精品解析：广东省湛江市某校2023-2024学年高二上学期期中考试数学普通试题

第一学期期中考试高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 命题人： 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 数列，3，，9，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 把各项与项数建立联系后可得． 【详解】数列各项可改写为：， 因此一个通项公式可为． 故选：B． 【点睛】本题考查数列的通项公式，由数列的前几项归纳出数列的一个通项公式，对于选择题可以采取检验伯方法，即在每个选项中令代入计算是否相符． 2. 在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算即得. 【详解】在中，由，，得， 利用正弦定理，得. 故选：C 3. 若满足，则目标函数的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值. 【详解】不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 画直线，平移直线至，当直线经过点时，的纵截距最小，最小，， 所以函数的最小值为1. 故选：D 4. 某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（ ） A. 2200元 B. 1600元 C. 2400元 D. 3600元 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，每隔两年该型号计算机价格降低， 所以6年后，价格降低为（元）， 故选：B 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 6. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， ， 所以，所以是直角三角形. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 7. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得,再利用“1的妙用”结合基本不等式求最小值即可. 【详解】因为,故,即. 故,当且仅当,即时取等号. 故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量垂直的坐标关系以及基本不等式中“1 的妙用”.属于中档题. 8. 已知等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等比数列前项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可. 【详解】因为是等比数列，故由前项和的片段和性质， 可得依旧成等比数列， 因为，，，则 故解得. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列前项和的片段和性质，属基础题. 9. 变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ） A. —2 B. —1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】 将目标函数变形为，当取最大值，则直线纵截距最小，故当时， 不满足题意；当时，画出可行域，如图所示， 其中．显然不是最优解， 故只能是最优解，代入目标函数得， 解得，故选C． 考点：线性规划． 10. 数列的前n项和为，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的通项公式，利用裂项相法求和即得. 【详解】依题意，， 则， 所以. 故选：D 11. 对于任意实数、、、，命题：①若，，则； ②若，则； ③，则；④若且，则； ⑤若，，则.其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】对于①项，举反例，当时，，可判断①项； 对于②项，举反例，当时，，可判断②项； 对于③项，由，所以即，所以，可判断③项； 对于④项，举反例，取，满足且，但此时，可判断④项； 对于⑤项，举反例，当，时，满足，此时，可判断⑤项； 【详解】①项，当时，，故①项错误； ②项，当时，，故②项错误； ③项，由，得即，所以，故③项正确； ④项，取，满足且，但此时，故④项不正确； ⑤项，当，时，满足，此时，故⑤项错误； 综上所述，正确命题为③。 故选：A。 【点睛】本题考查运用不等式的性质判断所给的不等式的不等关系是否成立，属于基础题，注意在运用不等式的性质需严格地满足不等式性质所需的条件。 12. 中，，，面积为，则外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，最后由正弦定理求出直径. 【详解】在中，，，面积为，则，解得， 由余弦定理得， 由正弦定理得外接圆的直径. 故选：C 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知关系式变形整体得到cosA即可. 【详解】由a2－b2－c2＝bc可得： ， 即cosA=，所以. 故答案为： . 14. 已知实数、满足，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示， 联立，解得，得点. 则的几何意义是区域内的点与定点连线的斜率， 当直线从逆时针旋转至接近直线（不与直线重合）时，直线的倾斜角逐渐增大，且为钝角，此时，即； 当直线从逆时针旋转至直线时，直线的倾斜角从逐渐变大为锐角，此时. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合直线的斜率公式以及利用数形结合是解决本题的关键，属于中等题. 15. 等比数列中且，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解. 【详解】等比数列中，且，则， 所以. 故答案为：2 16. 定义新运算“*”为：（为正实数）．若，则函数的最小值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定的运算求出，代入化简并借助基本不等式求解即得. 【详解】依题意，，即，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故答案为：3 三、解答题（17～21题每题12分，22题10分，共70分） 17. 已知等差数列中，，． （1）求的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出及公差即可. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以 . 18. 已知不等式的解集是． （1）求实数的值． （2）解不等式． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的解集，结合赵大宝列式计算即得. （2）由（1）的结论，化不等式为不等式组求解即可. 【小问1详解】 由不等式的解集是，得是方程的二根，且， 于是，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，不等式化为，即或， 解，得或，解，无解， 所以原不等式的解集是. 19. 在四边形ABCD中，，，，，，求BC的值． 【答案】. 【解析】 【分析】作出四边形，在中，设，利用余弦定理可得，在中，根据正弦定理即可求解. 【详解】解：根据题意画出图形，如图所示． 在中，设． 根据余弦定理，得， 所以，整理得， 解得或（舍去），即． 在中，根据正弦定理，得， 则． 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 20. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列． （2）设数列，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：数列中，由，得，而， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，配凑并结合等比数列定义推理即得. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则， ， 于是， 两式相减得， 所以 21. 在锐角中，，，分别为角，，所对的边且. （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解； （2）由面积公式和余弦定理列方程可得. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， ， ， 因为为锐角三角形， 所以. 【小问2详解】 因为的面积， 所以解得. 由余弦定理可得， 所以， 解得. 22. 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8. 【答案】 由于为互不相等的正实数，且， 所以， 所以 . 【解析】 【分析】结合基本不等式证得结论成立. 【详解】略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一学期期中考试高二数学试题 时间：120分钟 总分：150分 命题人： 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1. 数列，3，，9，…的一个通项公式是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角所对的边分别为，若，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 若满足，则目标函数的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 2 D. 1 4. 某型号计算机的成本不断降低，若每隔两年该型号计算机价格降低，现在的价格是5400元，则6年后价格降低为（ ） A. 2200元 B. 1600元 C. 2400元 D. 3600元 5. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 设在中,角所对的边分别为, 若, 则的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 7. 已知向量，，若，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知等比数列的前项和为，，，则（ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 9. 变量满足约束条件，若的最大值为2，则实数等于（ ） A. —2 B. —1 C. 1 D. 2 10. 数列的前n项和为，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 11. 对于任意实数、、、，命题：①若，，则； ②若，则； ③，则；④若且，则； ⑤若，，则.其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 中，，，面积为，则外接圆的直径为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，则A＝________. 14. 已知实数、满足，则的取值范围为______. 15. 等比数列中且，则______． 16. 定义新运算“*”为：（为正实数）．若，则函数的最小值为______． 三、解答题（17～21题每题12分，22题10分，共70分） 17. 已知等差数列中，，． （1）求的通项公式． （2）设，求数列的前项和． 18. 已知不等式的解集是． （1）求实数的值． （2）解不等式． 19. 在四边形ABCD中，，，，，，求BC的值． 20. 已知数列满足，． （1）证明：数列是等比数列． （2）设数列，求数列的前项和． 21. 在锐角中，，，分别为角，，所对的边且. （1）确定角的大小； （2）若且的面积为，求的值. 22. 已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：>8. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $