精品解析：山西省大同市平城区大同市第三中学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

大同三中2023—2024学年第二学期五月教学质量检测 八年级（数学）试卷 满分120分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（    ） A. B. C D. 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如果函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|是x的正比例函数，那么k的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 0或2 D. 2 4. 一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解是( ) A. x＝5 B. x＝－5 C. x＝0 D. 无法求解 5. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C D. 6. 点和都在直线上，则与大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 甲车行驶到距城240km处，被乙车追上 B. A城与B城的距离是300km C. 乙车的平均速度是80km/h D. 甲车比乙车早到B城 9. 已知一次函数满足，且y随x的增大而减小，则一次函数的大致图象是大致是（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（﹣1，3） B. 它的图象经过第一、三、四象限 C. 当x＞时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 11. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，正方形OABC中，点B(4，4)，点E，F分别在边BC，BA上，OE=，若∠EOF=45°，则OF的解析式为　(　　) A. y=x B. y=x C. y=x D. y=x 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若点在一次函数图象上，则的值为__________． 14. 将直线向上平移a()个单位长度后，经过点，则a的值为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E，F，已知，则五边形的面积是 ___________ ． 16. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 17. 已知一次函数与的图像的交点为，则方程组的解是________． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则当取最小值时，点的坐标为_______． 三、解答题 19. 计算： （1）． （2）． 20. 如图，在中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且，求证：四边形OCFE是平行四边形． 21. 如图，直线与直线在同一平面直角坐标系内交于点，且直线与轴交于点． （1）求直线的解析式 （2）直接写出的解集为______． 22. 如图，直线l1函数关系式为y＝－x－1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（2，0），B（－1，3），直线l1与l2交于点C． （1）求直线l2的函数关系式； （2）点C的坐标为 ； （3）求△ADC的面积． 23. 如图，直线y=kx+6(k≠0)与x轴，y轴分别交于点E，F，点E的坐标为(-8，0)，点A的坐标为(-6，0)，点P(x，y)是线段EF上的一个动点 （1）求k的值； （2）求点P在运动过程中△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△OPA的面积为9时，求点P的坐标． 24. “靠山吃山，靠水吃水”．紧邻云台山的大学生王林暑期借文旅热潮的东风，在景区附近售卖纪念品，购买了A，B两种纪念品共140件，每件纪念品的批发价和零售价如下表所示： 批发价/元 零售价/元 A 10 25 B 8 20 （1）若王林恰好用完预计的进货款1280元，则应购进A，B两种纪念品各多少件? （2）若A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，应怎样进货才能获得最大利润?利润最多为多少元? 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段，的长分别是，且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处． （1）求线段的长； （2）求点的坐标； （3）所在直线与相交于点，点在轴的正半轴上，以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大同三中2023—2024学年第二学期五月教学质量检测 八年级（数学）试卷 满分120分 考试时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，共36分） 1. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的加法、减法、乘法与除法法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：对于A选项，，正确，符合题意； 对于B选项，和不能合并，即，不正确，不符合题意； 对于C选项，，不正确，不符合题意； 对于D选项，，不正确，不符合题意； 故选A． 2. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴自变量x的取值范围是， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 3. 如果函数y＝（k﹣2）x|k﹣1|是x的正比例函数，那么k的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 0或2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义得出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得： |k﹣1|＝1且k﹣2≠0， ∴k＝2或k＝0且k≠2， ∴k＝0， 故选：A． 【点睛】题目主要考查正比例函数的定义，理解正比例函数的定义中自变量的系数不为0 是解题关键． 4. 一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解是( ) A. x＝5 B. x＝－5 C. x＝0 D. 无法求解 【答案】B 【解析】 【详解】∵一次函数y＝ax＋b交x轴于点(－5，0)， ∴关于x的方程ax＋b＝0的解是x＝－5. 故选B. 5. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数表达式的三种表示之一图象法，根据函数定义，在自变量的取值范围内，有且只有一个值，从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于D选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：D． 6. 点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当k＜0时，y随x的增大而减小，可以解答本题． 【详解】解：∵y=-3x+2，k=-3＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵点A（-5，y1），B（-2，y2）都在直线y=-3x+2上，-5＜-2 ∴y1>y2， 故选A． 【点睛】本题考查一次函数y=kx+b（k≠0，且k，b为常数）的图象性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小． 7. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图像描述大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为： 当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长等于火车长，此时y最大，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 8. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ） A. 甲车行驶到距城240km处，被乙车追上 B. A城与B城的距离是300km C. 乙车的平均速度是80km/h D. 甲车比乙车早到B城 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象即可判断． 【详解】由图象可知，A城与B城的距离是300km，故B选项正确； 甲车的速度，， 甲车行驶到距城240km处，被乙车追上，故A选项正确； 乙车的速度，故C选项正确； 乙车比甲车先到达B城，故D选项不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 已知一次函数满足，且y随x的增大而减小，则一次函数的大致图象是大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限；当时y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数中，y随x的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴此函数的图象经过第二、三、四象限， ∴四个选项中只有C选项的函数图象符合题意， 故选：C． 10. 对于函数y=﹣3x+1，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象必经过点（﹣1，3） B. 它的图象经过第一、三、四象限 C. 当x＞时，y＜0 D. y的值随x值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征对A进行判断；根据一次函数的性质对B、D进行判断；利用x＞时，函数图象在y轴的左侧，y＜0，则可对C进行判断． 【详解】A、当x=-1时，y=﹣3x+1=4，则点（-1，3）不在函数y=﹣3x+1的图象上，所以A选项错误； B、k=﹣3＜0，b=1＞0，函数图象经过第一、二、四象限，所以B选项不正确； C、当x＞时，y＜0，所以C选项正确； D、y随x的增大而减小，所以D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降；由于y=kx+b与y轴交于（0，b）,当b>0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b<0,（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴，掌握知识点是解题关键． 11. 一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键． 根据一次函数交点与不等式关系直接求解即可得到答案； 【详解】解：与y轴交于负半轴， 与y轴交于正半轴， ， ， 从图象得，在P点右侧在的图象上方， 当时，的图象在函数的图象的上面， 不等式解集为． 将在数轴上表示为： 故选：A． 12. 如图，正方形OABC中，点B(4，4)，点E，F分别在边BC，BA上，OE=，若∠EOF=45°，则OF的解析式为　(　　) A. y=x B. y=x C. y=x D. y=x 【答案】B 【解析】 【详解】分析：作辅助线，构建全等三角形，证明△OCE≌△OAD和△EOF≌△DOF，得EF=FD，设AF=x，在直角△EFB中利用勾股定理列方程求出x=，根据正方形的边长写出点F的坐标，并求直线OF的解析式． 详解：延长BF至D，使AD=CE，连接OD． ∵四边形OABC是正方形，∴OC=OA，∠OCB=∠OAD，∴△OCE≌△OAD，∴OE=OD，∠COE=∠AOD． ∵∠EOF=45°，∴∠COE+∠FOA=90°﹣45°=45°，∴∠AOD+∠FOA=45°，∴∠EOF=∠FOD． ∵OF=OF，∴△EOF≌△DOF，∴EF=FD，由题意得：OC=4，OE=2，∴CE==2，∴BE=2， 设AF=x，则BF=4﹣x，EF=FD=2+x，∴（2+x）2=22+（4﹣x）2，解得：x=， ∴F（4，）， 设OF的解析式为：y=kx，4k=，k=， ∴OF的解析式为：y=x． 故选B． 点睛：本题是利用待定系数法求一次函数的解析式，考查了正方形的性质及全等三角形的性质与判定，作辅助线构建全等三角形是本题的关键，利用全等三角形的对应边相等设一未知数，找等量关系列方程，求出点F的坐标，才能运用待定系数法求直线OF的解析式． 二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 若点在一次函数的图象上，则的值为__________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵在一次函数， ∴， ∴m=2． 故答案为2. 14. 将直线向上平移a()个单位长度后，经过点，则a的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解． 【详解】解：直线向上平移a()个单位长度后的解析式为：， ∴， 解得： 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E，F，已知，则五边形的面积是 ___________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线解析式分别求出点E、F的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵当时，，解得， ∴点E的坐标是，即， ∵， ∴， ∴点F的横坐标是， ∴，即， ∴五边形面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据直线的解析式求出点E、F的坐标是解题的关键，同时也考查了矩形的性质． 16. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 17. 已知一次函数与图像的交点为，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二元一次方程组的关系，一次函数的交点就是由它们组成的二元一次方程组的解．直接根据一次函数和二元一次方程组的关系求解． 【详解】解：一次函数与的图像的交点为， 方程组的解是． 故答案为：． 18. 在如图所示的平面直角坐标系中，点是直线上的动点，，是轴上的两点，则当取最小值时，点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一次函数的性质，对称点的坐标，最短路径问题，一次函数解析式，正确确定出点的位置是解题的关键． 根据直线的性质作点关于直线的对称点交轴于点，连接交直线于一点即是点，此时的值最小，求出直线的解析式，联立直线即可求解． 【详解】由题意可得直线是第一三象限的角平分线， ∴作点关于直线的对称点交轴于点，连接交直线于一点即是点，此时的值最小，即是线段， ∵点， ∴点，即， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，则， ∴， ∴ 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，零次幂和负指数幂，去绝对值，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的乘法运算法则，零次幂和负指数幂，去绝对值化简，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． （2）直接利用二次根式的混合运算，化简二次根式，进而计算得出答案． 【小问1详解】 原式： ． 【小问2详解】 原式： ． 20. 如图，在中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且，求证：四边形OCFE是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明OE是△BCD的中位线，得到，从而得到，由此即可证明四边形OCFE是平行四边形． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD，即O是BD的中点， ∵E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴， 又∵BC=2CF， ∴， ∴四边形OCFE是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知平行四边形的性质与判条件是解题的关键． 21. 如图，直线与直线在同一平面直角坐标系内交于点，且直线与轴交于点． （1）求直线的解析式 （2）直接写出的解集为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设点坐标为，代入，可得点坐标为，再用待定系数法可得直线的解析式． （2）根据将代入直线：，得，即的坐标为，由上可得坐标为，故从图象中即可得出时的解集． 【小问1详解】 根据图象可设点坐标为， ∵直线经过点， ∴将点代入，可得， ∴点坐标为， ∵直线经过点， ∴将点代入，可得， 化简可得：， 故直线的解析式为． 【小问2详解】 将代入直线：， 得， ∴直线与轴交于点的坐标为， ∵坐标为， ∴从图象中得出，当时，直线在直线的上方，且直线在轴的上方， ∴当时，， ∴的解集为． 22. 如图，直线l1的函数关系式为y＝－x－1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（2，0），B（－1，3），直线l1与l2交于点C． （1）求直线l2的函数关系式； （2）点C的坐标为 ； （3）求△ADC的面积． 【答案】（1）y=－x+2（2）（6，－4）（3）8． 【解析】 【分析】（1）设出直线l2的函数关系式，因为直线过A（4，0），B（-1，5）两点利用代入法求出k，b，从而得到关系式； （2）联立l1和l2解析式，再解方程组可得C点坐标； （3）首先求出D，C两点的坐标，D点坐标是l1与x轴的交点坐标，C点坐标是把l1，l2联立，求其方程组的解再求三角形的面积． 【详解】（1）设直线l2的函数关系式为：y=kx+b， ∵直线过点A（2，0），B（－1，3）， ∴解得：， ∴直线l2的函数关系式为：y=－x+2； （2）∵l1的解析表达式为y=-x-1， ∴D点坐标是（-2，0）， ∵直线l1与l2交于点C． ∴，解得， ∴C（6，-4）； （3）将y=0代入y＝－x－1得x=－2，∴点D的坐标是（－2，0）， ∵点A的坐标是（2，0）， ∴AD=4 ∴△ADC的面积是×4×4=8． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数关系式，求函数与坐标轴的交点，与两个函数的交点问题，题目综合性较强，难度不大，比较典型． 23. 如图，直线y=kx+6(k≠0)与x轴，y轴分别交于点E，F，点E的坐标为(-8，0)，点A的坐标为(-6，0)，点P(x，y)是线段EF上的一个动点 （1）求k的值； （2）求点P在运动过程中△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当△OPA的面积为9时，求点P的坐标． 【答案】（1）k=;(2)S=x+18（-8＜x＜0）;(3) P（-4，3） 【解析】 【分析】（1）将点E坐标代入解析式可求k的值； （2）由点P在直线y=x+6上可得点P坐标，由三角形面积公式可求S与x的函数关系式； （3）将S=9代入（2）解析式可求点P坐标． 【详解】（1）解 ：∵E（-8，0）在y=kx+6上， ∴-8k+6=0， 解得：k=， （2）解： ∵A（-6，0）， ∴AO=6， ∵P（x，y）在y=x+6上， ∴S△OPA=·|OA|·yP ， =×6×（x+6）， =x+18（-8＜x＜0）， （3）解： 由（2）知S△OPA=x+18， ∵S△OPA=9， ∴x+18=9， 解得：x=-4， ∴P（-4，3）. 【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标（x，x+6），利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． 24. “靠山吃山，靠水吃水”．紧邻云台山的大学生王林暑期借文旅热潮的东风，在景区附近售卖纪念品，购买了A，B两种纪念品共140件，每件纪念品的批发价和零售价如下表所示： 批发价/元 零售价/元 A 10 25 B 8 20 （1）若王林恰好用完预计的进货款1280元，则应购进A，B两种纪念品各多少件? （2）若A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，应怎样进货才能获得最大利润?利润最多为多少元? 【答案】（1）王林购进A纪念品80件，B纪念品60件． （2）购进A纪念品100件，B纪念品40件获得最大利润；利润最多为1980元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程和一次函数的应用， （1）设王林购进A纪念品x件，则购进B纪念品件，根据该校购进购进A，B两种纪念品140件且共花费1280元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设王林购进A纪念品a件，B纪念品件，获得利润y元，根据A纪念品的进货量不超过B纪念品的倍，求出，再根据利润=售价-进价，得出利润y关于a的一次函数，由函数的增减性求出利润的最大值． 【小问1详解】 解：设王林购进A纪念品x件，则购进B纪念品件． 根据题意，得， 解得． ． 答：王林购进A纪念品80件，B纪念品60件．（4分） 【小问2详解】 解：设王林购进A纪念品a件，B纪念品件，获得利润y元 根据题意，得， 解得． 又． ∵y是关于a的一次函数，， ∴y随a的增大而增大． 当a取最大值100时，y有最大值， 此时，（件）． （元）． 答：购进A纪念品100件，B纪念品40件获得最大利润，利润最多为1980元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，线段，的长分别是，且满足，点是线段上一点，将沿直线翻折，点落在矩形对角线上的点处． （1）求线段的长； （2）求点的坐标； （3）所在直线与相交于点，点在轴的正半轴上，以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时，求点坐标． 【答案】（1）3 （2）点的坐标为 （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据非负性解答即可，根据勾股定理，可得的长． （2）过作，利用面积法求出，即可． （3）得出的解析式，进而利用平行四边形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设， 线段，的长分别是，且满足， ∴ ， 由翻折的性质可得：，， ， 可得： ， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 可得：， 【小问2详解】 过作， 在中， ， 即， 解得： ， 在中， ， 所以点的坐标为， 【小问3详解】 设直线的解析式为：， 把， 代入解析式可得， 解得： ， 所以的解析式为：， 把代入的解析式，可得：， 即， 当以、A、、为顶点的四边形是平行四边形时， ， 所以， 即存在点，且点的坐标为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了非负性、用待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、平行四边形的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过求一次函数的解析式和平行四边形的性质才能得出结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$