精品解析：湖北省黄冈市浠水县第一中学2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

浠水一中2024年高一年级下学期期末质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，则 2. 在中，，，，则角的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A. 20 B. 26 C. 17 D. 03 5. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A B. C. D. 7. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）（，）． A. 4.5m B. 4.0m C. 3.5m D. 3.0m 8. 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:取正方形ABCD边AB的中点，沿MC、MD折叠，将MA、MB用胶水粘起来，使得点A、B重合于点，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于复数z，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为48 B. 为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70 C. 为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到方差与原数据的方差相差70 D. 这组数据的上四分位数是84.5 11. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为______． 13. 如图所示，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为__________. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 平行四边形中，. （1）若与交于点，求的值； （2）求的取值范围. 17. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19. 现定义“维形态复数”：，其中虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浠水一中2024年高一年级下学期期末质量检测 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得. 【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误； B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误； C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误； D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确. 故选：D 2. 在中，，，，则角的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，即，解得， 又，所以，即，所以. 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角公式以及切弦互换即可求解. 【详解】. 故选：A. 4. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A. 20 B. 26 C. 17 D. 03 【答案】D 【解析】 【分析】先把编号按要求在随机数表中选出来，再剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，即可得到选出的个体编号. 【详解】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字， 选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…， 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号， 则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…， 所以选出来的第5个个体的编号为03. 故选：. 5. 要得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】借助正弦型函数平移的特征计算即可得. 【详解】， 故要得到函数的图象， 只需将的图象向左平移个单位长度. 故选：A. 6. 如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，延长交于， 由已知为的重心，则点为的中点，可得，且， 又由，可得是的四等分点， 则， 因为，所以，，所以． 故选：C. 7. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（ ）（，）． A. 4.5m B. 4.0m C. 3.5m D. 3.0m 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，构造三角函数模型，求得三角函数解析式，进而求解问题即可. 【详解】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系： 根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：； 因为筒转动的角速度为，故； 又；，解得，则； 又当时，，则，，则； 故当时，. 故选：B. 8. 学校组织学生去工厂参加社会实践活动，任务是利用一块正方形的铁皮制作簸箕，方法如下:取正方形ABCD边AB的中点，沿MC、MD折叠，将MA、MB用胶水粘起来，使得点A、B重合于点，这样就做成了一个簸箕，如果这个簸箕的容量为，则原正方形铁皮的边长是多少（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形ABCD边长为，由三棱锥的体积，求出的值即可. 【详解】三棱锥中，为中点，连接， ，则， 平面，，得平面， 设正方形ABCD边长为，则有，， ，，， 有，则，， ，得，即. 所以原正方形铁皮的边长是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于复数z，下面是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据复数的乘法以及复数的模长公式结合复数相等分析求解；对于D：根据复数的相关概念结合共轭复数分析判断. 【详解】设，则， 对于选项A：例如，则，符合题意，但，故A错误； 对于选项B：例如，则，符合题意，但，故B错误； 对于选项C：若，则， 可得，解得， 可知，故C正确； 对于选项D：若，可知， 此时，故D正确； 故选：CD. 10. 随机抽取某班20名学生在一次数学测验中的得分如下：50，58，65，66，70，72，75，77，78，78，80，81，81，83，84，85，88，90，95，98下面说法正确的是（ ） A. 这组数据的极差为48 B. 为便于计算平均数，将这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70 C. 为便于计算方差，将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相差70 D. 这组数据的上四分位数是84.5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由极差的定义可判断A；由平均数的性质可判断B；由方差的性质可判断C；由百分位数的定义可判断D. 【详解】对于A，这组数据的极差为，故A正确； 对于B，原数据的平均数为： ， 将这组数据都减去70后得到的平均数为： ， 所以这组数据都减去70后得到的平均数与原数据的平均数相差70，故B正确； 对于C，原数据方差为： ， 将这组数据都减去70后得到的方差为： 所以将这组数据都减去70后得到的方差与原数据的方差相等，故C错误； 对于D，这组数据的上四分位数是第百分位数，即， 所以，则这组数据的上四分位数是84.5，故D正确； 故选：ABD. 11. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P是线段AD上的一点，点M，N分别为线段PB，PC上的动点，且，（，），点O，G分别为线段BC，MN的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 若，，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过向量的线性运算即可验证；对于B，建立适当的平面直角坐标系，将数量积转换为闭区间上的二次函数，进而判断；对于C，先表示出，进一步可表示出，结合模长公式即可验算；对于D，将条件等式转换为，结合基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为，，所以 ，故A正确； 对于B，以B为坐标原点，BC，BA所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 所以B（0，0），C（1，0），D（1，1），A（0，1），设，，所以P（x，1）， 所以，所以的最小值为，此时，故B正确； 因为，（，）， 所以，， 所以，当时，， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故C错误； 因为，若，，则 ，所以， 所以，即，当且仅当即时，等号成立， 所以，即的最大值是，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是先表示出，进一步可表示出即可顺利得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则该圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的高，上底面半径，下底面半径， 所以圆台的体积 . 故答案为： 13. 如图所示，水平放置的的斜二测直观图是图中的，已知，则的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】还原图形即可求出面积. 【详解】由已知得的原图如下： 其中， 所以. 故答案：. 14. 在中，内角，，所对边分别为，，，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 16. 在平行四边形中，. （1）若与交于点，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选择，为一组基向量，设，，将分别用，的两种形式表示，根据平面向量基本定理可得关于的方程组，求解即得； （2）分别将用，表示，计算它们的数量积，整理成关于的二次函数，结合二次函数的图象和的范围即可求得的取值范围. 【小问1详解】 设，则 设. 根据平面向量基本定理得解得， 所以，则，所以. 【小问2详解】 因为， ， , 所以. . 因为，所以当时，取得最小值，且最小值为， 当时，取得最大值，且最大值为. 故的取值范围为. 17. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求证：平面； （2）求与平面所成的角； （3）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，此时点是线段的中点且 【解析】 【分析】（1）首先根据已知条件并结合线面垂直的判定定理证明平面，再证明即可证出结论； （2）根据（1）中线面垂直的结论并结合线面角的概念找出所求角，再结合已知条件即可求解； （3）首先假设存在，然后根据线面平行的性质以及已知条件，看是否能求出点的具体位置，即可求解. 【小问1详解】 如图，在梯形ABCD中，连接DE，因为 E是BC 的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着AE翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 由题意，易知,所以四边形是平行四边形，故， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，所以线段在平面内的射影为线段， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知，， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问3详解】 假设线段上存在点，使得平面， 过点作交于，连接，如图所示： 所以，所以四点共面， 又因为平面，所以， 所以四边形平行四边形， 所以，所以是的中点， 故在线段上存在点，使得平面，且. 18. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 19. 现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)当时, ,​​​,，由,即可证明“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)由“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,可得，利用复数相等的条件得到,即可求； (3)由得,利用复数相等的条件得到和,则,则,进一步得,即可证明存在有理数,使得. 【小问1详解】 当时, , ​​​​​​​则​​​,. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. 【小问2详解】 因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等, 所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. 【小问3详解】 由，得,由(2)同理可得, 即. 因为,所以. 因为,由, 所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以, 所以, 又因为,所以,所以, 即， ​​​​​​​所以存在有理数,使得. 【点睛】关键点点睛：利用复数相等求出参数然后求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$