是合格品相当于从198件合格品抽取3件合格品；对于C：分只有1件不合格品，有2件不合格品两种情况解答；对于D：利用间接法从反面解答. 【详解】对于A：至多有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是没有不合格品，故抽法种数为，A错误； 对于B：都是合格品的抽法种数为，B错误； 对于C：至少有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是有2件不合格品，故抽法种数为，C正确； 对于D：至少有1件不合格品的抽法种数为，D正确. 故选：CD. 10. 等比数列的公比为，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据等比数列的成等差数列，求出的值，再根据等比数列的性质逐项判断即可. 【详解】因为成等差数列， 所以，即， 又因为，所以，解得或， 而，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】令，则，，，根据对数的运算法则及对数函数的性质判断A，利用对数的运算性质及基本不等式判断B，令利用导数说明函数的单调性，即可证明，从而得到，即可说明C，结合C得到，即可判断D. 【详解】令，则，，． ∵，故A错误； ∵ ，当且仅当时取等号，故B正确； 令，则， 所以当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减，因此， ∴，当且仅当时取等号，∴，即， 所以，故，故C正确； ∵，所以，即，所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）. 12. 已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，，从而可求得，利用其通项公式即可求得展开式中的常数项． 【详解】解：由题意可得，，解得，所以展开式的通项为 ，由得，，所以常数项为第七项． 故答案为： 13. 洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：，即，且．设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据递推关系可得的周期性，再根据周期性求解即可. 【详解】的各项除以的余数分别为， 故可得的周期为，且前项分别为， 所以. 故答案为：. 14. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是_______. 【答案】 【解析】 【分析】先判断为不等式的解，再当时，根据题意令，求导后结合已知条件可得在上递增，且为偶函数，由，得，则将转化为，再利用的奇偶性和单调性可求得结果. 【详解】当时，由，得，则， 所以成立，所以符合， 当时，令，则， 因为， 当时，， 所以在上递增， 因为定义在上的偶函数，所以， 所以，所以为偶函数， 因为，定义在上的偶函数，所以， 所以 由，得，所以， 所以， 因为在上递增， 所以，且，得，且， 综上，，即不等式的解集是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是根据题意构造函数，求导后判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设是边的中点，若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）在中利用余弦定理求出，最后利用余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， ，，，， 又，； 【小问2详解】 在中，由余弦定理有， ，，是边的中点，， 整理得，解得（舍去）或， . 16. 四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点. （1）求证：平面平面BDE； （2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而得到平面PAC，从而得到面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两平面的法向量，求出二面角的大小. 【小问1详解】 底面ABCD是正方形， ， 平面ABCD，平面ABCD， ，又平面PAC， 平面PAC，又平面BDE， 平面平面BDE. 【小问2详解】 平面ABCD，平面ABCD， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面ABE的法向量为，则， 解得，令得，故， 设平面DBE的法向量为， 则， 解得，令得，故， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以，所以锐二面角为. 17. 已知为正项数列的前n项积，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得，然后两边取对数，结合等比数列的定义，即可证明； （2）根据题意，由条件可得，结合错位相减法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意知①， 当时，. 当时，②. ①-②得适合上式， ③，则④. 得， 两边同时取以2为底的对数，得， 则，又， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由题意及（1）知，则， 所以， 两式相减得， . 18. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据求出，，从而得到，求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知直线l的方程为，，，联立双曲线方程，结合根的判别式和得到不等式，求出m的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线和直线的方程，联立得到，将代入，化简得到，得到答案. 【小问1详解】 由题意可知，，因为，所以. 因为，，得， 又因为在双曲线上，则， 所以. 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 （i）由题意知直线l的方程为，，. 联立， 化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或. （ii），，则， 直线的方程为，直线的方程为. 联立直线与的方程，得， 所以， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上 【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的. 19. 已知. （1）求的单调区间及极值； （2）（i）恒成立，求a的取值范围； （ii）证明时，； （3）时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）在上递减，在上递增，极小值0，无极大值 （2）（i） （ii）证明：由，得， 所以，令， 则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以，所以，得， 即a的取值范围为； （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导后，再令，可求得在上递减，在上递增，而当时，， ，从而可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （2）（i）由，得，构造函数，利用导数求出其最大值即可；（ii）由（i）知，当时，，令，利用导数可求得，则得，从而可证得结论； （3）由，得，由（2）可知，且当时，取等号，设，结合零点存在性定理可得，，从而可求出a的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 即在上递减，在上递增， 因为当时，，而， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以当时，取得极小值，无极大值； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，当时，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以，所以， 因为， 所以时，； 【小问3详解】 由，得， 所以， 所以 由（2）知，当且仅当时，取等号，即时，， 设，其在上递增， 因为当时，，当时，， 所以存在唯一，使， 所以， 所以， 所以当时，在上恒成立， 当时，显然时，不成立， 综上 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是将转化为，再结合恒成立可求得结果，考查数学转化思想和计算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2023----2024学年度下学期期中考试高 二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2.请将答案正确填写在答题卡上. 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）. 1. “四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（ ） A. 245 B. 244 C. 242 D. 241 3. 已知函数（）在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4. 小张、小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球、绘画、书法、游泳、钢琴”这五个随机选择一个，记事件：“两人至少有一人选择篮球”，事件：“两人选择的兴趣班不同”，则概率（ ） A. B. C. D. 5. 设是等比数列，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分）. 9. 某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（ ） A. 至多有1件不合格品的抽法种数为 B. 都是合格品的抽法种数为 C. 至少有1件不合格品的抽法种数为 D. 至少有1件不合格品的抽法种数为 10. 等比数列的公比为，且成等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 11. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）. 12. 已知二项式的展开式中第四项与第七项的二项式系数相等，则展开式中常数项为____________. 13. 洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列为：，即，且．设数列各项依次除以4所得余数形成的数列为，则______． 14. 已知定义在上的偶函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是_______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）设是边的中点，若，求. 16. 四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，，点E是棱PC上一点. （1）求证：平面平面BDE； （2）当E为PC中点时，求所成二面角锐角的大小. 17. 已知为正项数列的前n项积，且. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求的前n项和. 18. 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且. （1）求双曲线C的方程； （2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 19. 已知. （1）求的单调区间及极值； （2）（i）恒成立，求a的取值范围； （ii）证明时，； （3）时，恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $