专题11 函数的零点问题（八大考点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题11函数的零点问题 一、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 二、二分法的定义 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 考点01判断零点所在区间 【例1】函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知，则在下列区间中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】函数的零点所在的区间是，则 . 考点02用二分法求函数零点 【例3】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【例4】已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【变式2-3】下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点03判断函数零点个数 【例5】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例6】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-2】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【变式3-3】函数的零点个数为 .若设零点为，则与1的大小关系为 . 考点04根据零点个数求参数 【例7】若函数有2个零点，则m的取值范围是 ． 【例8】已知函数，若函数有四个不同的零点（其中），则的取值范围是 ． 【变式4-1】关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【变式4-2】设函数，，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【变式4-3】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围. 考点05根据零点的范围求参数 【例9】设函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例10】若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【变式5-1】若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 ． 【变式5-2】若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ． 【变式5-3】已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 考点06比较零点大小 【例11】三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知，且，，，则，，的大小关系是 . 【变式6-1】若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选）已知，函数，，若，则下列成立的是（    ） A．， B． C． D． 考点07求零点之和 【例13】函数的所有零点之和为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【例14】设、分别是方程与的根，则 . 【变式7-1】定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【变式7-3】已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为 . 考点08镶嵌函数的零点问题 【例15】（多选）已知函数则方程的根的个数可能为（    ） A．2 B．6 C．5 D．4 【例16】已知若关于的方程恰有3个不同的实数解，则等于（   ）． A．0 B． C． D．1 【变式8-1】已知函数，，当时，方程根的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数 ，若方程的实根个数为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．存在实数使得函数至少有5个零点 C．当时，函数有2个零点 D．当时，函数有3个零点 一、单选题 1．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 3．函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 4．已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数的零点为，函数的零点为，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．给出以下四个方程，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 10．已知为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 三、填空题 12．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 13．已知，且，则函数的零点为 . 14．已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 四、解答题 15．已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 16．已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围. 17．已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围． 18．已知（且）是指数函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)求函数在区间上零点的个数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练 专题11函数的零点问题 一、函数的零点 1．函数零点的概念 对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点． 2．函数的零点与方程的根之间的联系 函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根⇔函数的图象与x轴有交点⇔函数有零点． 3．零点存在性定理 如果函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. 4．常用结论 （1）若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点； （2）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点； （3）函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数. 二、二分法的定义 对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 考点01判断零点所在区间 【例1】函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数可知单调递增， 因为，， ，， 所以零点所在区间是， 故选：B 【例2】已知，则在下列区间中，有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在坐标平面中画出与的图象，如图所示： 在区间内，两个函数的图象没有交点，同理在和内也没有交点， 在内，两个函数的图象有一个交点， 故在内有一个零点，在区间、、均无零点， 故选：B. 【变式1-1】函数的一个零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的定义域为，且在内单调递增， 可知在内单调递增， 且， 所以函数的唯一一个零点所在的区间是. 故选：B. 【变式1-2】函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，设， 则， 故在上是单调递增函数； 又，， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为. 故选：C. 【变式1-3】函数的零点所在的区间是，则 . 【答案】 【详解】因为函数在上单调递增， ，，所以， 由零点存在定理可知函数的零点所在区间为， 所以. 故答案为： 考点02用二分法求函数零点 【例3】用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即. 故选：B. 【例4】已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得. 所以. 故选：B. 【变式2-1】（多选）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 【变式2-2】设，用二分法求方程在上的近似解时，经过两次二分法后，可确定近似解所在区间为（   ） A．或都可以 B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】，， 第一次取，有， 故第二次取，有， 故此时可确定近似解所在区间为. 故选：B. 【变式2-3】下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 故选：C 考点03判断函数零点个数 【例5】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】令，得， 画出函数与的图象， 可得这两个函数在上的图象有唯一公共点， 故的零点个数为1． 故选：B 【例6】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，令，可得，即， 在坐标系中作出函数的图象如图： 由图可知在区间上有1个交点， 又因为奇函数，所以当时，有一个零点，又因，所以一共有三个零点. 故选：C 【变式3-1】函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3. 故选：D 【变式3-2】若定义在上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是（    ） A．6 B．10 C．14 D．18 【答案】B 【详解】依题意，，所以是周期为的周期函数， 由于是偶函数，且当时，， 由此画出与的图象如下图所示，时，， 由图可知，两个函数有个交点， 所以函数的零点个数是. 故选：B 【变式3-3】函数的零点个数为 .若设零点为，则与1的大小关系为 . 【答案】 1 【详解】 因为，因为和在上都是增函数， 所以在上是增函数， 所以至多有一个零点. 又因为，， 所以只有一个零点，所以. 故答案为：1； 考点04根据零点个数求参数 【例7】若函数有2个零点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得． 设函数，作出的大致图象，如图所示．    函数有2个零点，即函数与函数的图象有两个交点， 由图可知，m的取值范围是． 故答案为：. 【例8】已知函数，若函数有四个不同的零点（其中），则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示， 由函数有四个不同的零点 结合图形可知，且，． 因为，可得，所以，可得， 又因为，是方程的两实数根，可得，， 因为， 又因为，可得，所以． 故答案为：. 【变式4-1】关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】原方程等价于，在同一坐标系内作出函数与函数的图象，如图所示： 可得当时，两图象有4个不同的公共点，即方程有4个不相等的实数根， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-2】设函数，，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令函数，则， 有，令， 作出在上的函数图象，如图所示： 由函数有三个不同的零点， 即直线与图象有3个交点， 由图象可知或， 故答案为：． 【变式4-3】已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减. (2) 【详解】（1）当时，由单调递增，知在上单调递增； 当时，有，所以在上单调递增； 当时，是二次函数，最小值点是，故在上单调递减，在上单调递增. 综上，在和上单调递增，在上单调递减. （2）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与直线的图象，如图所示， 由图可知若关于的方程有三个不同的实根， 当且仅当的取值范围是. 考点05根据零点的范围求参数 【例9】设函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令得，令，由复合函数单调性可知，当时，单减，，，故，要使在区间内有零点，即. 故选：C 【例10】若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点，则 解得． 故常数a的取值范围为． 故答案为： 【变式5-1】若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】方程在上有解， 等价于函数与在有交点， 因为，所以， 所以，解得. 故答案为： 【变式5-2】若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，符合题意， 当时，二次函数的判别式为：， 若，此时函数的零点为，符合题意； 当时，只需，所以且； 当时，，经验证符合题意；当时，，经验证符合题意； 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式5-3】已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若时，有零点，求的范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 所以由可得， 即，所以，解得， 故不等式的解集为. （2）因为时，有零点， 所以在上有解， 即在上有解， 令， 因为，， 所以，故， 所以. 考点06比较零点大小 【例11】三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 【例12】已知，且，，，则，，的大小关系是 . 【答案】 【详解】 ，， 依次做出，，三个函数的图象， 由图象可知，， ， . 故答案为： 【点睛】本题考查求函数零点并比较大小，主要考查了数形结合和转化与化归，本题的关键是首先将函数变形为，，然后再通过图象求零点大小. 【变式6-1】若，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，而当时，，当时，， 所以， 因为，而当时，，所以， 因为，而当时，，所以， 由，得，， 所以为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图可得 综上， 故选：A 【变式6-2】已知正实数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 所以令， 所以问题等价于比较的图象分别与的图象三个交点横坐标的大小关系， 而均过点， 则由指数函数单调性可知，的图象分别与的图象三个交点横坐标如图所示： 则. 故选：A. 【变式6-3】（多选）已知，函数，，若，则下列成立的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】ABD 【详解】   设分别是，的零点，则是方程的解， 是方程的解，所以分别是函数的图像与函数和 ，，的图像交点的横坐标，设交点分别为，， 由可知，，故A正确； 又因为和以及的图像均关于对称，所以两交点一定 关于对称，且关于直线的对称点坐标为，所以， 即，故B正确； 因为，当且仅当时，即时，等号成立，且，所以，故C错误； 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 且，所以，即，故D正确； 故选：ABD 考点07求零点之和 【例13】函数的所有零点之和为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【详解】由得，，令，， 因为， 所以函数的图象关于点对称， 又因为的图象关于点对称， 如图所示，两个函数图象有两个公共点，横坐标依次为， 这两个交点关于点对称，所以. 故选：D. 【例14】设、分别是方程与的根，则 . 【答案】 【详解】如图，分别作出函数，，的图象， 且函数与、分别相交于点，. 由题意，．而与互为反函数， 直线与直线互相垂直，所以点与关于直线对称. 所以.所以. 故答案为：. 【变式7-1】定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数在上所有零点的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为定义在上的奇函数满足， 则，所以，函数是周期为的周期函数， 则，故函数的图象关于点对称， 当时，， 作出函数在上的图象以及函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上的图象与函数的图象共有个交点， 且这个交点有三对点关于点对称， 因此，函数在上所有零点的和为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过其对称性和奇偶性得到其周期性，再作出两函数图象则得到交点个数. 【变式7-2】（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【详解】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，. 故选：CD 【点睛】关键点睛：求函数零点和的取值范围问题，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出，结合不等式求出的取值范围，进而求解. 【变式7-3】已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为 . 【答案】4044 【详解】由是定义在R上的奇函数，所以，又， 所以，则的周期是2， 且得是其中一条对称轴， 又时，于是图象如图所示， 又函数零点，即为与的交点的横坐标， 由图知：交点关于对称，每个周期都有2个交点， 所以、各有个周期，故各有个交点，它们两两关于对称， 所以零点之和为. 故答案为： 考点08镶嵌函数的零点问题 【例15】（多选）已知函数则方程的根的个数可能为（    ） A．2 B．6 C．5 D．4 【答案】ACD 【详解】画出的图象如图所示： 令，则，则， 当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，即方程的根的个数为2，A正确； 当，即时，，又， 故， 当时，即，则x有2解， 当时，若，则x有3解；若，则x有2解， 故方程的根的个数为5或4，CD正确． 故选：ACD． 【例16】已知若关于的方程恰有3个不同的实数解，则等于（   ）． A．0 B． C． D．1 【答案】C 【详解】 方程恰有三个不同的实数解，则只能．由或， 因此，．． 故选：C. 【变式8-1】已知函数，，当时，方程根的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则， 由，则，有， 故，解得，即或， ，则， 令，则对任意的，都有两个不同的使其成立， 对任意的，无解，故方程的根的个数为2. 故选：C. 【变式8-2】已知函数 ，若方程的实根个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，，，， 令，解得或， 又在同一平面直角坐标系中画出与的图象， 由图象观察可知与有个交点，不妨设为且， 则， 当时，由，，则存在个不同实根， 由，，则存在个不同实根， 由，，则存在个不同实根， 由，，则存在个不同实根， 综上的实根个数为． 故选：C 【变式8-3】（多选）已知函数，，则下列结论正确的是（    ） A．函数有2个零点 B．存在实数使得函数至少有5个零点 C．当时，函数有2个零点 D．当时，函数有3个零点 【答案】CD 【详解】当时，，在区间无零点， 当时，，得，不成立，所以在区间无零点， 所以函数无零点，故A错误； 令，即， 即或， 如图，画出函数的图象， 如图，当有2个根，时，无论为何值时，都不存在3个实数根， 所以不存在实数使得函数至少有5个零点，故B错误； 如上图，当时，，所以，无解，只有当有2个根， 即当时，函数有2个零点，故C正确； 如上图，当时，，，有1个解，有2个解， 所以当时，函数有3个零点，故D正确； 故选：CD 【点睛】思路点睛：首先求得或，再根据函数的图象，结合的取值，利用数形结合判断零点各数. 一、单选题 1．函数的零点是（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由，设，则得， 解得，从而，所以. 故选：C. 2．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B 3．函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．-1 C． D．2 【答案】A 【详解】由零点定义可知，函数的零点，就是方程的实数根，令， 则，显然，所以， 构造函数与函数，则方程的根， 可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点， 所以此方程有两个实数根，即函数有两个零点， 设为，所以，， 即， 另外发现，将代入，可得， 所以也是函数的零点，说明，即. 故选:A. 4．已知函数，则使有零点的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 当时，，所以，没有零点，故A错误； 当时与在上单调递增，所以在上单调递增， ，要使有零点，则需， 即，令，则在上单调递减， 且，，， 所以存在使得， 所以有零点的充要条件为， 所以使有零点的一个充分条件是. 故选：D 5．已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则直线与函数的图象有5个交点. 显然，直线与的图象交于点. 又当时，； 当时，； 当时，，所以是奇函数， 则必须且只需直线与曲线有2个交点即可， 所以方程有2个实数根.令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以. 又当趋近于0时，,所以； 当趋近于时，， 所以必须且只需. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法. 6．设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得或，作出函数的图象， 易知当时，不符合题意； 当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解， 由图象知，所以． 故选：C． 7．函数的零点为，函数的零点为，若，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，易得在上单调递增， 又，， 所以在上存在唯一零点，即， 又由已知可得，， 所以， 即， 因为，所以， 结合选项可知无需考虑， 则和这两个函数均为增函数， 所以，即， 所以，又，即， 所以，即，所以. 故选：D. 8．已知函数，若方程有7个不同的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】作出函数的大致图象，如图所示． 由，得， 得或． 由图象可知直线与的图象有3个公共点，所以方程有3个不同的实根， 因为方程有7个不同的实根， 所以直线与的图象有4个公共点， 故，故，则实数的取值范围是． 故选：A. 二、多选题 9．给出以下四个方程，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：函数与的图象如下所示： 所以方程有唯一解，符合题意； 对于B：函数与的图象如下所示： 所以方程有唯一解，符合题意； 对于C：函数与的图象如下所示： 所以方程有两个实数解，不符合题意； 对于D：函数与的图象如下所示： 所以方程有唯一解，符合题意. 故选：ABD. 10．已知为函数的两个不相同的零点，则下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】令可得，则直线与函数的图象有两个交点， 且这两个交点的横坐标分别为，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 设，则，由，可得，解得， 由，可得，解得，所以，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，则，C对； 对于D选项，由上可知，D对. 故选：CD. 11．已知函数其中，且，则（    ） A． B．函数有2个零点 C． D． 【答案】ACD 【详解】解：，故A正确； 作出函数的图象如图所示， 观察可知，，而， 故，有3个交点， 即函数有3个零点，故B错误； 由对称性，，而， 故，故C正确； b，c是方程的根，故， 令，则， 故，而，均为正数且在上单调递增， 故，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 【答案】3 【详解】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以. 所以. 故答案为：3 13．已知，且，则函数的零点为 . 【答案】3 【详解】因为，则，所以， 令，则， 当时，，令，解得：； 当，，令，解得：(舍去)， 故函数的零点为 故答案为：3 14．已知函数有3个不同的零点则实数的取值范围是 ；若，则 . 【答案】 / 【详解】令， 解得或. 作出的图象如图. 要使有3个不同的零点， 则的图象与直线和一共有3个交点， 由图可知当即时，的图象与直线有1个交点，与直线有2个交点，符合条件. 易得，所以，即， 不妨设，由，得， 由，得， 所以. 故答案为： 四、解答题 15．已知函数 (1)当时，若，求x的值: (2)若是偶函数，求出m的值: (3)时，讨论方程根的个数.并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）当时, 若; （2）若是偶函数, 所以， 即: ， 所以； （3）当时，由（2）可知， 令，设， 则， 因为，则， 所以， 即 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递减， 又是偶函数，所以在上单调递增， 易知，所以为偶函数，， 则， 当时，方程没有实数根，          当时，方程，有且仅有1个实数根，              当 时，取，则， 所以在上，且在上单调递减， 由零点存在性定理可知在上，有1个实数根， 所以时，方程，有2个实数根. 综上所述：当时，方程没有实数根； 当时，方程有且仅有1个实数根； 当 时，方程有2个实数根. 16．已知函数，若互不相等的实数满足，求的取值范围. 【答案】 【详解】作出函数的图象，如图所示 不妨设，则关于直线对称，故， 且满足； 则的取值范围为； 即． 所以的取值范围为. 17．已知函数． (1)若在上为增函数，求的取值范围； (2)若函数在上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）令，显然函数在上单调递增， 函数在及右侧区间上单调递增， 而在上为增函数，则，解得， 所以的取值范围是. （2）由，得， 由函数在上恰有两个零点，得在上有两个不等实根， 于是，解得， 所以的取值范围是. 18．已知（且）是指数函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)求函数在区间上零点的个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【详解】（1）由指数函数定义，得，而且，解得，则， 不等式，而函数在R上递增， 因此，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）由（1）知，，由，得， 令，由，得，则， 设函数，显然该函数在上单调递增，在上单调递减，且， 作出直线与函数的图象，如图， 观察图形知，当或时，直线与函数的图象没有公共点； 当或时，直线与函数的图象只有一个公共点； 当时，直线与函数的图象有两个公共点， 函数在区间上零点的个数等价于方程在区间上解的个数， 即直线与函数的图象的交点的个数， 所以当或时，函数在区间上没有零点； 当或时，函数在区间上只有一个零点； 当时，函数在区间上有两个零点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$