专题21.14 用指定（合适）的方法解一元二次方程50题（专项练习）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.14 用指定（合适）的方法解一元二次方程50题（专项练习） 1．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 2．用指定方法解方程 (1)（直接开平方法） (2)．（公式法） 3．请用指定方法解下列方程： (1) （用配方法） (2)（用公式法） 4．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 5．按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)（用配方法） (3)（用求根公式法） (4)（用因式分解法） 6．用指定方法解下列方程： (1)（用配方法）； (2)（用因式分解法）． 7．按指定方法解方程： (1)；（因式分解法） (2)．（配方法） 8．用指定方法解方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 9．用指定方法解下列一元二次方程 (1)配方法 (2)公式法 10．按照指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）； (3)． 11．用指定方法解方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 12．用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（公式法）． 13．用指定方法解下列方程． (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 14．用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2)（因式分解法）； (3)（公式法）． 15．按照指定方法解下列方程： (1)（公式法）； (2)（配方法）； (3)（因式分解法）． 16．用指定方法解方程： (1)（公式法） (2)（配方法） 17．用指定方法解下列方程： (1)2x2-5x+1＝0（公式法）； (2)x2-8x+1＝0（配方法）． 18．用指定方法解下列方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（适当方法） 19．按照指定方法解下列方程： (1)2x2+4x+1＝5 （配方法） (2)3x2﹣4x＝1（公式法） (3)（x+1）2＝3（x+1） (4)（x﹣3）（x+2）＝6 20．按指定方法解方程： (1)(配方法)； (2)(公式法） (3) （适当方法）； (4) （配方法） 21．按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法） (2) （用因式分解法） (3) （用配方法） (4)（用求根公式法） 22．按照指定方法解下列方程： （1）．（自选方法） （2）．（配方法） （3）（因式分解法） 23．按指定方法，解下列方程： （1）x2－8x＋12＝0（配方法）； （2）x2＋3x－1＝0（公式法）． 24．用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（因式分解法）； （3）（公式法）． 25．用指定方法解下列方程： (1)（因式分解法） (2)（配方法） 26．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 27．用指定方法解方程： （1）（公式法）； （2）（配方法）． 28．用指定方法解下列方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）． 29．请用指定方法解下列一元二次方程： （1）（公式法） （2）（配方法） （3）（因式分解法） 30．按照指定方法解下列方程： (1)x2＋4x＋1＝13（配方法）； (2)3x2﹣4x﹣1＝0（公式法）； (3)（x＋1）2＝3（x＋1） (4)（x﹣3）（x＋2）＝6 31．请用指定方法解下列一元二次方程． （1）（配方法） （2）（公式法） 32．按照指定方法解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）=0 （4） 33．用指定方法解下列一元二次方程： （1）（配方法） （2）（公式法） 34．用指定方法解方程： （1）2x2+4x﹣3＝0（配方法解） （2）5x2﹣8x＝﹣2（公式法解） 35．解方程（用指定方法解下列方程）： （1）(配方法)      （2）(公式法) 36．用指定方法解方程： （1）2x2-5x-7＝0；（配方法） （2）2x2＝2x+1．（公式法） 37．解方程：(用指定方法解下列一元二次方程) (1)2x2+4x﹣1＝0(公式法) (2)x2+6x+5＝0(配方法) 38．用指定方法解下列一元二次方程． （1）x2﹣36＝0（直接开平方法）           （2）x2﹣4x＝2（配方法） （3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）            （4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法） 39．用指定方法解下列一元二次方程： （1）（公式法） （2）（配方法） 40．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） （1）（配方法）；         （2）（公式法） （3）．         （4）． 41．解下列方程：（有指定方法必须用指定方法） （1）；（用配方法解） （2）；（公式法） （3）； （4）． 42．请用指定方法解下列一元二次方程： (1)直接开平方法：； (2)配方法：； (3)公式法：． 43．用合适方法解下列方程 (1)； (2)． (3) (4) 44．按要求解方程（第3小题选择合适方法解方程）： （1）；（公式法） （2）；（配方法） （3） (－2)＋－2＝0． 45．请用指定方法解下列方程： (1)公式法：； (2)因式分解法：． 46．用指定方法解下列方程： (1)（配方法）； (2) （公式法）． 47．用指定方法解方程： (1)（2x-3）2-121=0．（直接开平方法） (2)x2-4x-7=0．（配方法） (3)x2-5x+1=0．（公式法） (4)3（x-2）2=x（x-2）．（因式分解法） 48．按照指定方法解下列方程： （1）（配方法）   （2）（公式法） 49．用指定方法解下列一元二次方程： （1）x2﹣36=0（直接开平方法）； （2）x2﹣4x=2（配方法）； （3）2x2﹣5x+1=0（公式法）； （4）（x+1）2+8（x+1）+16=0（因式分解法） 50． 用指定方法解下列方程 (1) 2x2 ＋5x－2＝0（用配方法）； (2) 9x2－(x－1)2＝0（用因式分解法）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得：； （2）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （3）解：， ∵， ， ∴， 解得：； （4）解：， ∴， ∴或， 解得：． 2．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程； （1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程； 解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的一般方法，准确计算． 【详解】（1）解：， 直接开平方得： ∴，； （2）解：， ，，， ∵， ∴，   ∴，． 3．(1)， (2)， 【分析】（1）配方法解方程即可； （2）公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）， ， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算，是解题的关键． 4．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 5．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）开平方得到，即可求出方程的解； （2）把原方程配方成，再利用开平方法解方程即可； （3）写出，求出，代入即可得到方程的解； （4）移项后因式分解得到，则或，即可得到方程的解． 【详解】（1）解： 开平方得，， ∴或， 解得； （2） 解：原方程整理得． 二次项系数化1，得：， 配方，得：，即， 两边开平方，得， ∴． （3） ∵， ∴， ∴， ∴； （4） 移项得，， 因式分解得，， ∴或， 解得 【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． 6．(1)， (2)， 【分析】（1）直接运用配方法解一元二次方程即可； （2）直接利用平方差公式因式分解解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 或 解得：，； （2）解： 或 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 7．(1) (2)， 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 整理得：， ； （2）解：， ， ， ， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题时要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 8．(1)， (2)， 【分析】（1）运用完全平方公式配方即可解答． （2）运用一元二次方程求根公式解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种方式是解题的关键． 9．(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 10．(1)，； (2) (3)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用分解因式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：； （3）解： 整理得：， 分解因式得：， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键． 11．(1)， (2)， 【分析】（1）先移项，然后确定各项系数，代入求根公式即可得到解方程； （2）先移项，然后提取公因式，令各因式为0，即可解方程． 【详解】（1）解：原方程化为：， ，，， ， ∴， ，； （2）解：原方程化为：， ， 或， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的各种解法步骤是解题关键． 12．(1)， (2)无实数根 【分析】（1）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，变形后开方即可求出解； （2）找出a，b，c的值，代入根的判别式即可判断方程无实数根． 【详解】（1）解：移项得：， 整理，可得， 配方得， 即， ∴， ∴，； （2）解：， ， ，， ∵， ∴方程无实数根． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法、公式法解方程． 13．(1)， (2)， 【分析】（1）先求出的值，再代入公式求出答案即可； （2）移项后把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， 这里，，， △， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了公式法及因式分解法解一元二次方程，准确掌握以上方法是解题的关键． 14．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可； （3）利用公式法求解即可． 【详解】（1）原方程可化为， 等式两边加，得， 由完全平方公式得，， ∴或， 所以原方程的解为，． （2）移项得，， 提取公因式，得， 则或， 解得，． （3）， ∵， 由求根公式得， 所以原方程的解为，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法，因式分解法和公式法求根是解题的关键． 15．(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）根据配方法解一元二次方程； （3）根据因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：方程整理得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （3）解：方程整理得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：，． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后根据配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：， ∵，， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， 两边加上，， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17．(1)x1＝，x2＝ (2)x1＝4+，x2＝4- 【分析】（1）根据公式法，可得方程的解； （2）根据配方法，可得方程的解． 【详解】（1）解：∵a＝2，b＝-5，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝(-5)2-4×2×1＝17， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝． （2）解：移项得， 并配方，得， 即(x-4)2＝15， 两边开平方，得x＝4±， ∴x1＝4+，x2＝4-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法解一元二次方程的关键是配方，利用公式法解方程要利用根的判别式． 18．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程移项，然后根据配方法解一元二次方程； （2）根据一元二次方程求根公式进行计算求解； （3）根据因式分解法解一元二次方程； （4）根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）方程移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，； （2）这里，，， ， ； （3）方程移项得：， 分解因式得：， 解得：，； （4）方程整理得：， 分解因式得：， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19．(1)， (2)，． (3)，． (4)，． 【分析】（1）用配方法解方程即可； （2）用公式法解方程即可； （3）用因式分解法解方程即可； （4）先化简方程，再用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：2x2+4x+1＝5， 2x2+4x＝4， ， ， ， ，， ，． （2）解：3x2﹣4x＝1， 3x2﹣4x-1＝0， ， ，方程有两个不相等的实数根； ， ，． （3）解：（x+1）2＝3（x+1）， （x+1）2-3（x+1）＝0， （x+1）（x+1-3）＝0， x+1＝0，x-2＝0， ，． （4）解：（x﹣3）（x+2）＝6， 化简得，， （x﹣4）（x+3）＝0， x-4＝0，x+3＝0， ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用配方法、因式分解法和公式法解方程． 20．(1)，； (2)，； (3)， ； (4) 【分析】（1）先把常数项移到方程的右边，再对左边进行配方，再方程的左右两边同时加上，左边是完全平方式，右边等于，可以解答； （2）根据方程的系数特点，可先确定各个项的系数，然后求出的值，最后套用求根公式解得； （3）根据因式分解法解一元二次方程； （4）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， 配方，得， 即， 所以， 解得，. （2）， ，，， ， ， 所以，. （3）解：∵3， ∴， 则， ∴或， 解得． （4）∵， ∴， 则，即 ∴ ， 即 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟悉配方法，公式法，因式分解法是解题的关键． 21．(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】（1）把15移到右边，两边同时除以3，然后直接开平方求根； （2）用十字相乘法因式分解求出方程的根； （3）二次项系数是1，一次项系数是6，把7移到右边，用配方法解方程； （4）把右边的项移到左边，用求根公式求出方程的根． 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，． （2）， ∴， ∴或， 解得：，． （3）， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，． （4）， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求，熟练掌握各种解法． 22．（1） ；（2），；（3）． 【分析】（1）原方程整理成一元二次方程的一般形式，用因式分解法即可； （2）先把二次项系数化为1，即两边都除以3，然后配方即可； （3）方程两边分别分解因式，再把左边移项后，提取公因式即可． 【详解】（1）原方程整理得： 即 ∴ （2）方程两边同除以3，得： 配方，得： 根据平方根的定义，得：或 解得：， （3）两边分解因式得：(x+3)(x-3)=2(x+3) 即：(x+3)(x-3)－2(x+3)＝0 提取公因式得：(x+3)(x-5)=0 ∴x+3=0或x-5=0 ∴ 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法较多，有直接开平方法，配方法，公式法及因式分解法等方法，要根据方程的特点灵活选取适当的方法，提高解方程的速度． 23．（1）x1＝6，x2＝2；（2）x1＝，x2＝． 【分析】（1）先把12移到方程的右边，然后方程两边都加16，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可； （2）先求出∆的值，然后根据求根公式计算． 【详解】解：（1）x2﹣8x+12＝0（配方法）， ∴x2﹣8x＝﹣12， ∴(x﹣4)2＝﹣12+16， ∴(x﹣4)2＝4， ∴x﹣4＝±2， ∴x1＝6，x2＝2； （2）x2＋3x－1＝0， ∵a＝1，b＝3，c＝﹣1， ∴∆＝9﹣4×1×(﹣1)＝13， ∴x=， ∴x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 24．（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）等式两边同时加6，利用完全平方公式进行配方即可求解； （2）先移项，再提取公因式，即可求解； （3）利用公式法即可求解． 【详解】（1）等式两边加6，得 由完全平方公式得， 或 所以原方程的解为； （2）移项得， 提取公因式，得 解得 所以原方程的解为； （3） 由求根公式得 即 所以原方程的解为． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的求解方法是解题的关键． 25．(1)，； (2)，． 【分析】（1）利用解一元二次方程因式分解法：先移项，再提取公因式，进行计算即可解答； （2）利用解一元二次方程配方法：当二次项系数为1时，常数项等于一次项系数一半的平方，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 或， ，； （2）解： 或 ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 26．(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方后，再开方，即可得出结果； （2）利用公式法计算即可． 【详解】（1）解： 移项，得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 27．（1），；（2）， 【分析】（1）先确定原方程各项系数的值，再代入求根公式即可得到方程的解； （2）方程整理后，再移项，把二次项系数化为1，最后运用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ∵，，， ∴， 则， ∴，． （2） 把原方程化为． 配方，得， 即． 由此可得． ，． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，熟练地掌握一元二次方程的解法特别是因式分解法解一元二次方程，可以大大降低计算量． 28．（1）x1=，x2=；（2）x1=1，x2= 【分析】（1）利用配方法解方程； （2）利用公式法解方程． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：x1=，x2=； （2）， ∴， ∵a=5，b=-4，c=-1， ∴△=16-4×5×（-1）=36＞0， ∴x=， 解得：x1=1，x2=． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 29．（1），；（2），；（3）， 【分析】（1）由公式法进行解一元二次方程，即可得到答案； （2）由配方法进行解一元二次方程，即可得到答案； （3）由因式分解法解一元二次方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∴， ， ，． （2）方程变形得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得：，； （3） 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法进行解题． 30．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）移项，利用配方法求解可得答案； （2）利用公式法求解可得答案； （3）移项，利用因式分解法求解可得答案； （4）整理成一般式后，利用因式分解法求解可得答案． 【详解】（1）x2＋4x＋1＝13 ∴ ∴ （2）3x2﹣4x﹣1＝0 ∵ ∴ ∴ （3）（x＋1）2＝3（x＋1） （x＋1）2-3（x＋1）＝0 ∴ （4）（x﹣3）（x＋2）＝6 ∴ 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 31．（1），；（2），． 【分析】（1）把方程两边都加上1得，配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解； （2）先计算判别式的值，然后根据根公式求出方程的解． 【详解】解：（1）配方得：，即， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】此题考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键是熟练掌握求根公式． 32．（1），；（2），；（3）x1=－1，x2=2；（4）x1=－3，x2=4 【分析】（1）根据配方法的步骤求解即可 （2）应用公式法计算即可； （3）应用提公因式法计算即可； （4）应用因式分解法计算即可； 【详解】解：（1）∵ ，； （2） ∆=16+12=28 ，； （3）原方程可化为 即 ∴x＋1=0或x－2=0 解得：x1=－1，x2=2； （4）原方程可化为 即 ∴x＋3=0或x－4=0 解得：x1=－3，x2=4 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 33．（1）x1=4+，x2=4−；（2）x1=，x2=−2 【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）整理后求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可． 【详解】x2−8x=2， x2−8x+42=2+42， (x−4)2=18， x−4= x1=4+，x2=4− 故答案为：x1=4+，x2=4− （2）(2x−1)(x+3)=−5 整理得：2x2+5x+2=0 b2−4ac=52−4×2×2=9 x= x1=，x2=−2 故答案为：x1=，x2=−2 【点睛】本题考查了用配方法和公式法解一元二次方程，要熟练掌握用配方法或公式法解一元二次方程的一般步骤． 34．（1），；（2），. 【分析】（1）根据配方法解方程的步骤求解即可； （2）根据公式法解方程的步骤求解即可. 【详解】解：（1）∵2x2+4x﹣3＝0， ∴x2+2x＝， ∴（x+1）2＝， ∴x+1＝， 解得：，； （2）整理得：5x2﹣8x+2＝0， ∴a＝5，b＝﹣8，c＝2， ∴△＝64﹣4×5×2＝24＞0， ∴x＝， 解得：，. 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 35．（1），；（2），． 【分析】（1）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解； （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：（1）由原方程， 移项得：， 方程二次项系数化为1，得：， 配方，得， 即， 则， ∴，； （2）， ∵，，， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，熟悉相关解法是解题的关键． 36．（1）x1＝，x2＝﹣1；（2）x1＝，x2＝． 【分析】（1）把常数项移到等式右边，同时二次项系数化1，然后等式两边都加一次项系数的一半的平方，等式左边用完全平方公式化为平方式，等式右边整理合并，然后直接开平方即可， （2）把方程变为一般式2x2-2x-1=0，确定公式中的a，b，c的值，计算判别式△的值验证方程是否有根，若有解，将a，b，c的值代入求根公式即可． 【详解】（1）方程变形得：x2﹣x＝， 配方得：x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝， 开方得：x﹣＝±， 解得：x1＝，x2＝﹣1； （2）2x2-2x-1=0， a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵△＝4+8＝12， ∴x＝， 解得：x1＝，x2＝． 【点睛】本题考查用固定的法来解一元二次方程，目的是定向考查能力，关键是掌握配方化为直接开平方解方程，在配方时注意解题步骤的准确应用，固定用配方法解一元二次方程时，最好把二次项系数化为1，公式法掌握用于一般式，确定abc的值，然后检验方程是够有解，若有解代入公式计算解决问题． 37．（1）=,;；（2）=-1或=-5. 【分析】(1)用公式法解一元二次方程可得答案； (2) 用配方法解一元二次方程可得答案. 【详解】解:(1)a=2,b=4,c=-1, △=16-42(-1)=24>0, =,; =,; (2) x2+6x=-5, x2+6x+9=-5+9, 即(x+3) 2=4, 则x+3=2或x+3=-2, 解得: =-1或=-5. 【点睛】本题主要考查用公式法与配方法解一元二次方程. 38．（1）x1=6，x2=-6；（2）x1=2+，x2=2-；（3）；（4）x1=x2=-5． 【分析】（1）将常数项移到右侧，利用直接开平方法求解即可； （2）方程两边同时加上4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得； （3）确定出a、b、c的值，然后按照公式法的步骤进行求解即可； （4）方程左边利用完全平方公式进行分解，继而进行求解即可得． 【详解】（1）x2﹣36＝0， x2=36， x=±6， ∴x1=6，x2=-6； （2）x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4， （x-2）2=6， x-2=±， ∴x1=2+，x2=2-； （3）2x2﹣5x+1＝0， a=2，b=-5，c=1， b2-4ac=（-5）2-4×2×1=17>0， ∴， ； （4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0， [（x+1）+4]2=0， （x+5）2=0， ∴x1=x2=-5． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的关键． 39．（1）   ； （2）. 【分析】（1）先由a、b、c的值判断△的符号，再代入求根公式计算可得； （2）将常数项移到方程的右边，再两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式后开方即可得． 【详解】(1)∵a=2、b=4、c=−1， ∴△=4×4−4×2×(−1)=24>0， 则； (2)∵， ∴， 则,即， ∴x+3=2或x+3=−2， 解得：x=−1或x=−5. 【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法及公式法，解题关键在于掌握运算法则. 40．（1）x1=1，x2=；（2）x1=, x2=；（3）x1=3，x2=；（4）x1=-5，x2=4. 【详解】试题分析：（1）利用配方法进行求解即可； （2）利用公式法进行求解即可； （3）利用因式分解法进行求解即可； （4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可. 试题解析：（1）， ， ， ， ， ， ∴x1=1，x2=； （2）， b2-4ac=(-4)2-4×3×(-1)=28>0， ， ∴x1=， x2=； （3）， （x-3）(x-3+4x)=0， x-3=0或5x-3=0， ∴x1=3，x2=； （4）， 整理得：x2+x-20=0， （x+5）（x-4）=0， x+5=0或x-4=0 ， ∴x1=-5，x2=4. 41．（1）,;（2）,;（3）-4，-5;（4）-2，15 【详解】试题分析：试题分析：第(1)小题用配方法；第(2)小题用公式法；第(3)小题用因式分解法： 提取公因式；第(4)小题用因式分解法：十字相乘法. 试题解析： 或 点睛：一元二次方程的常用解法：直接开方法，公式法，配方法，因式分解法. 要根据题目的要求做题，没有要求的选择适当的方法. 42．(1)； (2)； (3) 【分析】（1）两边都除以3，再两边开平方即可 （2）先将1移项至右边，再两边都加上4配成完全平方式，继而两边开方即可 （3）先根据a，b，c的值求出的值，继而代入求根公式即可 【详解】（1）解：， （2）解：移项得：x2-4x=-1 x2-4x+4=-1+4 配方得：(x-2)2=3， 开平方得：x-2=± 解得； （3）解：∵ a=2，b=，c=1， △ = −4×2×1=0 ∴ x=, ∴ 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题关键． 43．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）利用公式法求解即可； （2）变形后，利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解； （4）移项后，利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， 则，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （3）， ∴， ∴或， 解得：，； （4）， ∴， ∴， 即， ∴或， 解得：，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的不同解法．一般有直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，要针对题目选用适当的方法求解． 44．（1），；（2），；（3） 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可. 【详解】解：（1）a=1，b=4，c=-2 ∴b2-4ac=16－4×1×（-2）=24 ∴ ∴， （2）移项，得． 配方，得， ∴ 由此可得     ∴， （3）把方程左边因式分解，得． 从而，得，或； 所以． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的四种解法：直接开平方法、 配方法、公式法、因式分解法，是解决此题的关键. 45．(1) (2) 【分析】（1）根据公式法求解即可； （2）先提取公因式4，再利用平方差公式求解． 【详解】（1）方程中，， ∴， ∴； （2）方程可变形为：， 即， ∴或， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握公式法和因式分解法解方程的方法是解题的关键． 46．(1)＝2＋，＝2－ (2)＝－1，＝－2 【分析】（1）先把2移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． （2）先求出∆的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴＝2＋，＝2－． （2）∵ ∴a=1，b=3，c=2， ∴∆=9-8=1， ∴， ∴＝－1，＝－2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 47．(1)x1=7，x2=-4； (2)x1=+2，x2=2-； (3)x1=，x2=； (4)x1=2，x2=3． 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：∵（2x-3）2-121=0， ∴（2x-3）2=121， ∴2x-3=±11， ∴2x-3=11或2x-3=-11， ∴x1=7，x2=-4； （2）解：∵x2-4x-7=0， ∴x2-4x+4=7+4， ∴（x-2）2=11， ∴x-2=±， ∴x-2=或x-2=-， ∴x1=+2，x2=2-； （3）解：∵x2-5x+1=0， ∴a=1，b=-5，c=1， ∴Δ=b2-4ac=21， ∴， ∴x1=，x2=； （4）解：∵3（x-2）2=x（x-2）， ∴3（x-2）2-x（x-2）=0， ∴（x-2）（3x-6-x）=0， ∴x-2=0或2x-6=0， ∴x1=2，x2=3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，解决本题的关键是灵活运用解一元二次方程的方法． 48．（1）；（2） 【分析】（1）先把1移到方程的右边，并合并，再把二次项系数化为1，然后配方求解即可； （2）先求出∆的值，再利用求根公式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；             （2）∵， ∴∆=16+12＝28，     ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握配方法、求根公式法是解答本题的关键． 49．（1）x1=﹣6，x2=6；（2）x1=2﹣，x2=2+；（3）x1=，x2=；（4）x1=x2=﹣5． 【分析】（1）直接开平方法求解； （2）配方法求解可得； （3）公式法求解即可； （4）因式分解法解之可得． 【详解】解：（1）x2=36， ∴x=±6， 即x1=﹣6，x2=6； （2）x2﹣4x+4=2+4， 即（x﹣2）2=6，   ∴x﹣2= ， ∴x1=2﹣ ，x2=2+ ； （3）∵a=2，b=﹣5，c=1， ∴b2﹣4ac=25﹣8=17＞0，          ∴x=  ， 即x1= ，x2= ； （6）（x+1）2+8（x+1）+16=0 （x+1+4）2=0， 即（x+5）2=0， ∴x+5=0， 即x1=x2=﹣5． 故答案为（1）14；（2）31﹣12；（3）x1=﹣6，x2=6；（4）x1=2﹣，x2=2+；（5）x1=，x2=；（4）x1=x2=﹣5． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解一元二次方程，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键． 50．(1) ；(2) ； 【详解】试题分析：(1)方程两边除以2，将二次项系数化为1,常数项移到方程右边,然后左右两边都加上一次项系数一半的平方,左边化为完全平方式,右边合并为一个非负常数,开方转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解即可得到原方程的解;（2）把方程的左边利用平方差公式分解因式求解即可. 解：(1) ∵2x2 ＋5x－2＝0， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴. (2) ∵9x2－(x－1)2＝0， ∴(3x)2－(x－1)2＝0， ∴(3x+x-1)(3x-x+1)=0， ∴(4x-1)(2x+1)=0， ∴4x-1=0或2x+1=0， ∴， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$