精品解析：江苏省启东中学2023-2024学年高二年级下学期数学第二次月考

江苏省启东中学2023-2024学年度第二学期第二次月考 高二数学试题 命题人：张水菊 审题人：陈琦 供卷人：福佑崇文阁 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 设函数在处可导，且，则（　　） A. B. C. 1 D. －1 2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 3. 已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 4. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ） 附:，. A. 3413 B. 1587 C. 8413 D. 6826 6. 的展开式中的系数为（ ） A. -200 B. -120 C. 120 D. 200 7. 已知随机变量的分布列如图：若，则（    ） 0 1 A. B. C. 或 D. 或 8. 已知 ，则（   ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第百分位数为 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点在上，点在上，则的长度最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的方差为__________． 13. 已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________. 14. 如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 四、解答题（本大题共6小题，共77分） 15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 16. 某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 （1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） （2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 17. 如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形. （1）求证：平面PAC； （2）若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 19. 现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态. （1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率； （2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率； （3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2023-2024学年度第二学期第二次月考 高二数学试题 命题人：张水菊 审题人：陈琦 供卷人：福佑崇文阁 一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分） 1. 设函数在处可导，且，则（　　） A. B. C. 1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】. 故选：B. 2. 已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 3. 已知点 在平面 内，并且对于空间任意一点 ，都有 ，则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理求解即可. 【详解】因为四点共面，且， 所以，解得. 故选：D 4. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 5. 某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩X（满分 150分）服从正态分布，其中考试成绩130分及以上者为优秀，考试成绩90分及以上者为及格.已知优秀的人数为13，本次考试成绩及格的人数大约为（ ） 附:，. A. 3413 B. 1587 C. 8413 D. 6826 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出，求出参加数学测试的总人数即可求出及格人数. 【详解】依题意，这次数学测试的平均分，标准差， 则，参加数学测试的总人数为， 又， 所以本次考试成绩及格的人数大约为. 故选：C 6. 的展开式中的系数为（ ） A. -200 B. -120 C. 120 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】两项乘积的二项展开式问题，先求后面括号的通项，再令和时分别求出系数，再相加即可. 【详解】后面括号内的通项为， 所以当前面括号内取时，后面括号要取含有的项， 即， 此时系数为； 当前面括号内取时，后面括号要取含有的项， 即， 此时系数为； 所以展开式中 的系数为， 故选：B. 7. 已知随机变量的分布列如图：若，则（    ） 0 1 A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由离散型随机变量的期望、方差的计算公式及其性质构造出与、有关方程组即可得解. 【详解】由题意可得，即， 则， 则， 化简得，即， 解得或，则或， 则或. 故选：C. 8. 已知 ，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意构造函数，结合导数讨论其单调性可得，对A：由结合对数运算即可得；对B：构造函数，利用导数讨论其单调性即可得；对C：构造函数，利用导数讨论其单调性即可得；对D：构造函数，利用导数讨论其单调性即可得. 【详解】因为，即， 令，则有， 则，令，则， 令，可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故， 所以恒成立，故单调递减；所以，即； 对A：，故A错误； 对B：设，则， 故在上单调递增，所以， 所以，因为，所以，故B正确； 对C：，即， 设，则， 由 ，所以单调递增． 因为，所以，故C错误； 对D：，即， 令，则， 因为，所以为偶函数， 所以即为． 则，令， 则，所以单调递增， 又，所以当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增， 当时，，故D错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造新函数，结合导数研究函数的单调性从而得到所需的不等关系，需构造函数、、以及. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从正态分布，且，则 B. 一组数据的第百分位数为 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用正态分布的对称性，即可求解；对于B，根据条件直接求出第百分位数，即可求解；对于C，利用相关系的定义，即可求解；对于D，利用线性回归方程经过样本中心，即可求解. 【详解】对于A，因为，又，则，正确， 对于B，因为，所以数据的第百分位数为，错误， 对于C，因为线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，正确， 对于D，由题知，解得，正确. 故选：ACD. 10. 已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先用题目条件得到，然后取特殊值即可验证A，对表达式求导即可验证B，换元并使用二项式定理即可验证C，考查每一项系数的符号并取特殊值即可验证D. 【详解】由已知有，故，. 所以. 对于A，取得，取得， 所以，A错误； 对于B，对求导得， 取得，B正确； 对于C，在中用替换， 得. 所以，特别地对有，C错误； 对于D，由有. 在中取得， 所以，D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在恒等式中取特殊值，以得到相应的结果. 11. 正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点在上，点在上，则的长度最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据线面角的向量求法进行计算求解即可；对于B，根据异面直线夹角的向量求法进行计算求解即可；对于C，先求出点轨迹，再根据向量的运算律将所求向量进行转化，结合定点到圆上一点距离最小值求法进行计算求解；对于D，将问题转化为求异面直线的距离，结合其计算公式进行求解即可. 【详解】对于A，对于正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为，故A错误； 对于B，如图所示， 则，则， 所以直线和夹角余弦值为，故B正确； 对于C， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 所以在以为圆心，为半径的圆上（正方形内的部分）， 取的中点， 则， 由于，所以， 则的最小值为，故C正确； 对于D，若点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 设为直线和的法向量， 又因为， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定理法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某商家有一台电话交换机，其中5个分机专供与顾客通话.设每个分机在内平均占线，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X的方差为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，由二项分布的方差公式求解即可得. 【详解】任一时刻占线的分机数目为X， 每个分机在每一时刻占线的概率为， 因为各个分机是否占线是相互独立的，所以， 故任一时刻占线的分机数目X的方差为． 故答案为：. 13. 已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解． 【详解】设，则 ， 因为，，所以，可得在上单调递增， 不等式，即，即，所以， 因为在上单调递增，所以，解得：， 所以不等式的解集为：， 故答案为：． 14. 如图，经过边长为1的正方体的三个项点的平面截正方体得到一个正三角形，将这个截面上方部分去掉，得到一个七面体，则这个七面体内部能容纳的最大的球半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形，由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时，该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上，以点为原点建立空间直角坐标系，设球心，利用向量法求出球心到平面的距离进而可得出答案. 【详解】如图，七面体为正方体截去三棱锥的图形， 由正方体的结构特征可得这个七面体内部能容纳的球最大时， 该球与三个正方形面和等边三角形面相切，且球心在体对角线上， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 设球心， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则球心到平面的距离为， 因为球与三个正方形面和等边三角形面相切， 所以，解得， 所以这个七面体内部能容纳的最大的球半径是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 四、解答题（本大题共6小题，共77分） 15. 在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列． （1）证明展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有的有理项． 【答案】（1） 由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得 解得（舍去）或 的展开式的通式为 令，得 故展开式中没有常数项； （2）和 【解析】 【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出，再写出展开式的通式，令的次数为计算即可； （2）求出使的次数为整数的，然后代入展开式的通式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，则， ， 展开式中的有理项为和 16. 某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码 1 2 3 4 5 年收入（千元） 59 61 64 68 73 （1）根据表中数据，现决定使用模型拟合与之间的关系，请求出此模型的回归方程；（结果保留一位小数） （2）统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果.在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求.请判断（1）中回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由. 参考数据及公式：，.设，则，. 【答案】（1） （2）拟合效果符合要求，理由：将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4， 则残差平方和为. 因为，所以回归方程拟合效果符合要求. 【解析】 【分析】（1）设，根据数据计算，根据最小二乘法公式计算即可； （2）先利用（1）的方程计算预测值，再利用残差的定义计算残差平方和判定结果即可. 【小问1详解】 根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得： ，， 设，则，所以， 则，. 所以，回归方程为. 【小问2详解】 略 17. 如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面ABC，△PAC是边长为2的正三角形. （1）求证：平面PAC； （2）若点E，F分别是PC，PB的中点，且异面直线AF与BC所成角的正切值为，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线PQ与平面AEF所成角的取值范围. 【答案】（1） 因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点， 所以， 又平面平面ABC，且平面平面，平面ABC， 所以平面PAC； （2） 【解析】 【分析】（1）由C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，得到，再根据平面平面ABC，利用面面垂直的性质定理证明； （2）易得，即，设平面平面，从而，以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求得平面AEF的一个法向量为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由E，F分别是PC，PB的中点，连结AE，EF，所以， 由（1）知平面PAC. 又平面PAC，所以，所以， 所以在中，∠AFE就是异面直线AF与BC所成的角. 因为异面直线AF与BC所成角的正切值为， 所以，即， 又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF， 又平面ABC，平面平面，所以， 所以在平面ABC中，过点A作BC的平行线即为直线l. 以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，从而， 由已知E，F分别是PC，PB的中点，所以， 则，，， 所以，， 所以，， 因为，所以可设，平面AEF的一个法向量为， 则， 取，得， 又，则. 设直线PQ与平面AEF所成角为，则. 所以直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，. 【答案】（1）函数在上单调递增 （2） 证明：原不等式为，即， 即证在上恒成立， 设，则， 所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 令， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以，所以， 且在上有，所以可得到，即， 所以在时，有成立. 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得出答案； （2）当时，，即证在上恒成立，利用导数求出函数的单调区间，再利用导数比较在时，和的大小，即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 记，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以， 所以函数在上单调递增； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间及利用导数证明不等式问题，考查了转化思想及逻辑推理能力，有一定的难度. 19. 现有两个静止且相互独立的粒子经过1号门进入区域一，运行一段时间后，再经过2号门进入区域二，继续运行.两粒子经过1号门后由静止等可能变为“旋转”运动状态或“不旋转”运动状态，并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到2号门，经过2号门后，两粒子运动状态发生改变的概率为（运动状态发生改变即由区域一中的“旋转”运动状态变为区域二中的“不旋转”运动状态或区域一中的“不旋转”运动状态变为区域二中的“旋转”运动状态），并在区域二中一直保持此运动状态. （1）求两个粒子经过1号门后为“旋转”运动状态的条件下，经过2号门后状态不变的概率； （2）若经过2号门后“旋转”运动状态的粒子个数为2，求两个粒子经过1号门后均为“旋转”运动状态的概率； （3）将一个“旋转”运动状态的粒子经过2号门后变为“不旋转”运动状态，则停止经过2号门，否则将一个“旋转”运动状态的粒子再经过2号门，直至其变为“不旋转”运动状态.设停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为（，2，3，4，…，）.求的数学期望（用表示）. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件概率计算公式求得正确答案. （2）根据独立事件概率计算公式求得. （3）根据独立重复事件概率计算公式求得停止经过2号门时，粒子经过2号门的次数为可能取值的概率，然后根据期望公式求解即可 【小问1详解】 记事件A：两个粒子经过1号门后旋转，：两个粒子经过2号门后状态不变， 则，，所以 【小问2详解】 记事件：两个粒子经过1号门后均旋转，则， 【小问3详解】 ，， ，， …… ， ， ， 两式相减可得， 所以. 【点睛】关键点点睛： 本题考查了条件概率求解及分布列的定义及数学期望，解题的关键是利用错位相减法化简数学期望，要注意运算的准确性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $