精品解析：广东省湛江市某校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学普通试题

数学 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2．请将正确答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：选修1-2和选修4-4第一章. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 复数的虚部是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：化简复数z，写出它的虚部即可． 详解：∵复数z====﹣i， ∴z的虚部是﹣1． 故选D． 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设， 则， . 2. 在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是 A. 频率分布直方图 B. 回归分析 C. 独立性检验 D. 用样本估计总体 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出观测值K2，对照数表可得出概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验． 本题选择C选项. 3. 用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是 A. 且 B. a，b不全为0 C. a，b中至少有一个为0 D. a，b中只有一个为0 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项. 【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a，b全为0的否定是a，b不全为0，故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题. 4. 由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为 A. ②①③ B. ②③① C. ①②③ D. ③①② 【答案】D 【解析】 【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解. 【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是： 大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女； 小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生； 结论：②安梦怡是独生子女，故选D. 【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 5. 若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由可得：， ∴的共轭复数为 故选D 6. 某同学每次投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，第3次才投中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相互独立概率乘法公式计算即可 【详解】∵每次投篮命中的概率为， ∴连续投篮3次，第3次才投中的概率为 故选：B 7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(　　) A. 15 B. 105 C. 245 D. 945 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：采用列举法列出运算各步结果结束算法，输出，故选B． 考点：算法与程序框图． 8. 下列推理属于演绎推理的是 A. 由圆的性质可推出球的有关性质 B. 由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° C. 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分 D. 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电 【答案】D 【解析】 【详解】选项A, 由圆的性质类比推出球的有关性质,这是类比推理; 选项B, 由等边三角形、直角三角形的内角和是，归纳出所有三角形的内角和都是,是归纳推理; 选项C, 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分,是归纳推理; 选项D, 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电,这是三段论推理,属于演绎推理; 故选D. 9. 在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y （单位：百元）与当天的平均气温x （单位：℃）之间有如下数据：（ ） x/℃ 20 22 24 21 23 y/百元 1 3 6 2 3 若y与x 具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知数据求得x，y的平均数，可得选项. 【详解】由题意知：，， 所以y与x的线性回归方程必过的点，即为， 故选：A. 【点睛】本题考查线性回归方程的样本中心，属于基础题. 10. 若有一段演绎推理：“大前提：对任意实数，都有．小前提：已知为实数．结论：．”这个结论显然错误，是因为 (　 　) A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，根据题意，举出反例，即当a＜0时，n为偶数时，显然不成立，即可做出判断. 【详解】由已知，对任意实数a，都有， 所以当a＜0时，n为偶数时，显然不成立． 故大前提错误． 故选：A． 11. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】记事件为“四月份吹东风”，事件为“四月份下雨”，则 ， 所以， 故选：A 12. 已知函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的导数，利用导数的运算法则可得，利用函数的周期性进行求解，即可得到答案． 【详解】由题意，函数， 所以， ， ， ， 依次类推，可得，即是周期为4的周期函数， 所以，故选A． 【点睛】本题主要考查了三角函数的导数，周期性，及观察归纳思想的运用，其中熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 复数满足，则的共轭复数________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出复数，进而求得其共轭复数． 【详解】解：， ． 故答案为：． 14. 已知，，，...，类比这些等式，若（均为正整数），则__________． 【答案】55 【解析】 【详解】分析:观察分析，得到规律可表示为，进而得到a,b的值． 详解：由题可知，规律可表示为 故可得,则 点睛：本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧． 15. 甲、乙、丙三位同学中只有一人会拉小提琴， 甲说：我会； 乙说：我不会； 丙说：甲不会； 如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会拉小提琴的是________． 【答案】乙 【解析】 【分析】通过分别判断甲乙丙为真话得到相应情况，看是否符合题意从而得到答案. 【详解】假如甲说的是真话，则甲会拉钢琴，于是乙说的也是真话，矛盾；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，甲也不会，于是丙会拉钢琴，则丙说的是真话与一人说真话矛盾；假如丙说的是真话，于是甲说的是假话，则乙也说的假话，所以乙会，符合题意.故答案是乙. 【点睛】本题主要考查逻辑推理能力，阅读理解能力，意在考查学生的分析能力. 16. 给出下列命题： ①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②由变量和的数据得到其回归直线方程，则一定经过点； ③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ④将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ⑤在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位， 其中真命题的序号是_________． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】 根据线性相关系数，回归直线方程，抽样方法，方差的公式，逐一判断即可得到结论. 【详解】①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，故①不正确； ②由变量和的数据得到其回归直线方程，其点为样本中心点，一定在回归直线方程上，故②正确； ③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，而是系统抽样，故③错误； ④由方差的公式，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，其平均数也相应的增加或减少同一个常数，故方差不变，故④正确； ⑤在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位，故⑤正确. 故答案为：②④⑤. 【点睛】本题考查独立性检验，考查分层抽样方法，考查线性回归方程，考查判断两个相关变量之间的关系，这种题考查的知识点比较多，需要认真分析，属于基础题． 三、解答题（17题10分，18-21题，每题12分，共70分） 17. 已知，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若对应的点在第一象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数的性质，令虚部等于零进行求解即可； （2）直接由实部与虚部大于，联立不等式组求解. 【小问1详解】 因为z为实数，则，解得或； 【小问2详解】 由题意得，对应的点在第一象限，则，解得或． 的取值范围是. 18. 证明下列各题： （1）求证：； （2）用综合法或分析法证明：若，则． 【答案】（1） 要证， 只需证， 因为， 所以只需证 即证， 即证， 只需证，显然成立，所以原不等式成立. （2） 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故， 又在上单调递增， 所以，故得证. 【解析】 【分析】（1）由分析可得要证明，只需证，而显然成立，不等式得证； （2）利用基本不等式可得，再由在上单调递增，从而证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生共55人，其中有10人表示对冰球运动没有兴趣． （1）试列出列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 （2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】（1） 有兴趣 没兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断； （2）利用古典概型的概率公式，代入计算，即可求解. 【小问1详解】 从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占， 则女生中对冰球感兴趣的有人， 因为， 所以有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”. 【小问2详解】 记5人中对冰球有兴趣的3人分别为，对冰球没兴趣的2人为， 则从这5名学生中随机抽取3人，有， ，共10种情况， 其中3人都对冰球有兴趣的情况有，共1种， 有2人对冰球有兴趣的情况有，共6种， 所以至少有2人对冰球有兴趣的情况有7种， 因此，所求事件的概率为. 20. （1）的三个内角成等差数列，的对边分别为．求证：． （2）已知：为互不相等的实数，且，求证：． 【答案】（1）要证， 只需证，即证，即证， 只需证，只需证， 因为的三个内角成等差数列，所以, 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以，原等式成立； （2） 因为为互不相等的实数，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）利用分析法结合余弦定理证明即可； （2）由已知等式变形得，三式相乘即可得结论. 【详解】（1）略 （2）略 21. 在直角坐标系xOy中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求C1，C2的极坐标方程； （2）若直线C3的极坐标方程为，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求△OAB的面积． 【答案】（1）C1（ρ∈R），C2：ρ-2cosθ-4sinθ=0；（2） 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式，代入即可求解曲线的直角坐标方程； （2）将和代入曲线的极坐标方程，求得和，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）由题意，因为，代入， 可得C1的极坐标方程为，解得， 由，可化为， 代入可得C2的极坐标方程为，即． （2）将代入，解得． 将代入，解得． 故△OAB的面积为． 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及极坐标方程的应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，合理利用曲线的极坐标方程，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22. 某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚（每间一亩）进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图.光照时长为（单位：小时），大棚蔬菜产量为（单位：千斤每亩），记. （1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量关于光照时长的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（结果保留小数点后两位） （3）根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用（2）中所求方程估计当光照时长为小时（自然对数的底），大棚蔬菜亩产约为多少. 参数数据： 290 102.4 52 4870 540.28 137 1578.2 272.1 参考公式：关于的线性回归方程中，， 【答案】（1）更适宜作为回归方程类型；（2）；（3）千斤每亩． 【解析】 【分析】 （1）根据散点图中点的位置判断； （2）记.则为，由已知数据计算方程中的系数，即可得； （3）在（2）的方程中令代入计算可得． 【详解】（1）根据散点图，开始的点在某条直线旁，但后面的点会越来越偏离这条直线，因此更适宜作为回归方程类型； （2）记.则为， ，， ，， 所以，即． （3）时，． 【点睛】关键点点睛：本题考查线性回归直线方程，解题关键是根据已知数据计算出回归直线方程中系数．考查了运算求解能力．求解时，注意题目提供的数据，公式，特别是计算公式不能把数据弄混，否则会得出错误结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2．请将正确答案填写在答题卡上. 3．本试卷主要考试内容：选修1-2和选修4-4第一章. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 复数的虚部是 A. B. C. D. 2. 在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分析方法应是 A. 频率分布直方图 B. 回归分析 C. 独立性检验 D. 用样本估计总体 3. 用反证法证明命题：“若，且，则a，b全为0”时，要做的假设是 A. 且 B. a，b不全为0 C. a，b中至少有一个为0 D. a，b中只有一个为0 4. 由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为 A. ②①③ B. ②③① C. ①②③ D. ③①② 5. 若复数满足(为虚数单位)，则的共轭复数为 A. B. C. D. 6. 某同学每次投篮命中的概率为，则他连续投篮3次，第3次才投中的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为(　　) A. 15 B. 105 C. 245 D. 945 8. 下列推理属于演绎推理的是 A. 由圆的性质可推出球的有关性质 B. 由等边三角形、等腰直角三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° C. 某次考试小明的数学成绩是满分，由此推出其它各科的成绩都是满分 D. 金属能导电，金、银、铜是金属，所以金、银、铜能导电 9. 在疫情冲击下，地摊经济有利于缓解部分失业人群的燃眉之急，2020年5月底中央开始鼓励地摊经济，某地摊的日盈利y （单位：百元）与当天的平均气温x （单位：℃）之间有如下数据：（ ） x/℃ 20 22 24 21 23 y/百元 1 3 6 2 3 若y与x 具有线性相关关系，则y与x的线性回归方程必过的点为（ ） A. B. C. D. 10. 若有一段演绎推理：“大前提：对任意实数，都有．小前提：已知为实数．结论：．”这个结论显然错误，是因为 (　 　) A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 11. 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，若，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 复数满足，则的共轭复数________. 14. 已知，，，...，类比这些等式，若（均为正整数），则__________． 15. 甲、乙、丙三位同学中只有一人会拉小提琴， 甲说：我会； 乙说：我不会； 丙说：甲不会； 如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会拉小提琴的是________． 16. 给出下列命题： ①线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②由变量和的数据得到其回归直线方程，则一定经过点； ③从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ④将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ⑤在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加0.1个单位， 其中真命题的序号是_________． 三、解答题（17题10分，18-21题，每题12分，共70分） 17. 已知，复数． （1）若是实数，求的值； （2）若对应的点在第一象限，求的取值范围． 18. 证明下列各题： （1）求证：； （2）用综合法或分析法证明：若，则． 19. 2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生共55人，其中有10人表示对冰球运动没有兴趣． （1）试列出列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 女 合计 （2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20. （1）的三个内角成等差数列，的对边分别为．求证：． （2）已知：为互不相等的实数，且，求证：． 21. 在直角坐标系xOy中，直线，圆，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求C1，C2的极坐标方程； （2）若直线C3的极坐标方程为，设C1与C2的交点为O，A，圆C2与C3的交点为O，B，求△OAB的面积． 22. 某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时，为创造更大价值，提高亩产量，积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案，该农场选取了20间大棚（每间一亩）进行试点，得到各间大棚产量数据绘制成散点图.光照时长为（单位：小时），大棚蔬菜产量为（单位：千斤每亩），记. （1）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为大棚蔬菜产量关于光照时长的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（结果保留小数点后两位） （3）根据实际种植情况，发现上述回归方程在光照时长位于6~14小时内拟合程度良好，利用（2）中所求方程估计当光照时长为小时（自然对数的底），大棚蔬菜亩产约为多少. 参数数据： 290 102.4 52 4870 540.28 137 1578.2 272.1 参考公式：关于的线性回归方程中，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $