精品解析：甘肃省武威市凉州区武威二十中联片教研2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

2023－2024学年第二学期甘肃省武威二十中教研联片八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 解得，，   故选：B ． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则求解即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，把几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、与是同类二次根式，符合题意； D、与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，中，，，，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，等面积法求高，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 根据勾股定理可求出的值，再根据等面积法即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴是的高， ∵， ∴，   故选：D ． 5. 中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可分析出A、B的正误；根据勾股定理逆定理可分析出C、D的正误． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴为直角三角形，故此选项不合题意； B、∵， ∴设，则， ∵，即，解得， ∴， ∴为直角三角形，故此选项不合题意； C、∵， ∴设，，， ∵，， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴设，，， ∵，， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 6. 下列命题中，假命题是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法可知A是真命题，根据矩形的判定方法可知B是真命题，根据菱形的判定方法可知C是真命题，根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，可知D是假命题． 【详解】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题； C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题； D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题； 故选D． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解题时注意：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形可能是等腰梯形或筝形． 7. 如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．根据平行四边形的性质得，，，则，结合为角平分线可知，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 8. 如图，在中，，于点，，点是斜边的中点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角度比可算出的度数，根据直角三角形两锐角互余分别求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出的度数，根据即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴，， ∵， ∴在中，， 同理，在中，， ∵点是中点， ∴，即， ∴， ∴，   故选：D ． 9. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设CH＝x， 因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3， 由折叠知，EH＝DH＝9－x， 在Rt△ECH中，由勾股定理，得：，解得：x＝4，即CH=4 考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理 10. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG＝DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG＝CD＝AB，①正确； ②先证四边形ABDE是平行四边形，再证△ABD、△BCD是等边三角形，得AB＝BD＝AD，因此OD＝AG，则四边形ABDE是菱形，④正确； ③由菱形的性质得△ABG≌△BDG≌△DEG，再由SAS证明△BGA≌△COD，得△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，则②不正确； 由中线的性质和菱形的性质可得S△BOG＝S△DOG，S△ABG＝S△DGE，可得四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，得出③正确． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD（SSS）， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OG＝CD＝AB，故①正确； 连接AE， ∵ABCE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，故④正确； ∴AD⊥BE， 由菱形的性质得：△BGA≌△BGD≌△EGD（SSS）， 在△BGA和△COD中， ， ∴△BGA≌△COD（SAS）， ∴△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌△BGD≌△EGD，故②不正确； ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△DOG， ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABG＝S△DGE， ∴四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（共24分） 11. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 12. 已知，则＝______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是先对进行分母有理化，然后再根据完全平方公式求解即可． 【详解】∵， ∴ ； 故答案为：． 13. 下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是__________．（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简与计算，解题的关键是熟知二次根式的相关运算法则． 根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：①，此选项错误； ②，此选项错误； ③与不是同类二次根式，不能合并，事实上，此选项错误； ④，此选项正确； ⑤，此选项错误； 因此，正确的选项有④， 故答案为：④． 14. 如图，是的中线，，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，根据题意，延长到，使得，作，可证，设，根据勾股定理可得的长，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，过点作于点， ∵是的中线， ∴，且 ， ∴， ∴，， 设，则，， 在中，， 在中，， ∴， 解得，，即， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________． 【答案】25 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得的值，再利用勾股定理可得的值，由此即可得． 【详解】解：如图，， ， 则所代表的正方形的面积为25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． 16. 如图，在中，，，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，对角线相互平分，结合三角形周长的计算方法，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵的周长为， ∴， 故答案为： ． 17. 如图，为菱形的对角线．若，则的大小为__________度． 【答案】65 【解析】 【分析】由菱形的性质得出AB=BC，∠B=∠D=50°，由此证明△BAC是等腰三角形，从而即可求得的大小． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=50°， ∴AB=BC，∠B=∠D=50° ∴∠BAC=∠BCA， ∴∠BAC=（180°－∠B）=65°． 故答案为：65． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】①根据余角的性质可判断即可；②根据角平分线的性质判断即可；④根据菱形的判定方法判断即可；⑤证明△ABG≌△FBG（AAS），得出∠BAE=∠BFG，证出∠BFG=∠C，再证出四边形GFCH是平行四边形，得出GF=CH，因此CH=DF，可判断⑤；③当∠C=30°时，∠ADF=2∠CDF；③不正确；即可得出答案． 【详解】解：①∵∠BAC=90°， ∴∠BAE+∠CAE=90°， ∵AE⊥BC， ∴∠C+∠CAE=90°， ∴∠BAE=∠C，①正确； ②作GM⊥AB交AB于M，如图所示： ∵BD平分∠ABC，AE⊥BC， ∴GM=GE， ∴S△ABG：S△EBG=AB·GM：BE·GE=AB：BE；②正确； ④∵∠AGD=∠ABD+∠BAE，∠ADG=∠CBD+∠C，∠BAE=∠C，∠CBD=∠ABD， ∴∠AGD=∠ADG， ∴AG=AD， ∵∠BAC=90°，BD平分∠ABC．DF⊥BC， ∴AD=DF， ∴AG=DF， ∵AE⊥BC， ∴AG∥DF， ∴四边形AGFD是平行四边形， 又∵AG=AD， ∴四边形AGFD是菱形；④正确； ⑤∵四边形AGFD是菱形； ∴∠AGD=∠FGD，GF=DF，∠ADB=∠FDB， ∴∠AGB=∠FGB， 在△ABG和△FBG中， ， ∴△ABG≌△FBG（AAS）， ∴∠BAE=∠BFG， ∵∠BAE=∠C， ∴∠BFG=∠C， ∴GF∥CH， ∵GH∥BC， ∴四边形GFCH是平行四边形， ∴GF=CH， ∴CH=DF，⑤正确； ③∵四边形AGFD是菱形 ∴∠ADF=2∠ADB， 当∠C=30°，∠CDF=60°， 则∠ADF=120°， ∴当∠C=30°，∠ADF=2∠CDF；③不一定正确； 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度． 三、计算题（共8分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是： （1）先计算二次根式的乘法，然后利用二次根式的性质化简各式，最后合并同类二次根式即可； （2）先利用二次根式的性质化简各式，然后去括号，最后合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 四、作图题（共4分） 20. 已知：，线段，． 求作：平行四边形，使，，． 【答案】 所作平行四边形如图所示． 【解析】 【分析】先作，然后在的边上截取，，连接，再根据平行四边形的判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，以为圆心，为半径，为圆心，为半径，分别画弧，取两弧的交点，连接，即可画出平行四边形． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作平行四边形及平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定，根据题意作出相应图形是解题关键． 五、解答题（共54分） 21. 已知，，求的值． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分母有理化的方法并灵活运用． 把已知条件进行分母有理化的运算，对所求的式子运用完全平方公式进行整理代入相应的值运算即可． 【详解】解：化简，， 故． 22. 如图，四边形中，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，先求得的长，再根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，继而求得四边形的面积．熟练掌握相关定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴中，， 则，． ∴． ∴． ∴是直角三角形． ∴四边形的面积是． 23. 如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 【答案】E到C的距离为千米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设千米，则千米，由根据勾股定理可得关于的方程，解方程即得结果． 【详解】如图，设千米，则千米， 在中，根据勾股定理，， 在中，根据勾股定理，， ∵， ∴，即， 解得：， 即E到C的距离为千米． 24. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明． 【答案】四边形AECF是平行四边形， 证明：四边形AECF是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴∠DFA=∠BAF， 又∵∠DCE=∠BAF， ∴∠DCE=∠DFA ∴， ∴四边形AECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，可得出∠DFA=∠BAF，进而得出∠DCE=∠DFA，证得，再根据平行四边形的判定得出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的判定以及平行四边形的判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 25. 已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形为平行四边形． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 解：如图，连接、， ∵， ， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定方法． （1）根据平行四边形的性质，可以得到，，然后即可得到，再根据即可证明； （2）根据（1）中的结论和全等三角形的性质，可以得到，从而可以得到，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，． 点、分别是平行四边形的边、的中点， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的周长等知识点，掌握相关定理是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质得到，，结合利用点、分别是、的中点得到，从而得证； （2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，从而利用平行四边形周长公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，是的中点． ， 平行四边形的周长． 27. 如图，中，，，，点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E，F运动的时间是t秒（）．过点F作于点D，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当t为何值时，； （3）直接写出当t为何值时，为直角三角形? 【答案】（1） 证明：在中， ， 点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，设点D，E运动的时间是t秒 ，， 在中，，，，则 ，且 四边形是平行四边形； （2） （3）或4 【解析】 【分析】（1）求出，，根据平行四边形的判定定理可得结论； （2）由可知四边形是菱形，根据列方程求解即可； （3）分情况讨论：①时；②时；③时；分别根据含直角三角形的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是平行四边形， 在中，，，， ， ． 当平行四边形是菱形时，，则需， 即， 即当时，平行四边形为菱形，； 【小问3详解】 解：当或4时，为直角三角形． 理由如下： 分情况讨论： ①时，如图所示： 则 ，， ， ， ； ②时，如图所示： ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ，，即， ， 解得； ③时，此种情况不存在． 综上所述，当或4时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，含直角三角形的性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年第二学期甘肃省武威二十中教研联片八年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，中，，，，于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件的不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，假命题是（　　） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图，平行四边形中，的平分线交于，则的长（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 8. 如图，在中，，于点，，点是斜边的中点．则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的是（ ） ①；②与EGD全等的三角形共有2个；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形； A. ①③④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④ 二、填空题（共24分） 11. 计算的结果是____________． 12. 已知，则＝______． 13. 下列运算中，①，②，③，④，⑤．其中正确的是__________．（填序号） 14. 如图，是的中线，，，，则的长度为______． 15. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________． 16. 如图，在中，，，则的周长是______． 17. 如图，为菱形的对角线．若，则的大小为__________度． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线交AC于D．过点A作AE⊥BC于E，交BD于G，过点D作DF⊥BC于F，过点G作GH∥BC，交AC于点H，则下列结论：①∠BAE＝∠C；②S△ABG：S△EBG＝AB：BE；③∠ADF＝2∠CDF；④四边形AGFD是菱形；⑤CH＝DF．其中正确的结论是__． 三、计算题（共8分） 19. 计算： （1） （2） 四、作图题（共4分） 20. 已知：，线段，． 求作：平行四边形，使，，． 五、解答题（共54分） 21. 已知，，求的值． 22. 如图，四边形中，，，，，求四边形的面积． 23. 如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 24. 如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，连接CE、AF，∠DCE=∠BAF．试判断四边形AECF的形状并加以证明． 25. 已知：如图，四边形为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形为平行四边形． 26. 已知E，F分别是的边，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若，，求的周长． 27. 如图，中，，，，点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点E，F运动的时间是t秒（）．过点F作于点D，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当t为何值时，； （3）直接写出当t为何值时，为直角三角形? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $