专题01 排列组合及其应用常考题型归类（考题猜想，10大题型50题专练）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第二册）

专题01 排列组合及其应用 一．特殊元素(位置)优先法 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先安排甲从除左端和右端的三个位置中选一个站，有种站法； 将剩余的人任意排序，有种站法； 由分步乘法计数原理可得，不同站法数有：种.故选：C. 2．（23-24高二下·河北邢台·月考）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中数学､历史､政治､英语､体育､音乐6节课的课程表，要求体育课排下午，则不同的排法种数是（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 【答案】C 【解析】体育排在下午，有种， 再给下午空余的一节安排好科目，有种， 最后排上午的4节，有种， 根据乘法原理，共有种方法.故选：. 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 【答案】B 【解析】设4名大人按身高由小到大依次为，可知前排大人不能为， 若前排大人为，则任意排列均可，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后不能为，则不同的排法有种； 若前排大人为，则身后只能为，则不同的排法有种； 综上所述：不同的排法共有种.故选：B. 4．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【解析】甲、乙、丙、丁、戊5名同学排名次有种情况， 甲是第一名有种情况，乙是最后一名有种情况， 总共的情况有.故选：C． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 【答案】C 【解析】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女， 先排左右两端，有种排法， 再排中间4个位置，有种排法， 所以不同的排法种数为种.故选：C. 二．相邻问题捆绑法 1．（23-24高二下·安徽·月考）李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（    ） A．180 B．360 C．720 D．1440 【答案】D 【解析】先将甲、乙排为一列，有种方法， 再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法， 根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为．故选：D． 2．（23-24高二下·重庆·月考）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 【答案】B 【解析】先将长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人捆绑， 再和其他4个文化符号排列，共有种.故选:B. 3．（23-24高二下·浙江·期中）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．12 C．48 D．36 【答案】A 【解析】先将甲乙捆绑看做一个元素，那么就变成共有4个不同元素参与站成一排， 由于丙不站在两端，特殊元素优先，先安排丙共有种排法； 然后其他三个不同元素全排，共有种排法； 接着再捆绑的甲乙两人内部全排共有种排法， 因此总共满足条件的不同排法有种，故选：A. 4．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解析】由题意知，将丙和丁看成一个整体， 分4种情况分析： ①丙和丁的整体分别为第1、2名，有种情况； ②丙和丁的整体分别为第2、3名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第4、5名，有种情况； ③丙和丁的整体分别为第3、4名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、5名，有种情况； ④丙和丁的整体分别为第4、5名，第1名只能是戊， 所以甲和乙为第2、3名，有种情况； 所以共有种情况.故选：B 5．（23-24高二下·江苏·期中）参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（    ）种. A．120 B．96 C．240 D．144 【答案】D 【解析】将捆绑，和进行全排列，共有：种方法， 又因为相邻，将其当做一个元素，和共形成个空，但教师不站在两端， 故插入教师的方式共有：种， 故所有的安排方法有：种.故选：D. 三．不相邻问题插空法 1．（23-24高二下·江苏南通·月考）某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（    ）种. A．144 B．72 C．64 D．36 【答案】D 【解析】先排3个不同的公益广告有， 每两个公益广告之间及最后一个位置可播放2个不同的商业广告有种方法， 由分步计数原理共有种方法.故选：D. 2．（23-24高二下·河南·月考）在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】A 【解析】先排列3幅书法作品有种排法， 再将3幅美术作品插入3幅书法作品形成的3个空中，有种排法， 所以不同排列方法有种．故选：A． 3．（2024高三·全国·专题练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（    ） A．72 B．120 C．144 D．3 【答案】B 【解析】先排歌舞类节目方法数为，然后将三个歌舞类节目中间的两个空位排满， 分成两种情况： 第一种，插入的是两个小品类节目，方法数为； 第二种，插入的是一个小品一个相声，方法数为． 所以总的排法种数为故选：B 4．（23-24高二下·广东梅州·期中）12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】首先将12名学生全排列有种排法， 再将4名老师插入到12名学生所形成的个空（包括首、尾）中的个空中，有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种排法.故选：B 5．（23-24高二下·江苏泰州·月考）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ）种 A．96 B．128 C．240 D．672 【答案】D 【解析】先从7人中任选2人排在乙和丙之间有中排法，有乙和丙之间可相互排序有， 把这4人看成一个元素与其余3人排序有，故由分步乘法计数原理共有， 甲不在两端有， 故甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有.故选：D. 四．分组分配问题 1．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 【答案】B 【解析】先将6名同学平均分成3组，有种分法， 再将3名老师分成3组，有种分法， 所以共有种分法.故选：B 2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）某医院急救科在端午3天假期中每天选出2名医生值班，已知该科室有5名医生，每名医生至少值班1天，则不同的值班方案的种数为（   ） A．210 B．180 C．150 D．120 【答案】B 【解析】若某人值班2天，则需从剩余的4人中选出2人分别与其一起值班，选法有种， 剩余的2人一起值班，所以值班方案有 (种)， 同理其余4人中某人值班2天也各有36种方案， 综上所述值班方案共有(种).故选：B. 3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（    ）种． A．36 B．72 C．108 D．144 【答案】C 【解析】将3名医生平均分配到三家医院，有种， 将6名护士按要求平均分配到三家医院，有， 所以不同的分配方法有.故选：C. 1 4（23-24高二下·广东惠州·月考）为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．60种 C．90种 D．150种 【答案】D 【解析】五位同学观看三个项目比赛，由于一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看， 根据题意，分两种情况，一种情况为3，1，1，另外一种为2，2，1， 所以安排方案有种.故选：. 5．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 【答案】B 【解析】根据题意，设剩下的2个展区为丙展区和丁展区，用间接法分析： 先计算小李和小王不受限制的排法数学： 先在6位志愿者中任选1个，安排在甲展区，有种情况， 再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后将剩下的4个志愿者平均分成2组， 全排列后安排到剩下的2个展区，有种情况， 所以小李和小王不受限制的排法有种， 若小李和小王在一起，则两人去丙展区或丁展区，有2种情况： 在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲展区，有种情况， 再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙展区，有种情况， 最后安排2个安排到剩下的展区，有1种情况， 则小李和小王在一起的排法有种， 所以小李和小不在一起的排法有种，故选：B 五．涂色种植问题 1．（23-24高二下·安徽蚌埠·月考）用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（    ）种不同的着色方法． A．60 B．64 C．80 D．125 【答案】C 【解析】依题意，对A，B，C区域进行着色，可以用2种颜色，也可以用3种颜色， 用2种颜色，则A，C必同色，不同着色方法有（种）， 用3种颜色，不同着色方法有（种）， 所以不同着色方法共有（种）.故选：C 2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 【答案】B 【解析】由题意，当用4种颜色时，有种方法； 当用3种颜色时，则同色或同色，有种方法；、 当用2种颜色时，则同色且同色，有种方法； 故共有种方法.故选：B. 3．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】D 【解析】当B，E同色时，共有种不同的染色方案， 当B，E不同色时，共有种不同的染色方案， 所以共有72种不同的染色方案.故选：D 4．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 【答案】A 【解析】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种，故选：A. 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 【答案】B 【解析】根据题意，分2步进行分析： ①对于、、三点，两两相邻，有种涂色方法， ②与相邻，有4种颜色可选， 若与同色，其中与同色时，有3种涂色方法， 与不同色时，有2种颜色可选，有2种颜色可选， 此时有种涂色方法，同理：若与同色，有7种涂色方法， 若与、颜色都不同，有2种颜色可选，、有3种颜色可选， 此时有种涂色方法， 则、、有种涂色方法， 故有种涂色方法．故选：B． 六．数字排雷问题 1．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（    ） A．240 B．216 C．180 D．108 【答案】C 【解析】按照是否取到0进行分类： ①若从0，2，4中取的2个数字中不含0，则共有个无重复数字的四位数； ②若从0，2，4中取的2个数字中含0，则共有个无重复数字的四位数. 因此满足条件的共有个数.故选：C 2．（23-24高二下·湖北·月考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（    ）个 A．48 B．36 C．32 D．24 【答案】B 【解析】根据题意，能被5整除的没有重复的三位数分成两类： ①个位数字是0，有； ②个位数字是5，先填百位再填十位，有种， 由分步计数原理，可得共有种.故选：B． 3．（23-24高二下·吉林·月考）从数字0，1，2，3，4，5中任取4个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为（    ） A．156 B．168 C．98 D．246 【答案】A 【解析】若个位数为0，则其余三个数位上的数没有限制， 此时，符合条件的四位数是偶数的个数为：， 若个位数为2或4，首位不能为0，此时，符合条件的四位数是偶数的个数为：， 综上，符合条件的四位偶数个数为：.故选：A 4．（23-24高二下·山西忻州·月考）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 【答案】A 【解析】万位上的数字不能为0，先排万位，再排其他数位， 则用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数的个数为， 所以个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为．故选：A. 5．（2024高三·全国·专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中比4 000大的偶数共有（　　） A．48个 B．56个 C．60个 D．72个 【答案】C 【解析】根据题意，符合条件的四位数首位数字必须是4，5其中1个， 末位数字为0，2，4其中1个． 分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况， 在剩余的4个数中任取2个，放在剩余的2个位置上，有（种）情况， 此时有（个）； ②首位数字为4时，末位数字有2种情况， 在剩余的4个数中任取2个，放在剩余的2个位置上，有（种）情况， 此时有（个）， 综上所述，共有（个）.故选：C. 七．定序问题倍缩法 1．（23-24高二下·安徽合肥·月考）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 【答案】D 【解析】依题意，7名棋手作全排列为，其中原有5名棋手的排列有， 所以不改变一班棋手出场次序的不同排法种数有.故选：D 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·月考）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】B 【解析】由题意，五人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法， 其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法， 所以甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.故选：B 3．（22-23高二下·江苏南京·期中）在54张扑克牌中取出13张红桃，按大小排好，现取出梅花插入红桃牌中，则15张扑克牌的排法种数是（   ） A．12 B．182 C．210 D．364 【答案】C 【解析】由题意，15张扑克牌的排法种数是.故选：C. 4．（23-24高二下·浙江·月考）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 【答案】C 【解析】将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，共有, 其中的顺序有，共6种， A，B在C同侧的情况有共4种， 即在A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行的排列中， A，B在C同侧的情况占比为， 则将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列， A，B在C同侧的情况共有（种），故选：C 5．（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 【答案】A 【解析】根据题意，如图， 将10个气球进行编号1-10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列， 其中2，3号，4，5，6号，7，8，9，10号气球必须是从下到上的顺序， 按小球从下到上的编号顺序打破气球即可， 则有（种）排列方法，则有12600（种）不同打法，故选：A． 八．相同元素隔板法 1．（23-24高三下·云南昆明·月考）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 【答案】A 【解析】先将卡片分为符合条件的三份， 由题意知：三人分六张卡片，且每人至少一张，至多四张， 若分得的卡片超过一张，则必须是连号， 相当于将，，，，，这六个数用两个隔板隔开， 在五个空位插上两个隔板，共种情况， 再对应到三个人有种情况，则共有种法.故选：A． 2．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．15 B．35 C．56 D．70 【答案】B 【解析】将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额， 可类比为用3个隔板插入8个小球中间的空隙中，将球分成4堆， 由于8个小球中间共有7个空隙，因此共有种不同的分法．故选：B. 3．（23-24高二下·山西长治·月考）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（    ） A．504 B．126 C．112 D．56 【答案】D 【解析】取9个小球排成一排形成8个空档，在8个空档中放入3个挡板，把9个小球分成4部分， 每一部分的小球个数即为分配到4个班的名额数， 所以不同的分配方法的种数为.故选：D 4．（22-23高二下·江苏盐城·期中）某学校购买了10个相同的篮球分配给高二年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（    ） A．126种 B．84种 C．72种 D．48种 【答案】A 【解析】将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组， 所以不同的分配方案有种.故选:A. 5．（23-24高二上·北京大兴·月考）已知，且，记为，，中的最大值，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据隔板法，将10看做10和完全相同的小球排成一排， 中间形成9个空，放入两个隔板，可求得的解有组， 时，或或或或或， 所以.故选：A. 九．最短路径问题 1．（23-24高二下·江苏宿迁·月考）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字可纵走如由到，也可横走如由到，在如图所示的棋盘上，“马”由点到点的最短走法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【解析】如图，若到，则先到和处，如下图，最少4步，包含如下路线， 到处有2种路线，到处有2种路线，到有2种路线，到处没有路线， 综上可知， 到的最短走4步，有6种. 故选：C 2．（23-24高二·全国·课后作业）由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】C 【解析】由题意可知：“兵”吃掉“马”的最短路线，需横走三步，竖走两步； 其中能顺带吃掉“炮”的路线可分为两步： 第一步，横走两步，竖走一步，有种走法； 第二步，横走一步，竖走一步，有种走法． 能顺带吃掉“炮”的可能路线共有（条）．故选：C. 3．（23-24高二下·河南·月考）在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（    ） A．36条 B．37条 C．52条 D．53条 【答案】D 【解析】由图可知，从地出发去往地的最短路径共8步， 其中4步向下，4步向右，且前4步中最多2步向右， 则不同的路径共有条.故选：D. 4．（23-24高二上·江西赣州·期末）“杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《解析九章算法》一书，393年后欧洲帕斯卡也发现这个三角图形，所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”，它结构优美、性质奇特，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系．例如生活中的最短路径问题：如图1所示，从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数（图2）与杨辉三角中对应的数性质相同．已知图3是国际象棋简易棋盘，现有一棋子“车”的起始位置是“”，则它要到“”位置的最短路径的条数为（    ） A．1716 B．924 C．792 D．462 【答案】B 【解析】由题意，棋子“车”的起始位置是“”到达“”位置的最短路径，需要走12步， 其中6步向右，6步向上，所以最短的路径为步.故选：B. 5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    【答案】 【解析】由题意，从西南角A地到东北角B地的最短路线，共需要走9步， 其中4步向上，5步向右，共有种不同的走法， 又由中间的矩形中没有道路，所以在向上和向右的走法中，都需要连续走2步， 共有种不同的走法， 所以从西南角A地到东北角B地的最短路线共有种不同的走法. 十．双面手问题 1．（22-23高二下·河南焦作·开学考试）某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（    ） A．36种 B．48种 C．52种 D．64种 【答案】B 【解析】分两种情况：第一种，先从四个项目都能胜任的3人中选2人安排1人做彩超，1人做胸透， 有种方案，再将余下的3人安排到剩下的2个岗位上，有种方案， 故共有种方案； 第二种，安排四个项目都能胜任的3人中的2人做彩超、胸透，有种方案， 再安排既不会彩超也不会胸透的2名医护人员做抽血、尿检，有种方案， 故共有种方案． 则这5名医护人员的不同安排方案有种．故选：B 2．（2023·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 【答案】D 【解析】根据题意，设只会划左桨的人，只会划右桨的人， 既会划左桨又会划右桨的人，据此分3种情况讨论： ①从中选3人划左桨，划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法； ②从中选2人划左桨，中选1人划左桨， 划右桨的在中剩下的人中选取，有种选法； ③从中选1人划左桨，中2人划左桨，中3人划右桨，有种选法， 则有种不同的选法.故选：D． 3．（21-22高二下·黑龙江·期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 【答案】92 【解析】不妨设既会划左舷又会划右舷的2人为、， ①若和两人均不去参加比赛，则选派方法有种； ②若和两人只去一人参加比赛， (i)若只会划左舷的去两人，则选派方法为种； (ii)若只会划右舷的去两人，则选派方法为种； ③若和两人均去参加比赛， (i)若只会划左舷的去1人，则和两人均去划左舷，则选派方法为种； (ii)若只会划左舷的去2人，则和两人中有一人去划左舷，另一人去划右舷， 则选派方法为种； (iii)若只会划左舷的去3人，则和两人均去划右舷，则选派方法为种， 综上所述，不同的选派方法共有种. 故答案为：92. 4．（22-23高二下·河北唐山·期中）9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 【答案】 【解析】只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 只会跳舞的选人，则有种， 所以共有种不同的选法. 5．（23-24高二上·河南南阳·月考）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种. 【答案】92 【解析】①若既会英语，也会日语的2人均没有选中， 此时只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择3人，共种选择； ②若既会英语，也会日语的2人选中1人，有种选择， 此人去进行英语导游，则从只会英语的3人选择2人， 只会日语的4人选择3人，有种选择， 此人去进行日语导游，则从只会英语的3人全部选中，只会日语的4人选择2人， 有种选择， 此时共有种选择； ③若既会英语，也会日语的2人均选中， 2人均进行英语导游，则从只会英语的3人选择1人，只会日语的4人选择3人， 有种选择， 2人均进行日语导游，则从只会英语的3人选择3人，只会日语的4人选择1人， 有种选择， 2人有1人进行英语导游，1人进行日语导游，有种选择， 再从只会英语的3人选择2人，只会日语的4人选择2人，有种选择， 此时有种选择， 所以若既会英语，也会日语的2人均选中，有种选择， 综上：共有种选择. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 排列组合及其应用 一．特殊元素(位置)优先法 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，若甲不站右端也不站左端，则不同站法数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北邢台·月考）某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中数学､历史､政治､英语､体育､音乐6节课的课程表，要求体育课排下午，则不同的排法种数是（    ） A．60 B．120 C．240 D．360 3．（23-24高二下·江苏泰州·期中）五一假期期间，一家6人（4名大人和2名小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高，并且两名小孩都站在前排.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比任何一名小孩高，则不同的排法共有（    ） A．48种 B．72种 C．90种 D．108种 4．（23-24高二下·湖北·期中）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行恩施高中2022级数学竞赛决赛，决出第1名到第5名的名次，甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗域，你没有获得冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有（   ）种不同的情况． A．54 B．72 C．78 D．84 5．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，则不同的排法种数为（    ） A．240 B．720 C．432 D．216 二．相邻问题捆绑法 1．（23-24高二下·安徽·月考）李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（    ） A．180 B．360 C．720 D．1440 2．（23-24高二下·重庆·月考）重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（    ） A．16000种 B．14400种 C．2880种 D．2400种 3．（23-24高二下·浙江·期中）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲､乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．12 C．48 D．36 4．（2024·重庆渝中·模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（    ）种不同的情况. A．18 B．24 C．36 D．48 5．（23-24高二下·江苏·期中）参加实践活动的1名教师和A，B，C，D，E 5名志愿者站成一排合影留念，其中教师不站在两端，且A，B相邻的方法有（    ）种. A．120 B．96 C．240 D．144 三．不相邻问题插空法 1．（23-24高二下·江苏南通·月考）某电视台计划在五一期间某段时间连续播放5个广告，其中2个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个必须是公益广告，且商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有（    ）种. A．144 B．72 C．64 D．36 2．（23-24高二下·河南·月考）在学校的书画展板上，将3幅书法作品，3幅美术作品按一圆形排列，要求美术作品不相邻，则不同排列方法有（   ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 3．（2024高三·全国·专题练习）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（    ） A．72 B．120 C．144 D．3 4．（23-24高二下·广东梅州·期中）12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏泰州·月考）甲、乙、丙等7人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法有（    ）种 A．96 B．128 C．240 D．672 四．分组分配问题 1．（2024·广西桂林·三模）某校组织社会实践活动，将参加活动的3名老师与6名同学分成三组，每组1名老师与2名同学，不一样的分法共有（    ） A．45种 B．90种 C．180种 D．270种 2．（23-24高二下·河南濮阳·月考）某医院急救科在端午3天假期中每天选出2名医生值班，已知该科室有5名医生，每名医生至少值班1天，则不同的值班方案的种数为（   ） A．210 B．180 C．150 D．120 3．（23-24高二下·河北石家庄·月考）有一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，平均分配到三家医院，每家医院分到医生1名和护士2名．其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（    ）种． A．36 B．72 C．108 D．144 4（23-24高二下·广东惠州·月考）为丰富学生在校的课余生活，某中学安排五位学生观看足球、篮球、乒乓球三个项目比赛，若一位同学只观看一个项目，三个项目均有学生观看，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．60种 C．90种 D．150种 5．（23-24高二下·湖南岳阳·月考）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（    ） A．168种 B．156种 C．172种 D．180种 五．涂色种植问题 1．（23-24高二下·安徽蚌埠·月考）用5种不同的颜色对如图所示的A，B，C区域进行着色，要求相邻的区域不能使用同一种颜色，则共有（    ）种不同的着色方法． A．60 B．64 C．80 D．125 2．（23-24高二下·江苏·期中）如图所示，一环形花坛分成四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的两块种不同的花，则不同的种法种数为（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 3．（23-24高二下·重庆·期中）某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 4．（23-24高二下·江苏无锡·期中）在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（   ） A．420种 B．360种 C．540种 D．300种 5．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，给六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（    ）种． A．1440 B．1920 C．2160 D．3360 六．数字排雷问题 1．（23-24高二下·湖北宜昌·月考）从0，2，4中任取2个数字，从1，3，5中也任取2个数字，能组成无重复数字的四位数的个数为（    ） A．240 B．216 C．180 D．108 2．（23-24高二下·湖北·月考）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的数共有（    ）个 A．48 B．36 C．32 D．24 3．（23-24高二下·吉林·月考）从数字0，1，2，3，4，5中任取4个数字，组成没有重复数字的四位偶数，其个数为（    ） A．156 B．168 C．98 D．246 4．（23-24高二下·山西忻州·月考）用0，3，5，7，9组成的无重复数字的五位数中，个位上的数字比十位上的数字更大的五位数的个数为（   ） A．48 B．96 C．60 D．120 5．（2024高三·全国·专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中比4 000大的偶数共有（　　） A．48个 B．56个 C．60个 D．72个 七．定序问题倍缩法 1．（23-24高二下·安徽合肥·月考）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（    ）种 A．12 B．20 C．30 D．42 2．（23-24高二下·黑龙江牡丹江·月考）五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票．若甲、乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（    ） A．60 B．80 C．100 D．120 3．（22-23高二下·江苏南京·期中）在54张扑克牌中取出13张红桃，按大小排好，现取出梅花插入红桃牌中，则15张扑克牌的排法种数是（   ） A．12 B．182 C．210 D．364 4．（23-24高二下·浙江·月考）将A，B，C，D，E，F六个字母从左至右进行排列，A，B在C同侧的情况共有（    ） A．120种 B．240种 C．480种 D．600种 5．（2024高二·全国·专题练习）四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（    ） A．12600 B．6000 C．8200 D．12000 八．相同元素隔板法 1．（23-24高三下·云南昆明·月考）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．60 B．36 C．30 D．12 2．（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（    ） A．15 B．35 C．56 D．70 3．（23-24高二下·山西长治·月考）将9个志愿者的名额分配给4个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为（    ） A．504 B．126 C．112 D．56 4．（22-23高二下·江苏盐城·期中）某学校购买了10个相同的篮球分配给高二年级6个班，要求每个班至少一个篮球，则不同的分配方法有（    ） A．126种 B．84种 C．72种 D．48种 5．（23-24高二上·北京大兴·月考）已知，且，记为，，中的最大值，（    ） A． B． C． D． 九．最短路径问题 1．（23-24高二下·江苏宿迁·月考）中国古代文化博大精深，其中很多发明至今还影响着我们，例如中国象棋．中国象棋中的“马”在棋盘上是行走“日”字可纵走如由到，也可横走如由到，在如图所示的棋盘上，“马”由点到点的最短走法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（23-24高二·全国·课后作业）由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（    ） A．条 B．条 C．条 D．条 3．（23-24高二下·河南·月考）在某城市中，两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿路网选择一条最短路径，从地出发去往地，则不同的路径共有（    ） A．36条 B．37条 C．52条 D．53条 4．（23-24高二上·江西赣州·期末）“杨辉三角”出自我国数学家杨辉1261年著的《解析九章算法》一书，393年后欧洲帕斯卡也发现这个三角图形，所以“杨辉三角”也叫做“帕斯卡三角形”，它结构优美、性质奇特，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系．例如生活中的最短路径问题：如图1所示，从甲到每一个交叉点的走法最短路径的条数（图2）与杨辉三角中对应的数性质相同．已知图3是国际象棋简易棋盘，现有一棋子“车”的起始位置是“”，则它要到“”位置的最短路径的条数为（    ） A．1716 B．924 C．792 D．462 5．（23-24高二下·湖南长沙·开学考试）如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网（图中黑线表示道路），则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.（用数字作答）    十．双面手问题 1．（22-23高二下·河南焦作·开学考试）某社区组织体检活动，项目有抽血、彩超、胸透、尿检四项，共有5名医护人员执行任务，每个项目至少需要1名医护人员，且每个医护人员只参与一个项目．其中有3名医护人员四个项目都能胜任，有2名医护人员既不会彩超也不会胸透，其他两个项目都能胜任，则这5名医护人员的不同安排方案有（    ） A．36种 B．48种 C．52种 D．64种 2．（2023·北京·模拟预测）“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨．现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（    ）． A．26种 B．31种 C．36种 D．37种 3．（21-22高二下·黑龙江·期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有 4．（22-23高二下·河北唐山·期中）9名学生报名参加学校联欢晚会，其中4人只会唱歌，2人只会跳舞，其余3人既会唱歌又会跳舞，现从中选6人，3人唱歌，3人跳舞，共有 种不同的选法. 5．（23-24高二上·河南南阳·月考）某旅行社有导游9人，其中3人只会英语，4人只会日语，2人既会英语，也会日语，现从中选6人，其中3人进行英语导游，另外3人进行日语导游，则不同的选择方法有 种. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$