精品解析：山西省大同市平城区大同六中集团校2021-2022学年八年级下学期学科竞赛Ⅱ 数学试题（阶段三月考）

大同六中集团校2021-2022学年第二学期学科竞赛Ⅱ 八年级数学 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列函数中，不是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据一次函数的定义找出四个选项中的一次函数，从而利于排除法得出符合题意的选项． 【详解】解：A、不是一次函数，故选项正确； B、是一次函数，故选项错误； C、是一次函数，故选项错误； D、是一次函数，故选项错误． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数y=kx+b的定义条件：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意正比例函数是特殊的一次函数． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得：x≤2 故选A． 【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数≥0是解决此题的关键． 3. 下列命题中错误的是 ( ) A. 菱形的对角线互相垂直 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．菱形的对角线互相垂直，故本选项正确，不符合题意； B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确，不符合题意； C．矩形的对角线相等，故本选项正确，不符合题意； D．对角线相等的菱形是正方形，故本选项错误，符合题意． 故选D． 4. 已知一次函数的图象经过，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把点A坐标代入函数解析式即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴2k+6=-2， 解得 k=-4． 故选：A 【点睛】本题考查了待定系数法，熟知一次函数图象上点的坐标满足函数关系式是解题关键． 5. 在中，如果，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的基本性质：平行四边形的对角相等．与为对角，所以，再根据已知条件：，即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴（平行四边形对角相等）， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查平行四边形的基本性质：平行四边形的对角相等，理解并加以运用是解题关键． 6. 以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 1、1、 C. 3、4、5 D. 5、12、13 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∴不能构成直角三角形，故本选项符合要求； B、∵ ∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求； C、∵ ∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求； D、∵∴能构成直角三角形，故本选项不符合要求． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足 那么这个三角形就是直角三角形． 7. 如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点(2，0)，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ） A. x＞2 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象得到即可． 【详解】由图象可得：当x＜2时，kx+b＞0， 所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，善于观察图形，借助数形结合． 8. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得，利用得到为的斜边上的中线，得到，利用等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ． 9. 如图，，点是内的定点，且，若点、 分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 1.5 【答案】A 【解析】 【分析】设点关于的对称点为 ，关于的对称点为，当点、 在线段 上时，的周长最小，再依据勾股定理，即可得到周长的最小值． 【详解】如图，分别作点关于、的对称点 、，连接 ，分别交、于点、 ，连接、、、． 点关于的对称点为 ，关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， 是等腰直角三角形， ． 的周长的最小值， 即周长的最小值是． 【点睛】最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．凡是涉及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 10. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接CM，如图所示： ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形CEMF是矩形， ∴， ∵点P是EF的中点， ∴， 当CM⊥AB时，CM最短， 此时EF也最小，则CP最小， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：＝_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可． 【详解】解：原式= = = =4． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键． 12. 若函数是正比例函数，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据形如是正比例函数，可得答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，， 解得：， 故答案为：3． 13. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长． 【详解】解：连接AB，AD，如图所示： ∵AD＝AB＝， ∴DE＝， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键． 14. 如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象，找出直线在直线上方部分对应的 的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知，函数与的图象交于点， 当 时，直线的图象位于直线的图象上方， 不等式的解集为 ． 15. 如图，四边形中，，，点E为线段 的中点，，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先延长与的延长线交于点 ，再证明，进一步得，，，，最后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，延长与的延长线交于点 ， 点E为线段 的中点， ． ， ． 又， ， ，， ，． ， ． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式计算平方项，再利用平方差公式计算最终结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 若一次函数的图象经过点，且与直线 平行． （1）求k的值； （2）建立平面直角坐标系并画出此函数的图象． 【答案】（1） （2）函数的图象，如图所示： 【解析】 【分析】（1）利用“两个一次函数图象平行时，一次项系数相等”的性质求出  值； （2）代入已知点得到完整函数解析式，最后用描点法绘制函数图象即可． 【小问1详解】 设所求一次函数解析式为 （）． 所求一次函数的图象与直线  平行， ． 【小问2详解】 由（1）可得，所求一次函数解析式为 ， 函数图象经过点， ，解得． 所求一次函数解析式为． 当  时，，得到点 ． 已知函数经过点 ，建立平面直角坐标系，描出  和  两个点，过两点画直线，即得到所求函数的图象． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点 作交的延长线于点 ，连接．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理知识点，掌握菱形的判定方法和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质是解题的关键． （1）先利用平行线和角平分线的性质得到角相等，推出，再结合和证明平行四边形，最后由邻边相等证菱形； （2）利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到 的长度． 【小问1详解】 证明：， ． 平分， ， ， ． 又， ． ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，，． ， ． ， ． 在中，，， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮 （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再将字母的值代入，即可求解； （2）根据二次根式的性质即可求解； （3）先根据二次根式的性质化简，在代入代数式求值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴小亮的解法是错误的； 【小问2详解】 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质 【小问3详解】 解：∵ ∴ 当时 原式 20. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买A，B两种奖品．已知2件A种奖品和3件B种奖品共需41元，5件A种奖品和2件B种奖品共需53元． （1）这两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种奖品共90件，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】（1）A：7元，B：9元 （2）购进A种奖品67件，购进B种奖品23件；676元 【解析】 【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【小问1详解】 解：设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元， 由题意得：，解得：． 答：A种奖品的单价是7元，B种奖品的单价是9元； 【小问2详解】 解：设购进A种奖品a件，则购进B种奖品件，费用为w元， 由题意得： ， ∵-2<0 ∴w随a的增大而减小， ∵B种奖品的数量不少于A种奖品数量的， ∴，解得， ∴当时，w取得最小值，此时， 购进B种奖品数量为：， 答：最省钱的购买方案是购进A种奖品67件，购进B种奖品23件，最低费用为676元． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列方程和不等式是解决问题的关键． 21. 如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）6；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法计算即可； （2）求出点D，点A的坐标计算即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接EC，则的周长最小； 【详解】（1）∵直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5）， ∴， ∴， ∴直线l2：， ∵直线l2：经过点C（2，m）， ∴， ∴， 把代入y＝kx+1，得到， ∴，，； （2）对于直线l1：，令，得到， ∴， ∴， 对于直线l2：，令，得到， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接EC，则的周长最小； ∵，， ∴C'（2，-2）， ∴直线BC'的解析式为， 令，得到， ∴； 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，求解一次函数的解析式，轴对称的应用，准确计算是解题的关键． 22. 已知：如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是CD的中点，点P在AB上以每秒2个单位的速度由A向B运动，设运动时间为t秒． （1）当点P在线段AB上运动了t秒时，__________________（用代数式表示）; （2）t为何值时，四边形PDEB是平行四边形： （3）在直线AB上是否存在点Q，使以D、E、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，四边形PDEB是平行四边形；（3）t的值为或或． 【解析】 【分析】（1）求出PA，根据线段和差定义即可解决问题． （2）根据，构建方程即可解决问题． （3）①当时，可得四边形DEPQ，四边形是菱形，②当时，可得四边形是菱形，分别求解即可解决问题． 【详解】解：（1），， ， 故答案为． （2）当时，四边形PDEB是平行四边形， ， ， 答：当时，四边形PDEB是平行四边形． （3）存在． ①当时，可得四边形DEPQ，四边形是菱形， 作于H． 在中，，， ， 或， 或时，可得四边形DEPQ，四边形是菱形． ②当时，可得四边形是菱形，易知：， ， 综上所述，满足条件的t的值为或或． 【点睛】本题属于四边形即综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同六中集团校2021-2022学年第二学期学科竞赛Ⅱ 八年级数学 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列函数中，不是一次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中错误的是 ( ) A. 菱形的对角线互相垂直 B. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线相等 D. 对角线相等的四边形是正方形 4. 已知一次函数的图象经过，则的值为（　　） A. B. C. D. 5. 在中，如果，那么的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 以下列长度的线段为边，不能构成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 1、1、 C. 3、4、5 D. 5、12、13 7. 如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点(2，0)，则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ） A. x＞2 B. x＜2 C. x≥2 D. x≤2 8. 如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，，点是内的定点，且，若点、 分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 1.5 10. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ） A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：＝_______． 12. 若函数是正比例函数，则________． 13. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____． 14. 如图，函数和的图象交于点，则不等式的解集为______． 15. 如图，四边形中，，，点E为线段 的中点，，，，则_____． 三、解答题（75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 若一次函数的图象经过点，且与直线 平行． （1）求k的值； （2）建立平面直角坐标系并画出此函数的图象． 18. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分． （1）求证：四边形是菱形． （2）过点 作交的延长线于点 ，连接．若，，求的长． 19. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：___； （3）先化简，再求值：，其中． 20. 我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买A，B两种奖品．已知2件A种奖品和3件B种奖品共需41元，5件A种奖品和2件B种奖品共需53元． （1）这两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种奖品共90件，且B种奖品的数量不少于A种奖品数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用． 21. 如图，直线l1：y＝kx+1与x轴交于点D，直线l2：y＝﹣x+b与x轴交于点A，且经过定点B（﹣1，5），直线l1与l2交于点C（2，m）． （1）求k、b和m的值； （2）求△ADC的面积； （3）在x轴上是否存在一点E，使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标，请说明理由． 22. 已知：如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是CD的中点，点P在AB上以每秒2个单位的速度由A向B运动，设运动时间为t秒． （1）当点P在线段AB上运动了t秒时，__________________（用代数式表示）; （2）t为何值时，四边形PDEB是平行四边形： （3）在直线AB上是否存在点Q，使以D、E、Q、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出t的值：若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $