精品解析：2024年天津市南开区中考三模数学试题

2023～2024学年度第二学期九年级基础训练 数学试卷 本监测分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．监测满分100分．时间60分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，则从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. “学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（ ） A 126300000 B. 12630000 C. 1263000000 D. 1263000 5. 比大，比小的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 的值等于（ ）． A. B. C. D. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的方程的两根分别是，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，中，，，，绕点C顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是（ ）． A. B. C. 4 D. 12. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A 4 B. 3 C. 2 D. 1 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上．） 13. 有4张背面相同，正面分别印有的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为 _____． 14. 计算结果是_____． 15. 计算的结果为__________． 16. 直线与x轴交点为__________． 17. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形位置，连接，，取，的中点，，连接，若，． （1）的长度为__________； （2）的长度为__________． 18. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 三、解答题（本大题共5小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得__________； （2）解不等式，得__________； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为__________． 20. 某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了a名工人每人每天加工零件的件数（单位：件），绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________，图①中的m值为__________； （2）求统计的这组工人加工零件数据的平均数、众数和中位数． 21. 如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径． 22. 综合实践活动： 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径． 测量工具 测角仪、卷尺等 测量 说明：点H为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在B，D处分别测得古塔顶端G的仰角为和，．在与古塔底部边缘E水平距离的点F处测得古塔顶端G的仰角为，．点A，C，H，E，F在同一水平直线上． 参考数据 ，，， ，， 项目任务 （1） 设（单位：m）， ①用含有x的式子表示古塔的高度； ②求出古塔的高度结果取整数． （2） 求出古塔底面圆的半径（结果取整数）． 23. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但也有一部分国家仍然采用华氏温标．某校数学兴趣小组同学通过查阅资料，得到两种温标计量值对应关系如下表所示，其中x（单位：）表示摄氏温度的值，y（单位：）表示华氏温度的值，分析知y是x的某种函数． 摄氏温度值x（单位：） … 0 10 20 30 40 50 … 摄氏温度值y（单位：） … 32 50 68 86 104 122 … （1）写出y关于x的函数关系式； （2）在下面的直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； （3）根据函数图象填空： ①与对应的华氏温度值为__________； ②与对应的摄氏温度值为__________； ③摄氏温度值与华氏温度值相等的温度值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期九年级基础训练 数学试卷 本监测分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．监测满分100分．时间60分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、绝对值，利用有理数的减法法则，绝对值的意义对每个选项的运算进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选：D． 2. 窗棂即窗格（窗里面的横的或竖的格）是中国传统木构建筑的框架结构设计．下列表示我国古代窗棂样式结构图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将一个图形沿着一条直线翻折后两侧能够完全重合，这样的图形是轴对称图形；将一个图形绕着一个点旋转180°后能与自身完全重合，这样的图形是中心对称图形，根据定义依次判断即可得到答案. 【详解】A、是轴对称图形，是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形， 故选：A. 【点睛】此题考查轴对称图形的定义，中心对称图形的定义，熟记定义并掌握图形的特点是解题的关键. 3. 如图是由6个完全相同的小正方体组成的几何体，则从上面看到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，掌握几何体三种视图的空间想象能力是关键．从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形． 【详解】解：从上面看得到的平面图形为：． 故选：B． 4. “学习强国”平台上线的某天，全国大约有人在此平台上学习，用科学记数法表示的数的原数为（ ） A. 126300000 B. 12630000 C. 1263000000 D. 1263000 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将还原成即可求解；掌握表示一个的数的方法：“从右往左数到最后一个非“”数字，小数点移动的位数为就是．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：A． 5. 比大，比小的整数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，分别估算出和的取值范围即可． 【详解】解：，， 比大，比小的整数是2． 故选：B． 6. 的值等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ， 故选：C． 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 将点分别代入反比例函数， 求得，的值后， 再来比较一下它们的大小． 【详解】∵点都在反比例函数的图象上， 故选：C． 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用约分，通分，因式分解计算即可． 本题考查了分式的化简计算，利用约分，通分，因式分解计算是解题的关键． 【详解】 ， 故选A． 9. 已知关于的方程的两根分别是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：，， ∴， 故选D． 10. 如图，在中，，．按照如下步骤作图： ①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N； ②作直线，交点D； ③以D为圆心，长为半径作弧，交延长线于点E； ④连接，． 则下列结论中错误的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质以及三角形内角和定理可得，再根据是的垂直平分线，从而可得，进而可得，再求得，从而利用三角形的外角性质可得，进而可得，再根据等量代换可得，从而可得，进而可得，从而知道，结合以上信息，可以判断选项A，B，C，最后利用，可知，而，从而判断选项D． 【详解】解：，， ， 由题意得：，是的垂直平分线， ，， ， ， ， ， ， ， 故选项B正确； ， ， ， 即， 又， ， 故选项A正确； ，， ， ， ， 故选项C正确； ，， ， ， ， 故选项D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行的的判定，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 11. 如图，中，，，，绕点C顺时针旋转得，当落在边上时，连接，取的中点D，连接，则的长度是（ ）． A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可证、是等边三角形，从而，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：绕点顺时针旋转得，点落在边上， ，，， ，， ，， 是等边三角形， ， ∴，， ∴ 是等边三角形， ，， ， 的中点为， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 12. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且．则下列结论：①；②；③；④方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：①由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置可得，由抛物线与轴的交点位置可得，则可对①进行判断；②根据抛物线与轴有两个交点，则△，作判断；③利用可得到，再把代入即可作出判断；④根据一元二次方程根的判别式可以作出判断． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴的右侧， ， 抛物线与轴的交点在轴上方， ， ，所以①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ， ， 所以②错误； ③，， ， 把代入得， ， 所以③错误； ④对于方程，， ∵， ∴ 方程有两个不相等的实数根，本小题结论正确；， 所以④正确； 本题正确的有：①④2个， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，共64分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上．） 13. 有4张背面相同，正面分别印有的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：一共有4张卡片，其中整数有2个，故从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及平方差公式的应用，根据平方差公式即可求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用． 【详解】解： ， ， ， 故答案为：． 15. 计算的结果为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则计算即可． 【详解】解∶原式， 故答案为∶． 16. 直线与x轴交点为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．令，求出x的值即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴当时，， 得， 即直线与x轴的交点坐标为：， 故答案为：． 17. 如图，将矩形绕点顺时针旋转至矩形的位置，连接，，取，的中点，，连接，若，． （1）的长度为__________； （2）的长度为__________． 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质，连接、，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出． 【详解】解：连接、， 在中，利用勾股定理可得， 为中点， ． 矩形绕点顺时针旋转至的位置， ，且， ． 故答案为：5，． 18. 如图，将一张矩形纸片折叠，折痕为，折叠后，的对应边经过点A，的对应边交的延长线于点P．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，设，，证明，求得，由折叠的性质求得，在中，利用勾股定理列式计算，即可求解． 【详解】解：连接，设，， 由矩形性质和折叠的性质知，，， ∵，， ∴， ∴， 由矩形的性质知： ∴， 折叠的性质知：， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴，即， 在中，，即， 解得， ∴， 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共46分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．） 19. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式，得__________； （2）解不等式，得__________； （3）把不等式和的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为__________． 【答案】（1）； （2）； （3）解集在数轴上表示见解析； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的求解方法． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解集在数轴上表示出来如下图， 【小问4详解】 ∴不等式组的解集为：， 故答案为：． 20. 某部门为了解工人的生产能力情况，进行了抽样调查，随机抽取了a名工人每人每天加工零件的件数（单位：件），绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为__________，图①中的m值为__________； （2）求统计的这组工人加工零件数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）20，25 （2）平均数为124，众数为130，中位数为125 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，计算a；根据所占百分数=频数÷样本容量，计算m即可． （2）利用平均数、众数和中位数的定义计算即可． 本题考查了中位数，众数，平均数，样本估计总体，扇形统计图，熟练掌握统计图的意义，准确计算中位数，平均数是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，得 (人)， ∴， 解得， 故答案为：20,25； 【小问2详解】 ∵， ∴这组数据的平均数为124（个）． ∵这组数据中，130出现了5次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为130（个）． ∵将这20个数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数是120和130， ∴， ∴这组数据的中位数为125（个）． 21. 如图，是的直径，弦于点E，过点C作的切线交的延长线于点F．连接． （1）如图1，若，求的大小； （2）如图2，连接，取中点G，连接，若，且，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键： （1）连接，圆周角定理，得到，垂径定理，得到，切线得到，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）分别连接，求出，设的半径半径为r，在中，利用三角函数求出，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴． ∵是的直径，弦于点E， ∴， ∴． ∵为的切线，且为半径， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 如图，分别连接， 由（1）可知，且， ∵， ∴． 在中，有， 即：， ∴． ∵是的直径， ∴， ∵，且G为中点， ∴， ∴， ∴， 设的半径半径为r， ∵在中，，， ∴， ∵在中，，，， 由勾股定理得：， ∴，即半径为． 22. 综合实践活动： 项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径． 测量工具 测角仪、卷尺等 测量 说明：点H为古塔底面圆圆心，测角仪高度，在B，D处分别测得古塔顶端G的仰角为和，．在与古塔底部边缘E水平距离的点F处测得古塔顶端G的仰角为，．点A，C，H，E，F在同一水平直线上． 参考数据 ，，， ，， 项目任务 （1） 设（单位：m）， ①用含有x的式子表示古塔的高度； ②求出古塔的高度结果取整数． （2） 求出古塔底面圆的半径（结果取整数）． 【答案】（1）①；②；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）①延长交于点M，在中，即可求出，②把数据代入即可求出古塔的高度 （2）中，，利用三角函数进行计算即可解答． 【详解】解：（1）①延长交于点M， 由题意可知：，且四边形均为矩形， 则，， 又∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴． ②在中，，，， ∴，即， 解得， ∴， ∴古塔的高度约为． （2）在中，，， ∴， ∴， ∴古塔底面圆的半径约为． 23. 全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但也有一部分国家仍然采用华氏温标．某校数学兴趣小组同学通过查阅资料，得到两种温标计量值的对应关系如下表所示，其中x（单位：）表示摄氏温度的值，y（单位：）表示华氏温度的值，分析知y是x的某种函数． 摄氏温度值x（单位：） … 0 10 20 30 40 50 … 摄氏温度值y（单位：） … 32 50 68 86 104 122 … （1）写出y关于x的函数关系式； （2）在下面的直角坐标系中，画出y关于x的函数图象； （3）根据函数图象填空： ①与对应的华氏温度值为__________； ②与对应的摄氏温度值为__________； ③摄氏温度值与华氏温度值相等的温度值为__________． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①14；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，求一次函数值，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据表格中的数据，画出函数图象即可； （3）根据函数图象，结合函数解析式求出相应的值即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知：当x每增加10，y增加18，因此y是x的一次函数，故设， 把时，时分别代入得： ， 解得：， ∴y关于x的函数关系式； 小问2详解】 解：y关于x的函数图象，如图所示： 【小问3详解】 解：①把代入得：， ∴与对应的华氏温度值为； ②把代入得：， 解得：， ∴与对应的摄氏温度值为； ③令， 解得：， ∴摄氏温度值与华氏温度值相等的温度值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$