精品解析：山东省济南市山东实验中学2023-2024学年高二下学期第三次学情检测（5月）数学试题

山东省实验中学高二年级下学期第三次学情检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 2. 已知事件A，B，若，，则（ ） A B. C. D. 3. 若，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 4. 若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（ ） A 18种 B. 24种 C. 36种 D. 54种 5. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 2.4 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 8. 已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 对任意，都有 C. 对任意，都存在，使得 D. 若过点可以作曲线的两条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则c的值为______． 13. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______． 14. 已知函数，若存在，使得成立，则k的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 005 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求c的值； （2）求在区间上最值． 18. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数． （1）若有放回的抽取，求X的分布列与期望； （2）若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率． 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省实验中学高二年级下学期第三次学情检测数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数求导法则与基本初等函数求导公式即可 【详解】由复合函数求导法则，， 故选：B 2. 已知事件A，B，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用条件概率公式计算即可求出. 【详解】因为, . 所以. 故选：A. 3. 若，则实数x的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 2或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数的定义及组合数的性质即可求解. 【详解】由，得或，解得或， 所以实数x的值为2或6. 故选：D 4. 若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 54种 【答案】A 【解析】 【分析】先求将玫瑰、月季、山茶、芙蓉盆鲜花均分为2组的方法数，再求将3组鲜花分配到个房间的方法数，结合分步乘法计数原理可得结论. 【详解】先分组，已知牡丹、郁金香必须放入同一房间为一组则剩下四盆花有组， 再将3组鲜花分配到3个不同的房间中，共有种排法， 由分步乘法计数原理可得不同的放法数为． 故选：A. 5. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在上单调递增，可得在上恒成立，然后利用分离参数法即可求解. 【详解】因为，所以. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即，即可 令，则 由函数单调性的性质知，在上减函数， ，即. 所以实数的取值范围为。 故选：A. 6. 云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型（其中e为自然对数的底数）拟合，设，得到数据统计表如下： 年份 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7 2 24 3 3.6 4 由上表可得经验回归方程，则2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可得线性回归方程，再由回归方程求出2025年的预测值，代入即可得解. 【详解】因为， 所以， 即经验回归方程， 当时，， 所以， 即2025年该科技公司云计算市场规模y的估计值为， 故选：B 7. 已知的展开式中第三项与第四项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 【答案】C 【解析】 【分析】依题意二项式展开式的系数即为其二项式系数，即可得到其第三项、第四项系数，从而求出，再根据二项式系数的性质判断即可. 【详解】二项式展开式的系数即为其二项式系数， 所以第三项的系数为，第四项的系数为， 所以，即，解得， 所以展开式一共有项，其第项的二项式系数最大. 故选：C 8. 已知离散型随机变量X的分布列为，其中a为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的概率之和为1可求解，进而根据概率公式即可求解. 【详解】，所以； 故 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】使用赋值法可判断AB；令，然后根据通项直接求解可判断CD. 【详解】 取，则有，A正确； 取，则有，B正确； 令，则， 因为，所以，C错误； 因为，，所以，D正确. 故选：ABD 10. 甲盒中装有2个黑球、1个白球，乙盒中装有1个黑球、2个白球，同时从甲、乙两盒中随机取出个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中黑球个数的数学期望为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别求出和这两种情况下的分布列，再求出数学期望. 【详解】当时，X的可能取值为1，2，3，且 ； ； ； 所以. Y的可能取值为0，1，2，且 ； ； ； 所以. 故A，C正确. 当时，X的可能取值为0，1，2，且 ； ； ； 所以. Y的可能取值为1，2，3，且 ； ； ； 所以. 故B错误，D正确. 故选:：ACD. 11. 已知，且，则（ ） A. 存在，使得 B. 对任意，都有 C. 对任意，都存在，使得 D. 若过点可以作曲线的两条切线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出，结合可解出，即有的解析式， 对A，根据单调性与的符号即可判断； 对B，根据单调性，得出函数凹凸性，即可判断； 对C，为割线斜率，根据单调性，可知上是否存在平行于割线的切线，则有，即可判断； 对D，设函数的切线方程，代入可得，此时有两条切线等价于方程有两个互异实根，令，讨论的单调性、最值，即可判断的范围. 【详解】，故，，， 再由，可得，，故， ，故在上单调递增， 对A，在上单调递增且，故不存在，使得，A错； 对B，，在上单调递增，故在上增加得越来越快，图像下凸，故对任意，都有，B对； 对C，由上得，图像下凸，故图像上任意一条割线AB，必存在与AB平行，切点为的切线，此时，即，故C对； 对D，设切点为，则切线方程为，将代入得：，要有两条切线，则方程有两个互异实根， 令，则，则当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，故， 当时，；当时，， 故只需，即可使有两个互异实根，故D对. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则c的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件及正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量，所以直线为正态曲线的对称轴， 而，由正态分布的对称性可知， ，解得. 所以c的值为. 故答案为：. 13. 已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据等高堆积条形图求出喜欢徒步的男女生人数，再由分层抽样方法可得. 【详解】由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人， 则女生应抽取人数为人. 故答案：9 14. 已知函数，若存在，使得成立，则k的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，同构函数，结合函数的单调性，转化为的最大值问题. 【详解】由，可得 即， 构造函数，显然在上单调递增， ∴，即， 令，即求函数的最大值即可， ， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为 ∴，即k最大值为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据通项求解即可； （2）令求出，令，求出，进而得到结果. （3）对等式两边求导，令，求解即可. 【小问1详解】 由题意得：. 【小问2详解】 令，则， 再令，则， 又， 所以 【小问3详解】 两边同时求导得： ， 令，则 16. 某校对学生餐厅的就餐环境､菜品种类与质量等方面进行了改造与提升，随机抽取100名男生与100名女生对就餐满意度进行问卷评分（满分100分）调查，调查结果统计如下表：男生： 评分分组 70分以下 人数 3 27 38 32 女生： 评分分组 70分以下 频数 5 35 34 26 学校规定：评分大于或等于80分为满意，小于80分为不满意． （1）由以上数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联？ 满意 不满意 总计 男生 女生 总计 （2）从男生、女生中评分在70分以下的学生中任意选取3人座谈调研，记为3人中男生的人数，求的分布列及数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表见详解；没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据统计表完成列联表，再根据独立性检验公式算出卡法，判定是否独立； （2）根据题意可得男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则抽取的男生人数为服从超几何分布，再根据公式算出分布列及期望即可． 【小问1详解】 依统计表可得列联表如下： 满意 不满意 总计 男生 70 30 100 女生 60 40 100 总计 130 70 200 则， 故没有的把握认为学生的就餐满意度与性别有关联． 【小问2详解】 男生的评分在70分以下的有3人，女生的评分在70分以下的有5人，则为0，1，2，3． 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 P 故 17. 已知函数在处取得极小值． （1）求c的值； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）的最大值为0 ，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由题意，根据，解得或，然后分情况讨论即可求解； （2）由（1）判断函数在区间上的单调性，然后根据单调性即可求解. 【小问1详解】 解：， 由得或， 当时，， 令，可得或，令，可得， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得极小值； 当时，， 令，可得或，令，可得， 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得极大值，舍去； 综上，； 【小问2详解】 解：由（1）知函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 又因为， 所以的最大值为0 ，最小值为. 18. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品．从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数． （1）若有放回的抽取，求X的分布列与期望； （2）若不放回的抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率． 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为. （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4，求出对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望. （2）总体中合格品的比例为，样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过即样品中合格品的比例大于小于. 【小问1详解】 有放回的抽取，， 根据题意可得X的可能取值为0、1、2、3、4， 所以 , , , . X的分布列为： P 0 1 2 3 4 X 所以X的数学期望. 【小问2详解】 由题意得总体中合格品的比例为， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过， 所以样本中样品中合格品的比例大于小于，即样品中合格品的个数为2或3. , 。 所以 19. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分类解不等式可得； （2）根据函数单调性分类求得，然后解可得. 【小问1详解】 函数的定义域为 当时，解不等式得， 当时，解不等式得， 当时，解不等式得， 当时，不等式无实数解. 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，无单调递增区间. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，所以，显然恒成立； 当时，在上单调递减，所以，显然恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减，所以 因为当时恒成立，所以，解得. 综上，实数m的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$