精品解析：广东省江门市开平市开侨中学2023-2024学年高二下学期期末热身模拟数学试题

开侨中学2023---2024年度下学期高二期末模拟考数学试题 一、单选题（1-8题，每题5分，共40分） 1. 若随机变量，则（ ） A 2 B. 4 C. 8 D. 32 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为： 10 18 26 则当取下面何值时，与的关系最弱（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 19 4. 小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（ ） A. 25元 B. 18元 C. 20元 D. 16元 5. 甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 3种 C. 20种 D. 12种 6. 下列说法正确的有（ ） ①回归分析中，常用，来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越好，反之拟合效果越差； ②在线性回归模型中，随机误差的方差越小，用预报真实值的精度越高； ③独立性检验的原理是:在假设“：两个分类变量没有关系”下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且推断犯错误的概率不超过这个小概率. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 7. 根据近五年的资料显示，某村庄月光照量（小时）的统计数据（注：月光照量指的是当月的阳光照射总时长）以及在适合温度下，月光照量与草莓花芽分化的概率的关系，表格如下： （小时） 月份数 27 18 15 草莓花芽分化的概率 090 0.95 0.80 该村庄现有一批草莓，根据上表，试估计在适合温度下，草莓花芽分化的概率为（ ） A. 0.85 B. 0.89 C. 0.91 D. 0.95 8. 若是函数的极小值点,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（9--11，每题6分，共18分） 9. 为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为（单位：千克），当季该种作物的亩产量为（单位：百千克）. 1 2 4 6 11 13 19 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型II为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型I的决定系数和模型II的决定系数，则（ ） A. B. 模型II的拟合效果比较好 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量一定增加0.17个单位 D. 若7组数据对应七个点，则至少有一个点经验回归直线上 10. 在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（ ） A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条 B. 以这8个点中2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条 C. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个 D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个 11. 已知 ， ，且 则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（12--14题，每题5分，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，若，则_________. 13. 若的展开式中的系数为40，则实数________． 14. A、B、C、D、E五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻人．游戏开始时，球在A手里，则经过5次传球，传到D手中，不同的传球方案共有__________种． 四、解答题（15--19题，共77分，请把答案写到对应答题卡的序号！！！！） 15. 已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为的直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， （1）求抛物线方程； （2）求弦的长度； 16. 已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 18. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 19. 已知，， （1）若在处取得极值，试求的值和的单调增区间； （2）如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 开侨中学2023---2024年度下学期高二期末模拟考数学试题 一、单选题（1-8题，每题5分，共40分） 1. 若随机变量，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：B. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的几何意义，准确计算，即可求解. 【详解】由函数，可得， 则且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为. 故选：C. 3. 假设有两个分类变量与，它们的可能取值分别为和，其列联表为： 10 18 26 则当取下面何值时，与的关系最弱（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类变量的相关性进行计算求解. 【详解】在两个分类变量的列联表中，当的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小． 令，得，解得， 所以当时，与的关系最弱，故A，B，D错误. 故选：C． 4. 小明同学用60元恰好购买了3本课外书，若三本书的单价既构成等差数列，又构成等比数列，则其中一本书的单价必然是（ ） A. 25元 B. 18元 C. 20元 D. 16元 【答案】C 【解析】 【分析】根据非零常数列的定义，结合题意即可直接得出结果. 【详解】因为这3本书的单价既是等差数列，又是等比数列， 所以该数列为非零常数列， 则每本书的单价为元. 故选：C. 5. 甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 3种 C. 20种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案. 【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座. 要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐， 即有种坐法. 故选：A. 6. 下列说法正确的有（ ） ①回归分析中，常用，来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越好，反之拟合效果越差； ②在线性回归模型中，随机误差的方差越小，用预报真实值的精度越高； ③独立性检验的原理是:在假设“：两个分类变量没有关系”下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且推断犯错误的概率不超过这个小概率. A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关指数的定义判断命题①；根据随机误差的定义判断命题②；根据独立性检验的原理判断命题③. 【详解】①：用相关指数来刻画回归效果，的值越大越接近1， 线性回归模型的拟合效果越好，故命题①正确； ②：随机误差是衡量预报精确的一个量，它的均值为， 它的方差越小，预报真实值的精度越高，故命题②正确； ③：独立性检验的原理：在假设下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件， 就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率.故命题③正确. 故选：D. 7. 根据近五年的资料显示，某村庄月光照量（小时）的统计数据（注：月光照量指的是当月的阳光照射总时长）以及在适合温度下，月光照量与草莓花芽分化的概率的关系，表格如下： （小时） 月份数 27 18 15 草莓花芽分化的概率 0.90 0.95 0.80 该村庄现有一批草莓，根据上表，试估计在适合温度下，草莓花芽分化概率为（ ） A. 0.85 B. 0.89 C. 0.91 D. 0.95 【答案】B 【解析】 【分析】利用表格中的数据计算即可. 【详解】根据题意，草莓花芽分化的概率为. 故选：B． 8. 若是函数的极小值点,则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对求导,得到的值,再根据是函数的极小值点列出不等式即可求解. 【详解】由题意得, 当,则或, 因为是函数的极小值点, 所以, 解得. 故选:C. 二、多选题（9--11，每题6分，共18分） 9. 为研究如何合理施用有机肥，使其最大限度地促进某种作物的增产，同时减少对周围环境的污染，某研究团队收集了7组某种有机肥的施用量和当季该种作物的亩产量的数据，并对这些数据进行了初步处理，得到如表所示的一些统计量的值，其中，有机肥施用量为（单位：千克），当季该种作物的亩产量为（单位：百千克）. 1 2 4 6 11 13 19 19 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型II为非线性经验回归方程，经计算可得此方程为，另外计算得到模型I的决定系数和模型II的决定系数，则（ ） A. B. 模型II的拟合效果比较好 C. 在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量一定增加0.17个单位 D. 若7组数据对应七个点，则至少有一个点在经验回归直线上 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，计算出，代入中，求出；B选项，越大，拟合效果越好；CD选项，根据线性回归方程的意义作出判断； 【详解】A选项，由题意得， ， 模型的经验回归方程为，所以，即，故A正确； B选项，因为越大，拟合效果越好，所以模型II的拟合效果比较好，故B正确； C选项，在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加0.17个单位，故C错误； D选项，因为有可能没有数据点在经验回归直线上，所以D错误. 故选：AB 10. 在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（ ） A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条 B. 以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条 C. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有56个 D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个 【答案】ACD 【解析】 【分析】ABC利用组合来计算即可；D选项，先从四个象限中选三个象限，然后分别从三个象限中选一个点即可. 【详解】以这8个点中的2个点为端点的线段有条，正确. 轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误. 以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确. 先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确. 故选：ACD. 11. 已知 ， ，且 则以下正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先利用因式分解法得，再通过证明，可知只有一解即：，然后把选项中的代换为并进行化简可得A正确，C错误，而BD则需要构造为关于的函数，利用求导法来判断单调性和最值，从而得证． 【详解】由因式分解可得：， 又因为，可知，即， 又由函数，求导， 当时，，可知在上递减， 当时，，可知在上递增， 所以在时取到最小值为0，有 即不等式成立，所以， 由可得：，即， 对于选项A，，所以选项A的正确的； 对于选项B，，构造函数，求导， 由时，，所以在上递增， 即，因为，所以，所以选项B是正确的； 对于选项C，与不可能等价，所以选项C是错误的； 对于选项D，，构造函数，求导， 由时，，所以在上递增， 由时，，所以在上递减， 所以的最大值是，即，所以选项D是正确的； 故选：ABD. 三、填空题（12--14题，每题5分，共15分） 12. 随机变量服从正态分布，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为且， 所以， 则. 故答案为： 13. 若的展开式中的系数为40，则实数________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二项式定理求出多项式展开式中含的项，结合已知条件建立方程，解之即可求解. 【详解】多项式的展开式中含的项为 ， 所以，解得. 故答案为：3 14. A、B、C、D、E五人按顺时针方向围成一圈玩传球游戏，要求每次只能传给不与自己相邻的人．游戏开始时，球在A手里，则经过5次传球，传到D手中，不同的传球方案共有__________种． 【答案】 【解析】 【分析】先结合题意列出前两次传球与后三次传球的情况，从而列出所有满足的传球方案，由此得解. 【详解】依题意，由于球只能不与自己相邻的人，所以推得第二次传球后，球只能在①，②，③，④情况中的一种； 又第五次传球要传到D手中，故后三次传球仅能在⑤，⑥，⑦，⑧情况中的一种； 由于球只能传给不相邻的人，故只有①⑤，①⑥，①⑧，②⑤，②⑦，②⑧，③⑤，③⑥，③⑧，④⑥，共10个组合可传球， 所以不同的传球方案共有10种. 故答案为：. 四、解答题（15--19题，共77分，请把答案写到对应答题卡的序号！！！！） 15. 已知抛物线C顶点在原点，焦点在x轴上，且经过点，一条斜率为直线过抛物线C的焦点，且与C交于A，B两点， （1）求抛物线方程； （2）求弦的长度； 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意设抛物线为，结合所过的点求抛物线方程； （2）由（1）及题设有直线，联立抛物线，应用韦达定理及弦长公式求. 【小问1详解】 由题意，可设抛物线为，又抛物线经过点， 所以，则抛物线方程为. 【小问2详解】 由（1）知：抛物线焦点为，则直线， 代入抛物线消去y，得，则，显然， 所以，，则. 16. 已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列的前20项和. 【答案】（1）数列的通项公式为； （2）数列的前20项和为. 【解析】 【分析】（1）根据等差中项求出，再根据求出公差，最后根据等差数列的通项公式，求出的通项公式； （2）先写出，对为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出. 【小问1详解】 因为为等差数列，且与的等差中项为5， 所以，解得， 因为， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 故数列的通项公式为； 【小问2详解】 由题知， 即 所以 ， 故数列的前20项和为. 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）点到平面的距离为. 【解析】 【分析】（1）先证四边形为正方形，得到，再证平面，从而得到，即可证明平面； （2）建系，设边长，写出相应点和向量的坐标，求出两个平面的法向量，利用二面角的余弦值列式子，求出的长度，再利用点到平面的距离公式，求出点到平面的距离. 【小问1详解】 证明：由直三棱柱的性质可知，，四边形为平行四边形， 又因为，所以四边形为正方形，所以， 因为，，， 所以平面， 所以， 因为， 所以， 又因为平面 所以平面. 【小问2详解】 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，所以， 取，则，， 所以， 设二面角的大小为， 则，解得， 所以，平面的一个法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 18. 2024年2月10日至17日（正月初一至初八），“2024•内江市中区新春极光焰火草地狂欢节”在川南大草原举行，共举行了8场精彩的烟花秀节目．前5场的观众人数（单位：万人）与场次的统计数据如表所示： 场次编号 1 2 3 4 5 观众人数 0.7 0.8 1 1.2 1.3 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程； （2）若该烟花秀节目分A、B、C三个等次的票价，某机构随机调查了该烟花秀节目现场200位观众的性别与购票情况，得到的部分数据如表所示，请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关． 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 50 女性观众 60 总计 100 200 参考公式及参考数据：回归方程中斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6635 【答案】（1） （2）表格见解析，没有 【解析】 【分析】（1）利用表中数据结合最小二乘法计算回归直线即可； （2）根据题意补全列联表即可，再由卡方公式及独立性检验的思想判定结果即可. 【小问1详解】 由表格可知， ，，所以， 则； 【小问2详解】 根据数据补全表格如下： 购买A等票 购买非A等票 总计 男性观众 40 50 90 女性观众 60 50 110 总计 100 100 200 所以， 故没有的把握认为该烟花秀节目的观众是否购买A等票与性别有关. 19. 已知，， （1）若在处取得极值，试求的值和的单调增区间； （2）如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于． 【答案】（1），和 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质求得，再利用导数与函数单调性的关系即可得解； （2）利用导数的几何意义猜想拉格朗日中值定理，再利用导数的运算，结合基本不等式即可得证. 【小问1详解】 因，则， 依题意，有，即． 所以，， 令，得或， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以满足题意，同时，的单调增区间为和； 【小问2详解】 猜想如下： 因为表示的两端点连线的斜率， 而由题可知，上必然存在点，使得其切线的斜率为，即， 所以一定定存在，使得； 证明如下： 因为， 则． 由猜想可知，对于函数图象上任意两点， 在之间一定存在一点，使得， 又，故有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$