精品解析：福建省宁德市福安市第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

福安一中23级高一下第三次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 已知圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量、满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本，计算出他们的平均命中次数为6，方差为3，后来这个小组又增加了一个同学，投篮命中次数为6，那么这个小组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是（ ） A. 3 B. C. D. 5. 在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 7. 麒麟山位于三明市区中部，海拔262米，原名牛垄山．在地名普查时，发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑，故更现名．山顶麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁．小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则麒麟阁的高度CD约为（参考数据：，）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 设为的内心，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部是 C. D. 为实数 10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ） A. 甲与乙是对立事件 B. 甲与乙是互斥事件 C. 丙与丁相互独立 D. 甲与丁相互独立 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 四棱锥外接球的半径为 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则m的值为______． 13. 某校对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按首选科目（物理和历史）进行分层抽样得到一个样本，样本中选物理类的学生占，该次质量检测的数学平均成绩为100分，选历史类的学生该次质量检测的数学平均成绩为80分，则可估计出该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分是______． 14. 已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别，满足． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体120位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在内，成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人作为企业“二十大精神”的宣传使者． （1）根据频率分布直方图，估计党员成绩样本数据的第80百分位数； （2）若从6位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第3组中至多有一人被选中的概率． 17. 猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，． （1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对概率； （2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，． （1）求证：； （2）在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由． 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______. （1）求角C； （2）若，面积，求的周长l的取值范围； （3）若，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福安一中23级高一下第三次月考 数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可． 【详解】由，得， . 故选:． 2. 已知圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得圆锥的母线长，再利用侧面积公式求解. 【详解】解：因为圆锥底面半径为1，高为2， 所以圆锥的母线长为， 所以该圆锥侧面积为， 故选：B 3. 已知平面向量、满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，利用平面向量数量积的运算性质可求得，结合向量夹角的取值范围可求得结果. 【详解】因为，则， 解得， 因为，故，故与的夹角为. 故选：A. 4. 一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本，计算出他们的平均命中次数为6，方差为3，后来这个小组又增加了一个同学，投篮命中次数为6，那么这个小组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本的数字特征分别求出原样本和新样本的平均数，再利用原样本方差计算新样本方差即可求解. 【详解】解：由题意得： 设10个同学的命中次数分别为. 则有 得 于是新样本的平均数 新样本的方差为 故选：B 5. 在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可. 【详解】 . 故选：D. 6. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则与可能平行，所以A选项错误. B选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B选项正确. C选项，若，则可能含于，所以C选项错误. D选项，若，且与所成的角和与所成的角相等，则可能与异面或相交， 故选：B 7. 麒麟山位于三明市区中部，海拔262米，原名牛垄山．在地名普查时，发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑，故更现名．山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁．小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则麒麟阁的高度CD约为（参考数据：，）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】由得，再根据可求出结果. 【详解】因为，，所以， 又，所以， 又米，所以，解得米. 故选：C. 8. 设为的内心，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连，则为内切圆的半径，利用面积关系求出，得，再根据得，由平面向量基本定理求出可得答案. 【详解】取的中点，连， 因为，，所以，， 所以的内心在线段上，为内切圆的半径， 因为， 所以， 所以，得， 所以， 所以， 又，所以， 又已知，所以， 所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径,进而得到是本题解题关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点在第一象限 B. 的虚部是 C. D. 为实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的坐标表示、复数的概念、共轭复数的概念、复数的模长公式以及复数的乘法运算逐个选项判断可得答案. 【详解】复数在复平面内对应的点在第一象限，故A正确； 的虚部为，故B错误； ，，故C正确； 为实数，故D正确. 故选：ACD. 10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ） A. 甲与乙是对立事件 B. 甲与乙是互斥事件 C. 丙与丁相互独立 D. 甲与丁相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出事件对应的概率，再由互斥事件的概念及概率和是否为1判断A、B选项，再由独立事件的概率公式判断C、D选项即可. 【详解】设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，，丁包含的基本事件有， 则，，；对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确； 对于C，，则，则C错误；对于D，，则，D正确. 故选：BD. 11. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 四棱锥外接球的半径为 C. 若，则的最大值为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出体积，即可判断A，由正方体的性质可得四棱锥为正四棱锥，设，则四棱锥外接球的球心在直线上，利用勾股定理求出外接球的半径，即可判断B，过点作，则点是的中点，连接，取的中点，连接，，，即可证明平面，从而得到点的轨迹是线段，再求出的最值，即可判断C、D. 【详解】对于A： 三棱锥的体积为， 因为点是的中点，所以的面积是定值， 且点到平面的距离是正方体的棱长， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B： 由正方体的性质可得四棱锥为正四棱锥，设，则平面， 所以四棱锥外接球的球心在直线上， 设外接球的半径为，则，，， 所以， 在中，，即，解得，故B正确； 对于C： 过点作，则点是的中点，连接，取的中点，连接，，， 因为且，且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又，所以，又， 所以，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，因为平面平面，又， 所以点的轨迹是线段， 在中，，，， 所以的最大值为，此时与重合，故C错误； 对于D：在中，， 所以， 所以点到的距离为， 所以的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则m的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标表示列式可求出结果. 【详解】因为向量，，且， 所以，得. 故答案为：. 13. 某校对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按首选科目（物理和历史）进行分层抽样得到一个样本，样本中选物理类的学生占，该次质量检测的数学平均成绩为100分，选历史类的学生该次质量检测的数学平均成绩为80分，则可估计出该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分是______． 【答案】95 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求解. 【详解】由题可知，样本中选历史类的学生占，所以估计该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分为. 故答案为：95. 14. 已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长分别交于，利用 得出的延长线交于，作，从而得到梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面，再利用三棱柱为正三棱柱且棱长为2，求出梯形的上底和高即可求出结果. 【详解】如图，连接，延长分别交于，易知， 连接并延长交于，过作交于，连接， 因为，所以，故梯形为过三点平面截正三棱柱的截面， 因为，分别为和的中心，， 又，所以， 又是等边三角形，所以， 故，即是的中点，所以， 易知四边形为等腰梯形，所以为等腰梯形的高， 又正三棱柱各棱长都为2， 所以，，， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别，满足． （1）求； （2）若，，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理角化边得，再根据余弦定理可求出结果； （2）由以及，求出，再根据三角形面积公式可求出结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，即， 又，解得， 所以． 16. 某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体120位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在内，成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人作为企业“二十大精神”的宣传使者． （1）根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第80百分位数； （2）若从6位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第3组中至多有一人被选中的概率． 【答案】（1）92.5 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出小于90分的党员成绩所占比例，可得党员成绩的样本数据的第80百分位数位于内可得答案； （2）按比例分配的分层抽样的方法选取第3组党员人数，将第3组三位党员编为A，B，C，其他组三位党员编为D，E，F，用，表示两位党员，则可以用表示随机选取两人的组合，用列举法可得答案． 【小问1详解】 根据频率分布直方图，小于90分的党员成绩所占比例为， 所以党员成绩的样本数据的第80百分位数位于内，由， 可以估计党员成绩的样本数据的第80百分位数为92.5； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，第3，4，5组党员人数的比例为， 按比例分配的分层抽样的方法选取第3组党员人数为人． 将第3组三位党员编为A，B，C，其他组三位党员编为D，E，F， 用，表示两位党员，则可以用表示随机选取两人的组合， 设事件“从宣传使者中随机选取两人，第3组中至多有一人被选中”， 试验的样本空间 ， ， 所以， 从而． 17. 猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，． （1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求解即可； （2）设事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”，先求出甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率，再由对立事件的性质和相互独立事件的乘法公式求解即可； 【小问1详解】 设事件A=“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B=“任选一道灯谜，乙猜对”， 事件C=“任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对”． 则，，故，， 因为事件A与事件B相互独立， 所以． 【小问2详解】 设事件D=“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”， 事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”， 因为事件A、事件B、事件C两两独立，那么 ． 所以，，所以． 18. 如图，四棱锥中，平面ABCD，，，且，，． （1）求证：； （2）在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在直角梯形中利用勾股定理的逆定理可得，再由平面，得，然后由线面垂直的判定定理可证得平面PAC，从而可得； （2）过点M作于点N，连接BN，可证得平面，则∠MBN为BM与平面所成的角，设，则由已知线面角的正切值可求出，过点N作于点G，连接MG，可得∠MGN为二面角的平面角，从而可求得结果. 【小问1详解】 证明：因为，，，， 所以四边形是直角梯形，且，， 故，即． 又平面，平面，所以 又，且PA，平面PAC，所以平面PAC， 又平面PAC，所以 【小问2详解】 存在符合条件的点M，且M为PD的中点， 证明如下，过点M作于点N，连接BN， 因为平面，平面，所以， 因为MN，平面PAD，所以， 因为，所以， 因为，平面，所以平面， 则∠MBN为BM与平面所成的角． 设，则，，， 由得， 解得或（舍去） 所以M为PD的中点， 过点N作于点G，连接MG， 因为平面，平面，所以， 又，平面MGN，故平面MGN， 因为平面MGN，所以，所以∠MGN为二面角的平面角， 在中，，所以， 即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角的大小为． 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知______. （1）求角C； （2）若，的面积，求的周长l的取值范围； （3）若，，求. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）选①：用正弦定理化简求解即可；选②：用二倍角公式和余弦定理求解；选③：用正弦定理和余弦定理求解即可； （2）先利用面积范围求得，然后利用余弦定理及函数单调性求解范围即可； （3）先根据正弦定理求得，，记，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，则有， 利用两角差的正弦公式展开化简计算即可. 【小问1详解】 若选①：， 由正弦定理得，又， 所以，又，所以，即， 又，所以； 若选②：因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，又，所以； 若选③：因为， 即，所以由正弦定理得， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为的面积，所以， 由余弦定理得，即， 所以，因为，所以，又， 所以的周长l的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以，所以， 又，所以，， ， 又，所以， 记，在中，由正弦定理得：， 所以， 在中，由正弦定理得：，所以， 所以，所以，整理化简得， 所以，即. 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路： ①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化正弦或余弦函数求出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$