精品解析：北京市陈经纶中学2024届高三下学期阶段性诊断练习20（三模）数学试题

2023—2024高三数学阶段性诊断练习20（三模） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若全集，,,则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 6. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点是圆与曲线的一个公共点，点.若是等腰三角形，则满足条件的的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. “为锐角三角形”是“，，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意，，如果，那么 B. 存在，，满足，且 C. 对任意，，如果，那么 D. 存在，，满足，且 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知，则________. 12. 在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 13. 已知圆与圆关于直线对称，则直线方程___________. 14. 已知双曲线．则的离心率是_________；若的一条渐近线与圆交于，两点，则_________． 15. 设函数，给出下列四个结论： ①当时，函数有三个极值点； ②当时，函数有三个极值点； ③，是函数的极小值点； ④，不是函数的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是_________． 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 在中，角的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：． 17. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下： 牙膏品牌 销售价格 市场份额 （1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率； （2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管． ①求的值； ②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望． （3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论） 19. 已知椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程和短轴长； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 20. 已知． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数存在两个不同的极值点，求证：． 21. 在一个阶方阵中，记第行元素构成的集合为，第列元素构成的集合为，集合.如果一个阶方阵满足：①对任意；②对任意，都有.则称这个方阵为阶阵. （1）已知，判断是否为阵？ （2）请你构造一个2阶阵.若你构造的，在的基础上构造一个4阶阵依据上依据上面的构造方法，在的基础上再构造一个8阶阵； （3）是否存在奇数阶阵？如果存在，写出阶数的最小值；如果不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024高三数学阶段性诊断练习20（三模） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 若全集，,,则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得，然后可判断出答案. 【详解】因为,, 所以，所以 故选：D 2. 在复平面内，复数的共轭复数对应的点的坐标是，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义结合虚部的定义即可得解. 【详解】因为复数的共轭复数对应的点的坐标是，所以， 所以，即的虚部是. 故选：A. 3. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义和判定方法，结合初等函数的单调性，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由指数函数的性质，可得函数为非奇非偶函数，所以A不符合题意； 对于B中，函数的定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数的定义域为关于原点对称，且满足，所以为偶函数， 当时，，在区间上单调递增，所以C符合题意； 对于D中，函数在期间上不是单调递增函数，所以D不符合题意. 故选：C. 4. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出平移后的函数解析式，根据已知条件可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值. 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后得到的图象对应的函数解析式为， 由题意可知，函数为奇函数，则， 所以，，，因此，. 故选：B. 5. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由图得，根据向量与共线，结合共线向量基本定理设，即可解得实数的值. 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 6. 已知，下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确； 对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误； 故选：C. 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案. 【详解】解：依题意，等价于， 在同一坐标系中作出，的图象，如图所示： 如图可得的解集为：. 故选：D. 8. 已知点是圆与曲线的一个公共点，点.若是等腰三角形，则满足条件的的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，依题意是等腰三角形，则或，即可求出所对应的； 【详解】解：依题意，抛物线的焦点坐标为，准线为，点是圆与曲线的一个公共点，要使是等腰三角形，显然，若，根据抛物线的定义，可知点的横坐标为，此时 若，显然满足条件，故满足条件的有2个； 故选：C 9. “为锐角三角形”是“，，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及正弦函数的单调性，再结合充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】充分性： 因为为锐角三角形， 所以，即， 所以， 同理可得，， 故充分性得证； 必要性： 因为，所以， 因为，所以， 若，则， 若，则，所以， 综上，， 同理， 所以为锐角三角形， 必要性得证， 综上所述，为充分必要条件. 故选：C. 10. 为公差不为零的等差数列，是其前项和，是等比数列，是其前项和，则下列说法正确的是（ ） A. 对任意，，如果，那么 B. 存在，，满足，且 C. 对任意，，如果，那么 D. 存在，，满足，且 【答案】C 【解析】 【分析】运用等比等差数列的性质与前项和公式逐项判断可得结论. 【详解】对于A：是首项为，公差为，则满足， 但不满足，故A错误； 对于B：若，则可得或或或， 不妨取，由等差数列的前项和公式可得， 所以，故B错误； 对于C：若，则或或或， 显然公比，由等比数列前项和公式可得， 故，所以必为偶数，可得，所以，故C正确； 对于D：，则等比数列的公比为，则，故，故D错误. 故选：C. 【点睛】考查等比数列，等差数列的项和公式的应用，以及等比，等差数列的性质，灵活运用是关建, 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，然后利用换底公式可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：2 12. 在二项式的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察的幂指数，使问题得解. 【详解】的通项为 可得常数项为， 因系数为有理数，，有共5个项 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 13. 已知圆与圆关于直线对称，则直线方程___________. 【答案】 【解析】 【分析】由于两圆的半径相等，可得，求出两圆的圆心O(0，0)，，则求出OA的中点坐标，，从而可得直线的斜率为，从而可求出直线的方程 【详解】由于半径相等，易求，由圆的圆心坐标为O(0，0)， 圆的标准方程为，可得圆心， 则OA的中点坐标为，且OA的斜率为，可得所求直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 已知双曲线．则的离心率是_________；若的一条渐近线与圆交于，两点，则_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的离心率和渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的离心率为； 又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到渐近线的距离为， 由圆的弦长公式，可得. 故答案为：；. 15. 设函数，给出下列四个结论： ①当时，函数有三个极值点； ②当时，函数有三个极值点； ③，是函数的极小值点； ④，不是函数的极大值点． 其中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】取特殊值，结合函数图象可判断①③；作出函数图象，数形结合可判断②；讨论的取值范围，结合函数图象，可判断④. 【详解】对于①，不妨取，此时， 作出函数图象如图：    此时函数有2个极值点，故①错误； 对于②，当时，，作出函数的大致图象如图：    在，上单调递减，在，上单调递增， 此时函数有3个极值点：，②正确； 对于③，由①的分析可知，时，是函数的极大值点，③错误； 对于④，由以上分析可知当时，， 且为的对称轴， 此时为函数的极小值点， 当时，，此时在上单调递减， 在上也单调递减，在上单调递增， 不是函数的极大值点，    故不是函数的极大值点，④正确. 故答案为：②④. 【点睛】方法点睛：题目中分段函数涉及的函数是比较常见的函数，故可作出函数大致图象，数形结合，再结合函数极值点的概念进行判断，即可解决问题. 三、解答题（共6小题，共85分） 16. 在中，角的对边分别为，，，且． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：． 【答案】（1） （2） 选①，.选②，不符合条件.选③，. 【解析】 【分析】（1）根据大边对大角，结合即可得解； （2）选①，先利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出边，再根据三角形的面积公式即可得解. 选②，先求出，再根据余弦函数的性质即可得出三角形的解的个数. 选③，先利用正弦定理求出，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，则， 所以， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 选①，，为锐角， 由正弦定理得，所以， 所以， 由余弦定理得， 即，解得（舍去）或，符合条件， 所以. 选②，，解得或， 若，因为，所以，符合条件， 若，因为， 所以为钝角，符合条件， 所以该三角形有个解，不符合条件. 选③，， 由正弦定理得，所以，符合条件， 所以，所以， 所以， 所以. 17. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接，交于点，连接， 为的中点，在平行四边形中为的中点， 是的中位线，可得， 平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，即可得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标为，由平面，则即可求出，从而确定点坐标，再由空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以，，又， 故以点C为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 设点的坐标为，则，， 因为平面，平面，所以， 所以，解得，经检验符合题意. 所以 ，则， 又，， 设平面的一个法向量为， 则，即，取得， 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下： 牙膏品牌 销售价格 市场份额 （1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率； （2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管． ①求的值； ②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望． （3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论） 【答案】（1）； （2）①；②分布列： 期望为； （3）． 【解析】 【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率； （2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出期望； （3）求出平均值比较即可 【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件． 由题设，． （2）①由题设，品牌的牙膏抽取了管， 品牌的牙膏抽取了管， 所以． （ⅱ）随机变量的可能取值为． ； ； ． 所以的分布列为： 的数学期望为． （3）． （理由：，设品牌的市场占有额为，市场占有额分别为，则 ） 19. 已知椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程和短轴长； （2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值． 【答案】（1）椭圆的方程为，短轴长为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率求出，即可得解； （2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出的坐标，得到的斜率，再探索的值. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为，短轴长为； 【小问2详解】 由消得①， 由，得， 此时方程①可化：， 解得：（由条件可知：异号）， 设，则，， 即，所以， 因为，所以可设直线：（，）， 由消得， 当时，方程有两个不相等的实根， 设，， 则，， 因为两点关于原点对称，所以， 所以， 所以. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 20. 已知． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数存在两个不同的极值点，求证：． 【答案】（1） （2） ， 令，得，令，则， 原方程可化为①，则是方程①的两个不同的根， 所以，解得， 由韦达定理得， 所以， 所以 ， 令，则， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； （2）先表示，结合导数与极值关系，利用韦达定理建立的关系，再把多变量化成单变量函数，即可证明. 【小问1详解】 当时，，， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 略 21. 在一个阶方阵中，记第行元素构成的集合为，第列元素构成的集合为，集合.如果一个阶方阵满足：①对任意；②对任意，都有.则称这个方阵为阶阵. （1）已知，判断是否为阵？ （2）请你构造一个2阶阵.若你构造的，在的基础上构造一个4阶阵依据上依据上面的构造方法，在的基础上再构造一个8阶阵； （3）是否存在奇数阶阵？如果存在，写出阶数的最小值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是阶阵；不是阵； （2），， ，（答案不唯一，构造合题即可）． （3）不存在，理由如下： 假设存在奇数阶阵，不妨设为阶阵， 则，其中， 则集合中中的每个数在每个集合出现次，所以每个数应被使用次， 又矩阵中每个数只使用次，每个数被使用次，即且， 设组成的集合为，设中元素个数为，则， 因为被引用奇数次，则必然有， 即，解得，与矛盾，故假设不成立； 所以不存在奇数阶阵． 【解析】 【分析】（1）直接利用定义判断即可； （2）先随意构造一个，在的基础上构造，一个阶矩阵，应该由个阶矩阵组成，左上角的阶矩阵和右下角的阶矩阵必须都是构造的．在的基础上再直接构造，同样，的矩阵应该是由个矩阵组成，左上角的阶矩阵和右下角的阶矩阵必须都是构造的．答案不唯一，合题即可． （3）通过每个数出现的总次数为奇数次，确定每个数应该在对角线处应至少出现奇数次，得出不可能存在奇数阶阵． 【小问1详解】 对于：，∴是阶阵； 对于：，∴不是阵； 【小问2详解】 不妨令，， ，（答案不唯一，构造合题即可）． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第三问核心是利用每个数在所有集合中出现的总次数是次，是奇数次，可以确定每个数都要在对角线中出现奇数次，但对于阶矩阵，对角线最多只有个数，放不下个数，得出矛盾． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $