山东省临沂市兰陵县2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023-2024学年山东省临沂市兰陵县高二（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（　　） A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 2．（5分）若X～N（1，σ2），且P（X＞2）＝0.10，则P（X＞0）＝（　　） A．0.10 B．0.40 C．0.80 D．0.90 3．（5分）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，，当|x|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：（1+x）α≈1+α•x，并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（　　） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 4．（5分）函数f（x）＝2x3﹣ax2+7的单调递减区间是（0，2），则a＝（　　） A．6 B．3 C．2 D．0 5．（5分）在（1﹣x）2+（1﹣x）3+（1﹣x）4+（1﹣x）5的展开式中，含x2的项的系数是（　　） A．﹣20 B．﹣4 C．20 D．4 6．（5分）某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（5分）已知函数，当x＝1时，f（x）有极大值．则a＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 8．（5分）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（　　） A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 D．如果4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法 （多选）10．（6分）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，设事件A＝“x＝y”，B＝“x+y为偶数”，C＝“x+2y为奇数”，则（　　） A． B． C．事件B与事件C相互独立 D． （多选）11．（6分）关于函数f（x）＝（x+a）ex，下列说法正确的是（　　） A．当a＝0时，y＝f（x）﹣2x有两个零点 B．当a＝1时，f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增 C．若关于x的方程f（x）＝k有两个不等实根，则 D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞﹣2（a+1） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5分）若随机变量X～B（100，0.9），则σ（X）＝　 　． 13．（5分）已知函数f（x）＝x2+xlnx，若关于x的方程f（x）＝ax2有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围 　 　． 14．（5分）某单位安排甲、乙，丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 　 　种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在的展开式中． （1）求展开式中各项系数之和； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率； （3）求展开式中系数最大的项． 16．（17分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球6个，黑球4个，每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回． （1）求第2次摸到红球的概率； （2）对于事件A，B，C，当P（AB）＞0时，证明：P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）； （3）利用（2）中的结论，求第1，2，3次都摸到红球的概率． 17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣2ax，g（x）＝ax2． （1）讨论f（x）＝ex﹣2ax的单调性； （2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个极值点，求a的取值范围． 18．（15分）强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有4人来自A中学，从这7名学员中随机选取4人，ξ表示选取的人中来自A中学的人数，求ξ的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲乙答对每道题的概率分别为p1，p2．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 19．（17分）已知函数f（x）＝asinx，a＞0． （1）当a＝1时，证明：f（x）＜x在（0，+∞）上恒成立； （2）当a＝2时，证明：，n∈N*； （3）Π是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于∑，如．证明：． 2023-2024学年山东省临沂市兰陵县高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（　　） A．36种 B．48种 C．72种 D．108种 【分析】将2名女生捆绑，再将2名女生看成一个人与男生全排，然后根据分步计数乘法定理求解即可． 【解答】解：将2名女生捆绑共有＝2种方法， 再将2名女生看成一个人与男生全排，共有＝24种排法， 由分步计数乘法定理可得共有2×24＝48种排法． 故选：B． 【点评】本题考查了排列组合简单计数问题，属于基础题． 2．（5分）若X～N（1，σ2），且P（X＞2）＝0.10，则P（X＞0）＝（　　） A．0.10 B．0.40 C．0.80 D．0.90 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.10，进而计算可得答案． 【解答】解：根据题意，X～N（1，σ2），且P（X＞2）＝0.10， 则P（X＜0）＝P（X＞2）＝0.10， 故P（X＞0）＝1﹣P（X＜0）＝0.9． 故选：D． 【点评】本题考查正态分布曲线的性质，涉及概率的计算，属于基础题． 3．（5分）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数α，，当|x|比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得：（1+x）α≈1+α•x，并且|x|的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：．用这样的方法，估计的近似值约为（　　） A．2.015 B．2.023 C．2.031 D．2.083 【分析】变形＝＝＝2，然后根据题意，计算即可得解． 【解答】解：＝＝＝2＝2≈2×（1+×）＝2.031． 故选：C． 【点评】本题考查二项式定理，考查运算求解能力，属于中档题． 4．（5分）函数f（x）＝2x3﹣ax2+7的单调递减区间是（0，2），则a＝（　　） A．6 B．3 C．2 D．0 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解． 【解答】解：f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣）， 因为f（x）＝2x3﹣ax2+7的单调递减区间是（0，2）， 所以＝2，即a＝6． 故选：A． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题． 5．（5分）在（1﹣x）2+（1﹣x）3+（1﹣x）4+（1﹣x）5的展开式中，含x2的项的系数是（　　） A．﹣20 B．﹣4 C．20 D．4 【分析】直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果． 【解答】C解：根据（1﹣x）2的展开式为（r＝0，1，2），当r＝2时，x2的项的系数为1； （1﹣x）3的展开式为（r＝0，1，2，3，），当r＝2时，x2的项的系数为； （1﹣x）4的展开式为（r＝0，1，2，3，4），当r＝2时，x2的项的系数为； （1﹣x）5的展开式为（r＝0，1，2，3，4，5），当r＝2时，x2的项的系数为． 故含x2的项的系数是1+3+6+10＝20． 故选：C． 【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，主要考查学生的运算能力，属于基础题． 6．（5分）某医院需要从4名女医生和3名男医生中抽调3人参加社区的健康体检活动，则至少有1名男医生参加的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】据题意，由组合数公式计算从7名医生中抽调3人的所有可能结果，计算至少有1名男医生参加的事件包含的选法，由古典概型公式计算可得答案． 【解答】解：依题意，从7名医生中抽调3人的所有可能结果共有（种）， 至少有1名男医生参加的事件包含的结果共有（种）， 所以至少有1名男医生参加的概率为． 故选：C． 【点评】本题考查古典概型相关知识，属于基础题． 7．（5分）已知函数，当x＝1时，f（x）有极大值．则a＝（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【分析】根据题中条件列出方程组，解出验证即可； 【解答】解：由题意得， 因为x＝1时，f（x）有极大值， 所以，解得a＝1，b＝0， 经检验，当a＝1，b＝0时，f（x）在x＝1时有极大值， 所以a＝1成立． 故选：B． 【点评】本题主要考查利用导数求极值，属于中档题． 8．（5分）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，可分从甲箱中随机取出一球是白色或黑色两种情况，再根据古典概型以及相互独立事件概率乘法公式可解． 【解答】解：根据题意，若第一次从甲箱中取出的是白球，则再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率为＝， 若第一次从甲箱中取出的是黑球，则再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率为＝， 则再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的是白球的概率是． 故选：A． 【点评】本题考查古典概型以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． （多选）9．（6分）从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有（　　） A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法 B．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法 C．如果4人中男生女生各有2人，那么有30种不同的选法 D．如果4人中至少有一名女生，那么有195种不同的选法 【分析】根据排列组合的简单计数原理对各个选项逐个求解即可． 【解答】解：A：只从男生中选择4人，有种，故A错误； B：由题意只需在剩下的8人中再任选2人，共有种选法，故B正确； C：如果4人中男生女生各有2人，则共有种，故C错误； D：从10人中任选4人，共有种选法，选的4人中全部是男生的有种选法， 故4人中至少有一名女生的选法有210﹣15＝195种，故D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，考查了学生的运算能力，属于基础题． （多选）10．（6分）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，设事件A＝“x＝y”，B＝“x+y为偶数”，C＝“x+2y为奇数”，则（　　） A． B． C．事件B与事件C相互独立 D． 【分析】列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义及条件概率的概率公式计算可得． 【解答】解：先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为x，y， 则基本事件总数为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种情况， 对于A，满足事件A的有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种， 其概率，故A正确； 对于B，满足事件AB的有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种， 所以P（AB）＝＝，故B错误； 对于C，满足事件C的有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），共18 个， 故， 满足事件BC的有：（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共9个， 所以＝， 所以事件B与事件C相互独立，故C正确； 对于D，满足事件AC的有（1，1），（3，3），（5，5），共3种， 所以P（AC）＝＝， 则P（A|C）＝＝＝，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于中档题． （多选）11．（6分）关于函数f（x）＝（x+a）ex，下列说法正确的是（　　） A．当a＝0时，y＝f（x）﹣2x有两个零点 B．当a＝1时，f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增 C．若关于x的方程f（x）＝k有两个不等实根，则 D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞﹣2（a+1） 【分析】对于A，令g（x）＝f（x）﹣2x＝xex﹣2x，求出g（x）的单调区间，即可判断； 对于BC，求出f（x）的单调区间，即可判断； 对于D，x1＜﹣a﹣1＜x2＜﹣a，令H（x）＝f（x）﹣f（﹣2a﹣2﹣x）（x＜﹣a﹣1），H（x）在（﹣∞，﹣a﹣1）上单调递增，即可判断． 【解答】解：∵f（x）＝（x+a）ex，f′（x）＝（x+a+1）ex＞0⇒x＞﹣a﹣1， ∴f（x）在（﹣∞，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增． 对于A，当a＝0时，令g（x）＝f（x）﹣2x＝xex﹣2x，h（x）＝g'（x）＝（x+1）ex﹣2， 则h′（x）＝（x+2）ex＞0⇒x＞﹣2，h（x）即g′（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增． 又当x＜﹣1时，g′（x）＜0；g′（0）＝﹣1＜0，g′（1）＝2e﹣2＞0， ∴∃t∈（0，1），使得g′（t）＝0；当x＜t时，g′（x）＜0；当x＞t时，g′（x）＞0， ∴g（x）在（﹣∞，t）上单调递减，在（t，+∞）上单调递增． 又g（0）＝0，g（1）＝e﹣2＞0， ∴g（x）＝f（x）﹣2x有两个零点，故A正确； 对于B，当a＝1时，f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，故B正确； 对于C，∵f（x）在（﹣∞，﹣a﹣1）上单调递减，在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增， 当x→﹣∞时，f（x）→0，f（﹣a﹣1）＝，f（﹣a）＝0， 关于x的方程f（x）＝k有两个不等实根， ∴，故C错误； 对于D，∵对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，f（x1）＝f（x2）， ∴x1＜﹣a﹣1＜x2＜﹣a， 令H（x）＝f（x）﹣f（﹣2a﹣2﹣x）（x＜﹣a﹣1）， 则H′（x）＝f′（x）+f′（﹣2a﹣2﹣x）＝（x+a+1）ex+（﹣a﹣1﹣x）e﹣2a﹣2﹣x＝（x+a+1）（ex﹣e﹣2a﹣2﹣x）＞0， ∴H（x）在（﹣∞，﹣a﹣1）上单调递增， ∴H（x1）＜h（﹣a﹣1）＝0⇒f（x1）＜f（﹣2a﹣2﹣x1）⇒f（x2）＜f（﹣2a﹣2﹣x1）， 又f（x）在（﹣a﹣1，+∞）上单调递增，x2＞﹣a﹣1，﹣2a﹣2﹣x1＞﹣a﹣1， ∴x2＜﹣2a﹣2﹣x1⇒x1+x2＜﹣2（a+1），故D错误． 故选：AB． 【点评】本题考查函数的零点、利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于难题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（5分）若随机变量X～B（100，0.9），则σ（X）＝　3　． 【分析】利用二项分布的方差公式求出D（X），再结合标准差的定义求解． 【解答】解：∵随机变量X～B（100，0.9）， ∴D（X）＝100×0.9×（1﹣0.9）＝9， ∴σ（X）＝＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了二项分布的方差公式，属于基础题． 13．（5分）已知函数f（x）＝x2+xlnx，若关于x的方程f（x）＝ax2有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围 　（1，）　． 【分析】由f（x）＝ax2可得出＝a有，令，可知直线y＝a与函数g（x）的图象有两个交点，利用导数分析函数g（x）的单调性与极值，数形结合可得出实数a的取值范围． 【解答】解：∵关于x的方程x2+xlnx＝ax2有两个不相等的实数根 ⇔关于x的方程＝a有两个不相等的实数根， 令，则⇒x＞e， ∴函数g（x）在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数， 又，当x→+∞时，g（x）→1， ∴实数a的取值范围是为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，利用导数解决函数零点问题的方法，属于中档题． 14．（5分）某单位安排甲、乙，丙等6人参与周一至周六的值班，每天1人，每人值班1天，要求甲、乙都不值周三和周六，丙不值周五，则不同的安排方法有 　252　种． 【分析】利用分类加法计数原理，结合排列组合知识求解． 【解答】解：分两种情况讨论， ①甲，乙中有一人值周五，有＝144种， ②甲，乙两人都不值周五，有＝108种， 所以不同的安排方法有144+108＝252种． 故答案为：252． 【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在的展开式中． （1）求展开式中各项系数之和； （2）将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率； （3）求展开式中系数最大的项． 【分析】（1）令x＝1，可得展开式中各项系数之和； （2）利用其通项可求得当r＝1，3，5，7时为有理项，再利用插空法可得有理项不相邻的概率； （3）设第r+1项系数最大，依题意，得，解之可得r＝5，进而可得答案． 【解答】解：（1）在的展开式中，令x＝1，可得展开式中各项系数之和为37＝2187； （2）在的展开式中，设其通项为Tr+1，则，r＝0，1，2，…，7， 当r＝1，3，5，7时为有理项， 由插空法得：有理项不相邻的概率为P＝＝； （3）设第r+1项系数最大， 则 即， 解得， 故r＝5此时， 故所求系数最大的项是第6项，为672x﹣9． 【点评】本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 16．（17分）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球6个，黑球4个，每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回． （1）求第2次摸到红球的概率； （2）对于事件A，B，C，当P（AB）＞0时，证明：P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB）； （3）利用（2）中的结论，求第1，2，3次都摸到红球的概率． 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用条件概率公式证明； （3）利用（2）的结论求解即可． 【解答】解：（1）记事件“第i次摸到红球”为Ai（i＝1，2，3，…，10），则第2次摸到红球的事件为A2， 由题意可得，，，，， 所以； （2）证明：因为，， 所以； （3）由题意可知，，，， 由（2）中结论P（ABC）＝P（A）P（B|A）P（C|AB），可得． 【点评】本题主要考查了全概率公式和条件概率公式，属于中档题． 17．（15分）已知函数f（x）＝ex﹣2ax，g（x）＝ax2． （1）讨论f（x）＝ex﹣2ax的单调性； （2）若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有两个极值点，求a的取值范围． 【分析】（1）先对f（x）求导，然后结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论，即可求解； （2）先对h（x）求导，结合函数极值存在条件即可求解． 【解答】解：（1）因为f（x）＝ex﹣2ax，所以f'（x）＝ex﹣2a， 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数， 当a＞0时，令f'（x）＝0，得ex＝2a，即x＝ln2a， 当x∈（﹣∞，ln2a），f'（x）＜0，函数f（x）的减区间为（﹣∞，ln2a）， 当x∈（ln2a，+∞），f'（x）＞0，函数f（x）的增区间（ln2a，+∞）， 故当a≤0时，函数f（x）在R上是增函数， 当a＞0时，函数f（x）的减区间为（﹣∞，ln2a），函数f（x）的增区间（ln2a，+∞）； （2）由h（x）＝f（x）﹣g（x）得h（x）＝ex﹣ax2﹣2ax， 所以h'（x）＝ex﹣2ax﹣2a． 令h'（x）＝0，得． 设，；则， 令φ'（x）＝0，即，解得x＝0， 当x＞0时，φ'（x）＜0，当x＜0时，φ'（x）＞0， 所以φ（x）在（﹣∞，0）上单调递增；在（0，+∞）上单调递减． 分别作出函数与的图象，如图所示， 由图象可知，时，解得，函数h（x）有两个极值点， 所以当时，函数h（x）两个极值点． 【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数极值存在条件的应用，属于中档题． 18．（15分）强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有4人来自A中学，从这7名学员中随机选取4人，ξ表示选取的人中来自A中学的人数，求ξ的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲乙答对每道题的概率分别为p1，p2．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【分析】（1）由题意可知，ξ的所有可能取值是1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到X的分布列，再结合期望公式求解； （2）设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A，利用独立事件的概率乘法公式求出P（A），再结合二次函数的性质求出P（A）的最大值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，ξ的所有可能取值是1，2，3，4， 则，，，， 所以ξ的分布列是： ξ 1 2 3 4 P 所以； （2）设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A， 则＝p1p2[2p1+2p2﹣3p1p2]， 由，得， 令， 因为0≤p1≤1，0≤p2≤1，所以， 所以， 设＝﹣3x2x，对称轴为x＝， 因为，所以f（x）在[，]上单调递增， 所以当时，f（x）取得最大值， 所以当时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值． 【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题． 19．（17分）已知函数f（x）＝asinx，a＞0． （1）当a＝1时，证明：f（x）＜x在（0，+∞）上恒成立； （2）当a＝2时，证明：，n∈N*； （3）Π是希腊字母，即π的大写形式，在数学中表示求积运算或直积运算，形式上类似于∑，如．证明：． 【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝sinx，令g（x）＝x﹣sinx，求导即可证明结论； （2）当a＝2时，f（x）＝2sinx，问题转化为证明，令，即证tant+sint＞2t（0＜t≤1）．设h（t）＝tant+sint﹣2t，再由导数研究单调性即可证明； （3）令p（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），利用导数证明其单调性，可得lnx≤x﹣1，以x+1替换x，可得ln（x+1）≤x，得到，求和后结合对数的运算性质得结论． 【解答】证明：（1）当a＝1时，f（x）＝sinx， 令g（x）＝x﹣sinx，则g'（x）＝1﹣cosx≥0， ∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，可得g（x）＝x﹣sinx＞g（0）＝0， 即f（x）＜x在（0，+∞）上恒成立； （2）当a＝2时，f（x）＝2sinx， 要证明：，n∈N*， 即证：，n∈N*， 即证明：， 也就是证：， 令，即证明：sint＞2tcost﹣sintcost， 需证明：tant+sint＞2t（0＜t≤1）． 设h（t）＝tant+sint﹣2t，则， ∴h（t）＝tant+sint﹣2t在（0，1]是增函数，h（t）＞h（0）＝0成立， ∴，n∈N*； （3）令p（x）＝lnx﹣x+1（x≥1），则， ∴p（x）在[1，+∞）上单调递减， ∴p（x）≤p（1）＝0，得lnx≤x﹣1，以x+1替换x，可得ln（x+1）≤x， ∴， ∴， 可得：． 【点评】本题考查数列与不等式的综合，训练了利用导数研究函数的单调性与最值，考查逻辑思维能力与推理论证能力，考查运算求解能力，综合性强，难度较大． 学科网（北京）股份有限公司 $$