精品解析：河北省衡水市第二中学2023-2024学年高二下学期5月学科素养检测（二调）数学试题

高二年级学科素养检测（二调）考试 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出集合，即可求出，从而求出其真子集的个数. 【详解】因为， 又，所以， 则集合的真子集有个. 故选：D 2. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得. 【详解】由已知，， 令得或， 由题意是极小值点，则， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极小值点， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极大值点，不合题意， 综上，，即. 故选：A. 3. 已知，且，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质、对数运算及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】若，符合，但此时，不满足充分性， 若，符合，但是，不满足必要性. 故选：D 4. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解． 【详解】函数， 若函数在区间上是减函数，则在恒成立， 即在恒成立， 由对勾函数性质可知在单调递减，故，所以. 故选：C. 5. 若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出不等式成立的充要条件，根据充分必要条件关系判断. 【详解】， 因为是成立的必要不充分条件， 所以. 故选：B. 6. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数，求函数的最小值即可求解. 【详解】因为命题“”为真命题，所以． 令与在上均为增函数， 故为增函数，当时，有最小值，即， 故选：A． 7. 若正实数、满足，且恒成立，则实数取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，解得即可. 【详解】因为正实数、满足， 即，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 因为正实数、满足，且恒成立， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B． 8. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件. 【详解】由得； ①当时，，则，解得， 因为，，满足题意； ②当时，， 若存在唯一的，使得成立， 则与有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有一个交点， 所以，，解得，此时，； ③当时，， 由②同理可得，解得：，则. 综上所述：原命题成立的充要条件为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式解集是或 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可. 【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，， A：由以上可知，故A正确； B：当时，代入方程可得，故B正确； C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误； D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确； 故选：ABD 10. 若正实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 的最小值是10 D. 有最小值 【答案】AB 【解析】 【分析】利用均值不等式和“1”的妙用判断ACD，由讨论的范围判断B即可. 【详解】选项A：因为为正实数，所以，当且仅当时等号成立， 所以有最大值，A说法正确； 选项B：由可得，因为为正实数，所以，， 所以，B说法正确； 选项C：由题意可得， 当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值是，C说法错误； 选项D：由A得，所以， 当且仅当时等号成立，所以有最大值，不存在最小值，D说法错误； 故选：AB 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上为减函数 B. 当时， C. D. 在上有且只有1个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，令，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，可判定C正确；再由时，，可判定B正确；根据是定义在上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正确．根据的单调性无法判断，可判定A错误． 【详解】由，可得． 令， 则当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 可得，所以，所以C正确； 因为，所以当时，， 又因为，所以当时，，所以B正确； 由是定义在上的奇函数，故当时，， 又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确． 因为的单调性无法判断，所以A错误． 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共4题，每题5分，共20分.） 12. 已知集合，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由，等价于，解得， 所以， 由，即，解得， 所以， 所以. 故答案为： 13. 设，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时取等号，结合已知条件解得，时取等号. 故答案为： 14. 已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则___________，并求的最小值为___________（其中为自然对数的底数） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】参变分离可得恒成立，令，，利用导数求出，即可求出的取值范围，从而求出，再根据函数单调性求函数的最小值. 【详解】不等式恒成立，等价于， 令， 所以在是增函数， 且趋近于0时，趋近于，趋近于时，趋近于，即. 令，则， 当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 所以，所以，即，故. 所以，， 因为恒成，所以当时，是增函数， 当时，是减函数， 即时取得最小值，此时； 当时，， 此时； 当时，，此时. 综上可知的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数同构和分离参数法求出；二是利用导数求解三角函数的最值. 四、解答题：（本题共5题，共77分.解答应写出文字证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据导函数的正负判断函数的递增递减区间即得； （2）通过代入不等式整理成在上存在实数解问题，故可转化成求函数在得最小值问题，计算即得. 【小问1详解】 当时，， ∴，由，得，由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 原条件等价于：在上存在实数解． 化为在上存在实数解， 令， 则， ∴在上，，得，故在上单调递增， ∴的最小值为， ∴时，不等式在上存在实数解． 16. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的值； （2）时，恒成立，求实数x的取值范围. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据方程的两根为，结合韦达定理即可求得参数值； （2）根据进行分类讨论，构造函数，求得其在区间上的最大值，再解关于的不等式即可. 【小问1详解】 由题设，是的解集，则是方程的两根， ，整理得，解得或. 【小问2详解】 由题意，时恒成立， 当时，因为，则有恒成立，符合题意； 当时，，则有， 设，要使题设不等式恒成立，仅需即可， 而当时，， ，解之得 综上，的取值范围为. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）方程有两个不同的实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）先证明，分离参数可得，则函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用倒数求出函数的单调区间及最值，作出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由，得， 即， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数再上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 则由，可得， 因为方程有两个不同的实数解， 所以函数的图象有两个不同的交点， 令， 则， 因，所以， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 又当时，且，当时，且， 如图所示，作出函数的大致图象， 由图可知，的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）在上单调递增； （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间； （2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解； ②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得，其中，则， 设，则， 令，可得恒成立， 所以为上的增函数，且， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，所以，所以在上单调递增． 【小问2详解】 解：①因为函数，可得， 令，解得， 设，可得， 因为有两个极值点，则直线与函数图象有两个不同的交点， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 又当时，，故可作出的大致图象，如图所示， 结合图象可得，，即实数的取值范围为． ②由函数有两个零点，所以， 令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根， 只需证明， 不妨令，由得， 要证，只需证明， 即证， 即证，即证， 令，则，只需证明， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 综上所述，原不等式成立． 【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于的方程的两个根分别为，证明：． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的二次近似值； （2）分别求出，，即可写出函数在点处的切线方程；设，证明出，得出，即可证明； （3）先判断出，然后辅助证明两个不等式和即可． 【小问1详解】 ， 当时，，在点处的切线方程为，与轴的交点横坐标为， 所以，，在点处的切线方程为，与轴的交点为， 所以方程的二次近似值为． 【小问2详解】 由题可知，，，， 所以在处的切线为，即； 设， 则，显然单调递减，令，解得， 所以当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 所以， 所以，即． 【小问3详解】 由，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，也是的最大值点，即， 又时，，时，， 所以当方程有两个根时，必满足； 曲线过点和点的割线方程为， 下面证明， 设， 则， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，； 在上单调递减，， 所以当时，，即（当且仅当或时取等号）， 由于，所以，解得；① 下面证明当时，， 设，因为， 所以当时，（当且仅当时取等号）， 由于所以，解得，② ①②，得． 【点睛】关键点睛：第三问的难点在于辅助构造出两个函数不等式，这样再利用函数单调性，得到相关不等式，然后进行估计的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级学科素养检测（二调）考试 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则集合的真子集的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知是函数的极小值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数，若在是减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若是不等式成立的一个必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 7. 若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知关于不等式的解集是，则（ ） A. B. C. D. 不等式解集是或 10. 若正实数满足，则下列选项中正确的是（ ） A. 有最大值 B. C. 的最小值是10 D. 有最小值 11. 已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上为减函数 B. 当时， C. D. 在上有且只有1个零点 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共4题，每题5分，共20分.） 12. 已知集合，，则________． 13. 设，则的最小值为___________． 14. 已知关于的不等式恒成立，的最小值为，则___________，并求的最小值为___________（其中为自然对数的底数） 四、解答题：（本题共5题，共77分.解答应写出文字证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，不等式在上存在实数解，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）若不等式的解集为，求实数a的值； （2）时，恒成立，求实数x的取值范围. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）方程有两个不同实数解，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若有两个极值点． ①求实数的取值范围； ②求证：． 19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点． （1）若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）； （2）牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：； （3）若，若关于方程的两个根分别为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$