精品解析：江西省上饶市蓝天教育集团2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2024年蓝天集团高一数学期中考试试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量，单位向量，相等向量的定义判断即可. 【详解】对于A：模为的向量叫零向量，零向量的方向是任意的，故A错误； 对于B：相等向量要求方向相同且模长相等，共线向量不一定是相等向量，故B错误； 对于C：向量不可以比较大小，故C错误； 对于D：单位向量模为，都相等，故D正确. 故选：D 2. 已知点，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 3. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，，，， 由正定理得：， 由于，所以 故选：A 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，根据三角函数定义求，结合诱导公式求结论. 【详解】角的终边过点， 则点到原点的距离， 所以， 所以． 故选：A． 5. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的终边在直线上，利用终边相同的角的写法，考虑角的终边的位置的两种情况，即可求出角的集合. 【详解】由题意知角的终边在直线上， 故或， 即或， 故角的取值集合为. 故选：C. 6. 函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案. 【详解】令，，得， 令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意. 故选：C 7. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】由投影向量定义可知，在上的投影向量为. 故选：C 8. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 二、多选题（每小题6分，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分） 9. 若，则的值可以取（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据所在的象限，结合基本不等式，即可求解. 【详解】若，则为第一或第三象限角， 当第一象限时，，得，， 当第三象限时，，得，， 故选：AC 10. 设函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】利用周期公式可判断A；代入验证可判断BC；由正弦函数值域可判断D. 【详解】由周期公式知，A正确； 因为不是最值，所以直线不是函数的对称轴，B错误； 因为，所以是函数的零点，C正确； 由正弦函数的值域可知，的最大值为2，D错误. 故选：BD 11. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知条件，利用正弦定理角三角形，根据结果判断解的个数. 【详解】由正弦定理，，得， 若，，无解，A选项错误； 若，，得，恰有一个解，B选项正确； 若，，，有两解，有两个解，C选项错误； 若，，，恰有一个解，D选项正确. 故选：BD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据伸缩变换和平移变换得到答案. 【详解】纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍变为， 将图象上所有点向右平移个单位， 可得. 故答案为： 13. 已知 ，则 _______________ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求得正确答案. 详解】. 故答案为： 14. 已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系求得向量的坐标表示联立方程组即可求得，可得结果. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 由可得，解得； 可得. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 一个扇形所在圆的半径为，该扇形的周长为. （1）求该扇形圆心角的弧度数； （2）求该扇形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出扇形的弧长，可求得扇形的圆心角的弧度数； （2）利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积. 【小问1详解】 解：由题意可知，该扇形的弧长为，故该扇形圆心角的弧度数为. 【小问2详解】 解：由题意可知，该扇形的面积为. 16. 平面内给定三个向量，，， （1）若以，为基底，用该基底表示向量； （2）若，求实数； （3）若，求实数. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）设，进而根据向量相等，利用向量数乘运算，加法运算的坐标公式计算即可； （2）由向量坐标运算得，，再根据向量共线坐标表示计算即可； （3）由向量坐标运算得，再根据向量垂直的坐标表示即可得答案. 【详解】（1）设；所以有， ，所以 （2）因为，， 因为，所以：， 解得. （3）因为，，， 所以，即：， 解得： 【点睛】方法点睛：设， 则， 17. 已知，，. （1）求向量与的夹角； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，求得，再利用夹角公式求解； （2）由，利用数量积的运算律求解. 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又. 解得， ∴， 又∵， ∴（或）. 【小问2详解】 ∵， ， ∴. 18. 已知函数一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的最大值和最小值求出，，由周期求出，由特殊点求出，即可求得函数解析式； （2）由求出的范围，再求出的取值范围，即可求得函数的取值范围. 【小问1详解】 由图象可知，，， 设最小正周期为，，∴， ∴， 又∵，且， ∴，，∴， ∴函数的解析式为. 【小问2详解】 当时，，， ∴函数的取值范围是. 19. 如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）. （1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标； （2）若，点的坐标为，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，坐标系为平面直角坐标系，设点利用求出，再利用模长公式计算可得答案； （2）根据向量的模长公式、数量积公式计算可得答案.， 【小问1详解】 当时，坐标系为平面直角坐标系， 设点，则有，而， 又，所以，又因， 解得，故点的坐标是； 小问2详解】 依题意夹角为， ， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年蓝天集团高一数学期中考试试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 下列命题中正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 共线向量一定是相等向量 C. 若向量，同向，且，则 D. 单位向量的模都相等 2 已知点，则（ ） A B. 0 C. 2 D. 3. 在中，，，，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 若角的终边在直线上，则角的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在下列哪个区间上单调递增（ ） A. B. C. D. 7. 若，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( ) A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分） 9. 若，则的值可以取（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则下列结论错误的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为1 11. 在中，内角所对的边分别为，下列各组条件中，能使恰有一个解的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象；再将图象上所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则______. 13. 已知 ，则 _______________ 14. 已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 一个扇形所在圆半径为，该扇形的周长为. （1）求该扇形圆心角的弧度数； （2）求该扇形的面积. 16. 平面内给定三个向量，，， （1）若以，为基底，用该基底表示向量； （2）若，求实数； （3）若，求实数. 17. 已知，，. （1）求向量与的夹角； （2）求. 18. 已知函数的一部分图象如图所示，如果，，． （1）求函数解析式； （2）当时，求函数的取值范围． 19. 如图，数轴的交点为，夹角为，与轴､轴正向同向的单位向量分别是.由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量，存在唯一的有序实数对，使得，我们把叫做点在斜坐标系中的坐标（以下各点的坐标都指在斜坐标系中的坐标）. （1）若为单位向量，且与的夹角为，求点的坐标； （2）若，点坐标为，求向量与的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$